山西省臨汾市侯馬晉源中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省臨汾市侯馬晉源中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合A＝B＝，從A到B的映射在映射下，B中的元素為（4，2）對(duì)應(yīng)的A中元素為（

）A．（4，2）

B．（1，3）

C．（6,2）

D．（3,1）參考答案：D試題分析：∵從A到B的映射，∴，∴，∴B中的元素為（4，2）對(duì)應(yīng)的A中元素為（3,1）.考點(diǎn)：映射.

2.已知直線⊥平面α，直線平面β，給出下列命題：①α∥βl⊥m

②α⊥βl∥m

③l∥mα⊥β

④l⊥mα∥β其中正確命題的序號(hào)是A.①②③

B.②③④

C.①③

D.②④參考答案：C當(dāng)時(shí)，有，所以，所以①正確。若，則，又平面β，所以，所以③正確，②④不正確，所以選C.

3.長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為，則此長(zhǎng)方體外接球的體積與面積之比(

)A．

B．１

C．2

D．參考答案：D略4.（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線分別交于O、A、B三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p=（）A．1B．C．2D．3參考答案：C【考點(diǎn)】：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：求出雙曲線的漸近線方程與拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，列出方程，由此方程求出p的值．解：∵雙曲線，∴雙曲線的漸近線方程是y=±x又拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程是x=﹣，故A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±，雙曲線的離心率為2，所以，∴則，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±=，又，△AOB的面積為，x軸是角AOB的角平分線∴，得p=2．故選C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，列出三角形的面積與離心率的關(guān)系也是本題的解題關(guān)鍵，有一定的運(yùn)算量，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，防運(yùn)算出錯(cuò)．5.向量，，且∥，則A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.已知兩個(gè)非零向量a=和b=,且a、b的夾角是鈍角或直角，則m+n的取值范圍是

（

）

A．

B．[2，6]

C．

D．

參考答案：答案:D7.函數(shù)在0，+）內(nèi)（

）A．沒有零點(diǎn)B．有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D．有無窮多個(gè)零點(diǎn)參考答案：B8.已知向量，那么“”是“向量互相垂直”的 A.充分不必要條件

B.必要不充分條件 C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B略9.

已知，則的表達(dá)式為（）

B．

C．

D．參考答案：A10.已知等比數(shù)列中，公比，且，，則=（

）

A．2

B．3

C．6

D．3或6參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從中任取四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)是

(用數(shù)字作答）．參考答案：6012.函數(shù)f（x）若f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2，則|x1﹣x2|=．參考答案：3【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】作出函數(shù)y=log4x和y=3﹣x的圖象交點(diǎn)A，作出y=（）x與y=x+3的交點(diǎn)B，y=4x與y=3﹣x的交點(diǎn)C，根據(jù)A，B，C之間的對(duì)稱關(guān)系得出x1，x2的關(guān)系．【解答】解：當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）=0得log4x=3﹣x，作出函數(shù)y=log4x和y=3﹣x的函數(shù)圖象，設(shè)交點(diǎn)為A（x1，y1），當(dāng)x＜0時(shí)，令f（x）=0得（）x=x+3，作出函數(shù)y=（）x和y=x+3的函數(shù)圖象，設(shè)交點(diǎn)為B（x2，y2），顯然x1＞x2．作函數(shù)y=4x的函數(shù)圖象，與y=3﹣x的圖象交于C（x0，y0）點(diǎn)．∵y=（）x與y=4x的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y=x+3與y=3﹣x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴B，C關(guān)于y軸對(duì)稱，∴x0=﹣x2，y0=y2，∵y=4x與y=log4x互為反函數(shù)，∴y=4x與y=log4x的函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，又y=3﹣x關(guān)于y=x對(duì)稱，∴A，C關(guān)于直線y=x對(duì)稱．∴x0=y1，y0=x1．∴x2=﹣y1，∴|x1﹣x2|=x1﹣x2=x1+y1，又A（x1，y1）在直線y=3﹣x上，∴x1+y1=3．故答案為：3．13.對(duì)于，將表示為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，為0或1.定義如下：在的上述表示中，當(dāng)中等于1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，；否則.則

．參考答案：依題意有，；，；，；，.故.14.

過點(diǎn)的直線與圓：交于兩點(diǎn)，為圓心，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程是：

．參考答案：答案：x+y=315.函數(shù)的定義域是

.參考答案：略16.（5分）（2015?泰州一模）若數(shù)據(jù)2，x，2，2的方差為0，則x．參考答案：=2【考點(diǎn)】：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【專題】：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】：由已知利用方差公式得到關(guān)于x的方程解之．解：因?yàn)閿?shù)據(jù)2，x，2，2的方差為0，由其平均數(shù)為，得到=0，解得x=2；故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了調(diào)查數(shù)據(jù)的方差的計(jì)算公式的運(yùn)用，熟記公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題17.右圖是某算法的流程圖，則輸出的的值為

．參考答案：120三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知在平面內(nèi)點(diǎn)P滿足，M(-2,0)，N(2,0)，O(0,0)（1）求點(diǎn)P的軌跡S；（2）直線與S交于點(diǎn)A，B，利用表示的面積函數(shù)表達(dá)式。參考答案：（1）由題意可得點(diǎn)P的軌跡S是雙曲線的右支：（2）因?yàn)橹本€與S交與點(diǎn)A，B，結(jié)合漸近線的斜率可得或聯(lián)立與，消元，可得：，故弦長(zhǎng)=又點(diǎn)O到直線AB的距離，==因此，的面積函數(shù)表達(dá)式：，19.已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間； （2）設(shè)的最小值是，求的最大值．參考答案：解：（1），令，得，的單調(diào)遞減區(qū)間

（2），；，令所以

略20.某小區(qū)停車場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每車每次停車時(shí)間不超過2小時(shí)免費(fèi)，超過2小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)1元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．現(xiàn)有甲乙兩人獨(dú)立來停車場(chǎng)停車（各停車一次），且兩人停車時(shí)間均不超過5小時(shí)．設(shè)甲、乙兩人停車時(shí)間（小時(shí)）與取車概率如表所示．

停車時(shí)間取車概率停車人員（0，2]（2，3]（3，4]（4，5]甲xxx乙y0（1）求甲、乙兩人所付車費(fèi)相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付停車費(fèi)之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）首先求出x、y，個(gè)人停車所付費(fèi)用相同即停車時(shí)間相同：都不超過兩小時(shí)、都在兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)和都超過三小時(shí)且不超過四小時(shí)三類求解即可．（2）隨機(jī)變量ξ的所有取值為0，1、2，3，4，5，由獨(dú)立事件的概率分別求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（1）由題意得．．記甲乙兩人所付車費(fèi)相同的事件為A，P（A）=，甲、乙兩人所付車費(fèi)相同的概率為．（2）設(shè)甲、乙兩人所付停車費(fèi)之和為隨機(jī)變量ξ，ξ的所有取值為0，1、2，3，4，5．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=P（ξ=4）=，P（ξ=5）=．所以ξ的分布列為：ξ012345P∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×+1×+2×+3×【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú)立事件、互斥事件的概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于中檔題．21.（14分）已知其中是自然常數(shù)，（1）討論時(shí),的單調(diào)性、極值;（2）求證：在（1）的條件下，（3）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由。參考答案：解析：（1），∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為單調(diào)遞增∴的極小值為

（4分）（2）的極小值，即在的最小值為1，∴令又，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減∴

（8分）∴當(dāng)時(shí)，（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最小值3，，①當(dāng)時(shí)，由于，則∴函數(shù)是上的增函數(shù)，∴，解得（舍去）

（10分）②當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是增函數(shù)∴，解得

（13分）由①、②知，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3（14分）22.己知四棱錐中，平面，底面是菱形，且．，、的中點(diǎn)分別為，．（Ⅰ）求證．（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平行于平面？若存在，指出在上的位置并給予證明，若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：（）證明：連結(jié)，．∵平面，平面，∴．又∵底面是菱形，，，∴是正三角形．∵是的中點(diǎn)，∴．又