函數(shù)的最大值、最小值

關于函數(shù)的最大值、最小值第2頁,共52頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的最大值和最小值1.最大值對于定義域為I的函數(shù)f(x)，條件：f(x)≤Mf(x0)=M第3頁,共52頁，2024年2月25日，星期天結論：M是定義域為I的函數(shù)f(x)的最大值.幾何意義：函數(shù)y=f(x)圖象上最___點的_______.思考：函數(shù)f(x)=-x2≤1總成立嗎？f(x)的最大值是1嗎?提示:f(x)=-x2≤1總成立，但是不存在x0使f(x0)=1，所以f(x)的最大值不是1，而是0.高縱坐標第4頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.最小值對于定義域為I的函數(shù)f(x)，條件：結論：M是函數(shù)f(x)在I上的最小值.幾何意義：函數(shù)y=f(x)圖象上最___點的_______.f(x)≥Mf(x0)=M低縱坐標第5頁,共52頁，2024年2月25日，星期天判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)f(x)=x的最小值是-∞.()(2)函數(shù)f(x)=-x2在［1,3］上的最小值是-1.()(3)函數(shù)f(x)=2x在區(qū)間［－1,3)上的最小值是-2，無最大值.()第6頁,共52頁，2024年2月25日，星期天提示：(1)錯誤.函數(shù)f(x)=x在(－∞,+∞)上無最大值和最小值.(2)錯誤.當x=3時函數(shù)f(x)=-x2在［1,3］上取得最小值-9.(3)正確.由于函數(shù)f(x)=2x在區(qū)間［－1,3)上是增函數(shù)，故當x=-1時函數(shù)取得最小值-2，函數(shù)無最大值.答案：(1)×(2)×(3)√第7頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【知識點撥】1.最大值、最小值定義的理解(1)最大(小)值定義中具備的兩個條件①對于定義域內全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立;②M首先是一個函數(shù)值,它是值域的一個元素,如f(x)=-x2的最大值是0,有f(0)=0,注意定義中“存在”一詞的理解.(2)兩條件缺一不可,若只有前者,M不是最大(小)值,如f(x)=-x2≤1總成立,但1不是最大值,更不能只有后者,那樣就丟掉了最大值的核心了.第8頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.求最大值、最小值時的三個關注點(1)利用圖象寫出最值時要寫最高(低)點的縱坐標,而不是橫坐標.(2)單調性法求最值勿忘求定義域.(3)單調性法求最值,尤其是閉區(qū)間上的最值,不判斷單調性而直接將兩端點值代入是最容易出現(xiàn)的錯誤,求解時一定要注意.第9頁,共52頁，2024年2月25日，星期天3.辨析函數(shù)的最值和值域(1)函數(shù)的最值和值域反映的是函數(shù)的整體性質，針對的是整個定義域.(2)函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最大(小)值不一定存在.(3)若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素.例如，函數(shù)f(x)=-x2對任意的x∈R，都有f(x)≤1,但是f(x)的最大值不是1，因為1不在f(x)的值域內.第10頁,共52頁，2024年2月25日，星期天類型一圖象法求函數(shù)最值(值域)

【典型例題】1.函數(shù)y=f(x)，x∈［－4,7］的圖象如圖，則其最大值、最小值為()A.3，2B.3，-2C.3，0D.2，-22.寫出函數(shù)f(x)=|x+1|+|2－x|，x∈(－∞,3］的單調區(qū)間和最值.第11頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【解題探究】1.利用圖象法求函數(shù)的最值時應寫最高(低)點的縱坐標,還是橫坐標？2.題2中求函數(shù)的單調區(qū)間與最值時應按照怎樣的思路求解？探究提示：1.利用圖象寫出最值時要寫最高(低)點的縱坐標,而不是橫坐標.2.應先作圖象，找出單調區(qū)間，最后確定最值.第12頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【解析】1.選B.觀察圖象知，圖象的最高點(3，3)，最低點(-1.5，-2)，所以其最大值、最小值分別為3，-2.2.其圖象如下：由圖象得單調遞減區(qū)間為(-∞,-1］，單調遞增區(qū)間為［2,3］,有最小值3，無最大值.第13頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【互動探究】把題2中的問題改為求f(x)≥5的x的取值范圍.【解析】結合題2圖象，令g(x)=5,則x的范圍為x≤-2或x=3.第14頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【拓展提升】利用圖象法求函數(shù)最值(1)利用函數(shù)圖象求函數(shù)最值是求函數(shù)最值的常用方法,對圖象易作出的函數(shù)常用.(2)圖象法求最值的一般步驟:第15頁,共52頁，2024年2月25日，星期天類型二單調性法求函數(shù)的最值(值域)【典型例題】1.已知函數(shù)f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)有最小值-2，則f(x)的最大值為()A.4B.6C.1D.22.函數(shù)f(x)=(x>0).(1)求證：f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).(2)若函數(shù)f(x)的定義域與值域都是［2］，求a的值.第16頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【解題探究】1.二次函數(shù)在閉區(qū)間內求最值的關鍵是什么?2.題2(1)證明f(x)的單調性的一般步驟是什么？它對解決(2)是否有作用？探究提示：1.求二次函數(shù)f(x)在某區(qū)間［m,n］上的最值的關鍵是判斷函數(shù)在［m,n］內的單調性.2.證明f(x)單調性的步驟為取值→作差變形→定號→判斷(結論)，可以利用其單調性解決(2)中的值域問題，進而求出a的值.第17頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【解析】1.選B.f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)為增函數(shù)，所以最小值為f(0)=a=－2，最大值為f(2)=8+a=6.第18頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.(1)任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，則∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).(2)由(1)知，f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，所以若函數(shù)f(x)的定義域與值域都是［2］，則即解得a=第19頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【拓展提升】1.利用單調性求最值的一般步驟(1)判斷函數(shù)的單調性.(2)利用單調性寫出最值.2.利用單調性求最值的三個常用結論(1)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上是增(減)函數(shù),則f(x)在區(qū)間［a,b］的左、右端點處分別取得最小(大)值和最大(小)值.(2)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b］上是增函數(shù),在區(qū)間［b,c)上是減函數(shù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,c)上有最大值f(b).第20頁,共52頁，2024年2月25日，星期天(3)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b］上是減函數(shù),在區(qū)間［b,c)上是增函數(shù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,c)上有最小值f(b).第21頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【變式訓練】已知函數(shù)f(x)=x∈［2,5］，求其最大值與最小值.【解析】任意取x1，x2∈［2,5］且x1<x2，則f(x1)－f(x2)=∵x1，x2∈［2,5］且x1<x2，∴f(x1)－f(x2)>0，所以f(x)=x∈［2,5］是減函數(shù)，f(5)≤f(x)≤f(2)，故f(x)的最大值為f(2)=2，最小值為f(5)=第22頁,共52頁，2024年2月25日，星期天類型三函數(shù)最值的應用

【典型例題】1.綠園商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料，根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若零售價定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若零售價每降低(升高)0.5元，則可多(少)銷售40瓶，在每月的進貨當月銷售完的前提下，為獲得最大利潤，銷售價應定為______元/瓶.第23頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.一個運動員推鉛球，鉛球剛出手時離地面m，鉛球落地點距剛出手時相應地面上的點10m，鉛球運動中最高點離地面3m，如圖：已知鉛球走過的路線是拋物線，求該拋物線表示的函數(shù)的解析式.第24頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【解題探究】1.解實際應用問題時需要考慮定義域嗎？2.二次函數(shù)解析式有哪幾種設法？第25頁,共52頁，2024年2月25日，星期天探究提示：1.需要考慮定義域,因為解應用題,就是確定函數(shù),求函數(shù)最值的問題,應時刻牢記函數(shù)的定義域,不僅使函數(shù)式有意義，而且還要與實際問題相符合.2.(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).已知拋物線上任意三點時,通常設函數(shù)解析式為一般式,然后列出三元一次方程組求解.(2)頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0).已知拋物線的頂點坐標或對稱軸方程時,通常設函數(shù)解析式為頂點式.第26頁,共52頁，2024年2月25日，星期天(3)兩根式:y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0).已知二次函數(shù)與x軸的兩個交點或已知與二次函數(shù)對應的一元二次方程的兩個實根時,經常采用兩根式.第27頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【解析】1.設銷售價每瓶定為x元，利潤為y元，則y=(x－3)(400+×40)=80(x－3)(9－x)=-80(x-6)2+720(x≥3)，所以x=6時，y取最大值.答案：62.由題意，拋物線的最大值為3，故設拋物線方程為y=a(x－h(huán))2+3(a<0)，又其過點(0,)，(10,0)，所以解得拋物線方程為y=(x－4)2+3，x∈［0,10］.第28頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【拓展提升】解實際應用題的四個步驟(1)審題:解讀實際問題,找出已知條件、未知條件,確定自變量和因變量的條件關系.(2)建模:建立數(shù)學模型,列出函數(shù)關系式.(3)求解:分析函數(shù)性質,利用數(shù)學知識探究問題解法(一定注意自變量的取值范圍).(4)回歸:數(shù)學問題回歸實際問題,寫出答案.第29頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【變式訓練】快艇和輪船分別從A地和C地同時開出，如圖，各沿箭頭方向航行，快艇和輪船的速度分別是45千米/時和15千米/時，已知AC＝150千米，在快艇到達C地之前，經過多少時間，快艇和輪船之間的距離最短？第30頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【解析】設經過x小時后快艇和輪船之間的距離最短，距離設為y，由150÷45=知定義域為{x|0<x≤}可求得當x=3時，y有最小值．故經過3小時，快艇與輪船之間的距離最短.第31頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

二次函數(shù)在區(qū)間上的最值【典型例題】1.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2，x∈［-1,1］，求函數(shù)f(x)的最小值.2.設函數(shù)f(x)=x2-2x+2,x∈［t,t+1］,t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值.第32頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【解析】1.f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的圖象開口向上，且對稱軸為直線x=a.第33頁,共52頁，2024年2月25日，星期天當a≥1時，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1，1］上是減函數(shù)，最小值為f(1)=3-2a;當-1<a<1時，函數(shù)圖象如圖(2)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1,1］上是先減后增，最小值為f(a)=2-a2;當a≤-1時，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1，1］上是增函數(shù)，最小值為f(-1)=3+2a.第34頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈［t,t+1］,t∈R，對稱軸為直線x=1.第35頁,共52頁，2024年2月25日，星期天當t+1<1，即t<0時，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間［t,t+1］上為減函數(shù)，所以最小值為f(t+1)=t2+1;當t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，函數(shù)圖象如圖(2)所示，最小值為f(1)=1;當t>1時，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間［t,t+1］上為增函數(shù)，所以最小值為f(t)=t2-2t+2.第36頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【拓展提升】求二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在區(qū)間［m,n］上的最值的類型(1)若對稱軸x=在區(qū)間［m,n］內，則最小值為f()，最大值為f(m),f(n)中較大者(或區(qū)間端點m,n中與x=距離較遠的一個對應的函數(shù)值為最大值).(2)若對稱軸x=<m,則f(x)在區(qū)間［m,n］上是增函數(shù)，最大值為f(n),最小值為f(m).(3)若對稱軸x=>n,則f(x)在區(qū)間［m,n］上是減函數(shù)，最大值為f(m),最小值為f(n).

第37頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【規(guī)范解答】利用函數(shù)的單調性求最值問題【規(guī)范解答】設x1,x2為［1,2］上的任意兩個實數(shù),且x1<x2,…………1分【典例】

【條件分析】第38頁,共52頁，2024年2月25日，星期天則f(x1)-f(x2)

……

5分∵x1,x2∈［1,2］,且x1<x2,∴x1-x2<0.第39頁,共52頁，2024年2月25日，星期天x1x2∈(1,4)，∴x1x2-9<0②,……8分∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2)，∴函數(shù)f(x)=x+在［1,2］上為減函數(shù).……………10分所以當x=1時取最大值，最大值f(1)=10,當x=2時取最小值，最小值f(2)=從而函數(shù)的最大值是f(1)=10,最小值是f(2)=

③.……12分第40頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【失分警示】第41頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【防范措施】1.對單調性定義的把握在函數(shù)的定義域中任給x1<x2，比較出f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的關系，從而得出是增函數(shù)還是減函數(shù).如本例中f(x1)-f(x2)>0,得出f(x1)>f(x2),從而判定為減函數(shù).2.單調性與最值的關系利用函數(shù)的單調性可以求出函數(shù)的最值，這是求最值常用的方法之一，在求函數(shù)的最值時要時刻牢記.如本例中證明f(x)在［1,2］上為減函數(shù)后，可直接求出其對應的最大值與最小值.第42頁,共52頁，2024年2月25日，星期天【類題試解】已知函數(shù)f(x)=-x2+6x+9在區(qū)間［a,b］(a<b<3)上有最大值9，最小值-7，求實數(shù)a,b的值.【解析】f(x)=-x2+6x+9=-(x-3)2+18,則f(x)在(-∞,3)上為增函數(shù),因為a<b<3，所以當x=a時，函數(shù)取得最小值ymin=-7;當x=b時，函數(shù)取得最大值ymax=9,即解得：a=8或-2;b=0或6.故a=-2,b=0.第43頁,共52頁，2024年2月25日，星期天1.函數(shù)f(x)=2x－x2的最大值是()A.－1B.0C.1D.2【解析】選C.函數(shù)f(x)=2x－x2開口向下，對稱軸為x=1，當x=1時，取得最大值1.第44頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.函數(shù)y=2x2+1,x∈N*的最值情況是()A.無最大值，最小值是1B.無最大值，最小值是3C.無最大值，也無最小值D.不能確定最大、最小值【解析】選B.∵x∈N*，且函數(shù)在(0，+∞)上單調遞增，故函數(shù)在x=1時有最小值3，無最大值.第45頁,共52頁，2024年2月25日，星期天3.函數(shù)f(x)=2+bx在［-2,2］上的最大值與最小值的差為4，則b的值是()A.1B.-1C.1或-1D.0【解析】選C.由題意知b≠0,當b＞0時，f(x)max=2+2b,f(x)min=2-2b,∴2+2b-(2-2b)=2+2b-2+2b=4b,∴4b=4,∴b=1.當b＜0時，