廣西壯族自治區(qū)南寧市扶綏中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

廣西壯族自治區(qū)南寧市扶綏中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知直線ax+y﹣2=0與圓C：（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB是圓C的所有弦中最長(zhǎng)的一條弦，則實(shí)數(shù)a=（）A．2 B．±1 C．1或2 D．1參考答案：D【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】由題意，AB為直徑，圓心代入直線方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：圓C：（x﹣1）2+（y﹣a）2=4的圓心坐標(biāo)為（1，a），半徑r=2，由題意，AB為直徑，則a+a﹣2=0，∴a=1．故選D．2.已知為虛數(shù)單位，則的實(shí)部與虛部之積等于（

）A． B．

C．

D．參考答案：A略3.一個(gè)三棱錐的三視圖是三個(gè)直角三角形，如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A．13π

B．20π

C.25π

D．29π參考答案：D4.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足則中最大的項(xiàng)為

參考答案：D由，得.由，得，所以，且.所以數(shù)列為遞減的數(shù)列.所以為正，為負(fù)，且，，則，，，又，所以，所以最大的項(xiàng)為，選D.5.設(shè)是實(shí)數(shù)（I為虛數(shù)單位），則等于

（

）

A．

B．1

C．

D．2參考答案：B6.若（1﹣2x）2016=a0+a1x+…+a2016x2016（x∈R），則++…+的值為(

)A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2參考答案：C【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【專題】二項(xiàng)式定理．【分析】在所給的等式中，令x=0可得a0=1；令x=可得a0+++…+=0，從而求得++…+的值．【解答】解：在（1﹣2x）2011=a0+a1x+…+a2011x2016中，令x=0可得，（1﹣0×2）2016=a0，即a0=1，在（1﹣2x）2011=a0+a1x+…+a2011x2016中，令x=可得，（1﹣2×）2011=a0+++…+，即a0+++…+=0，而a0=1，∴++…+=﹣1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題是個(gè)基礎(chǔ)題．此題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式定理的展開(kāi)使用及靈活變形求值，特別是解決二項(xiàng)式的系數(shù)問(wèn)題時(shí)，常采取賦值法，屬于中檔題．7.在等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1=1，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為T(mén)n，且T5=1024，則該數(shù)列的公比的值為（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±3參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵首項(xiàng)a1=1，T5=1024，∴15×q1+2+3+4=1024，即q10=210，解得q=±2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則A.98

B.49

C.14

D.147參考答案：A9.展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為A．-1

B．1

C．0

D．2參考答案：B略10.若（x3+）n的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，且n的最小值為a，則dx=（）A．0 B． C． D．49π參考答案：C【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】首先利用二項(xiàng)式定理求出a，然后利用幾何意義求定積分．【解答】解：因?yàn)椋▁3+）n的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，且n的最小值為a，由得到6n=7r，所以n的最小值為7，所以dx==；故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理以及利用幾何意義求定積分；屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示，在正方形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則向量用與表示為

．參考答案：12.已知復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z=2i，其中i為虛數(shù)單位，則z的模為．參考答案：

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算得答案．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得=，則z的模為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．13.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為

．參考答案：8設(shè)，則，原函數(shù)可化為，其中，因，故是奇函數(shù)，觀察函數(shù)與在的圖象可知，共有4個(gè)不同的交點(diǎn)，故在時(shí)有8個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)之和為0，即，從而14.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，，則__________．參考答案：－1【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，據(jù)此可得，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則有，又由，則；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分析的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．15.如果平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，那么直線的方程為_(kāi)_.

參考答案：考點(diǎn)：直線方程直線斜率為，所以斜率為，設(shè)直線方程為，

由已知直線過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以直線方程為，即16.已知長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)接于球O，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E為AA1的中點(diǎn)，OA⊥平面BDE，則球O的表面積為．參考答案：16π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)已知結(jié)合長(zhǎng)方體錐的幾何特征和球的幾何特征，求出球的半徑，代入可得球的表面積．【解答】解：∵長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)接于球O，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，設(shè)AA1=2a，E為AA1的中點(diǎn)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AA1為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a），則=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，a），=（1，1，a），若OA⊥平面BDE，則，即，即a2﹣2=0，解得a=，∴球O的半徑R滿足：2R==4，故球O的表面積S=4πR2=16π，故答案為：16π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積，其中根據(jù)已知求出半徑是解答的關(guān)鍵．17.已知f（x）=x+1og2則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）的值為

．參考答案：36考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；函數(shù)的值．專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由題意可得f（x）=x+1og2，f（9﹣x）=9﹣x﹣1og2，從而可得f（x）+f（9﹣x）=9；從而解得．解答： 解：∵f（x）=x+1og2，∴f（9﹣x）=9﹣x﹣1og2，故f（x）+f（9﹣x）=9；故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=f（1）+f（8）+…+f（4）+f（5）=4×9=36；故答案為：36．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.

（12分）已知向量，且。（1）求及；（2）若的最小值等于，求值及取得最小值時(shí)x的值。參考答案：解析：本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，特殊角三角函數(shù)值、兩角和公式、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基礎(chǔ)運(yùn)算。（1）解：（2分）∵

∴（6分）（2）解：∵由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值

解得此時(shí)，又

∴答：，當(dāng)時(shí)，（12分）19.在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，是等邊三角形，已知BD=2AD=8,

AB=2DC=，設(shè)M是PC上一點(diǎn)，（Ⅰ）證明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．參考答案：20.（12分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，CD1的中點(diǎn)，AA1=AD=1，AB=2．．（1）求證：EF∥平面BCC1B1；（2）求證：平面CD1E⊥平面D1DE；（3）在線段CD1上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1為45°，若存在，求的值，不存在，說(shuō)明理由．

參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）過(guò)F作FM∥C1D1交CC1于M，連結(jié)BM，推導(dǎo)出EBMF是平行四邊形，從而EF∥BM，由此能證明EF∥平面BCC1B1．（2）推導(dǎo)出D1D⊥CE，CE⊥DE，從而CE⊥平面D1DE，由此能證明平面CD1E⊥平面D1DE．（3）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段CD1上存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1為45°，且=．【解答】證明：（1）過(guò)F作FM∥C1D1交CC1于M，連結(jié)BM，∵F是CD1的中點(diǎn)，∴FM∥C1D1，F(xiàn)M=C1D1，（2分）又∵E是AB中點(diǎn)，∴BE∥C1D1，BE=C1D1，∴BE∥FM，BE=FM，EBMF是平行四邊形，∴EF∥BM又BM在平面BCC1B1內(nèi)，∴EF∥平面BCC1B1．（4分）（2）∵D1D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD內(nèi)，∴D1D⊥CE在矩形ABCD中，DE2=CE2=2，∴DE2+CE2=4=CD2，（6分）∴△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，∴CE⊥平面D1DE，∵CE在平面CD1E內(nèi)，∴平面CD1E⊥平面D1DE．（8分）解：（3）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，則C（0，2，0），E（1，1，0），D1（0，0，1）平面D1DE的法向量為=（﹣1，1，0），設(shè)=（0，2λ，﹣λ），（0＜λ＜1），則Q（0，2λ，1﹣λ），設(shè)平面DEQ的法向量為=（x，y，z），則，令y=1，則=（﹣1，1，），（10分）∵二面角Q﹣DE﹣D1為45°，∴cos45°===，由于0＜λ＜1，∴﹣1，∴線段CD1上存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1為45°，且=．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運(yùn)用．21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅱ）求證：．參考答案：（2）令，則，．令，則，，． ……………6分由（1）知，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，顯然，故時(shí)，都有． ……………9分因此當(dāng)時(shí)，，于是在上是減函數(shù)，而，當(dāng)時(shí)，，即．故，故在上也是減函數(shù)，而，當(dāng)時(shí)，，即也即∴ ……………12分22.已知函數(shù)f（x）=|x﹣4|，g（x）=a|x|，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＞2g（x）+1；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4對(duì)任意x∈R恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值三角不等式；絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）＞2g（x）+1為|x﹣4|＞4|x|+1，分類(lèi)討論求得x的范圍．（2）由題意可得|x﹣4|≥a|x|﹣4對(duì)任意x∈R恒成立．當(dāng)x=0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)x≠0時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于a≤對(duì)任意非零實(shí)數(shù)恒成立，再利用絕對(duì)值三角不等式求得a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）＞2g（x）+1