拋物線的幾何性質(zhì)

關(guān)于拋物線的幾何性質(zhì)4cm8cm第2頁,共21頁，2024年2月25日，星期天解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則可知A(-2,8),B(2,8)所以設(shè)拋物線的方程為：A、B點在拋物線上，代入拋物線方程，可得P=,則所求的拋物線方程為：第3頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

前面我們已學(xué)過橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì),它們都是通過標(biāo)準(zhǔn)方程的形式研究的,現(xiàn)在請大家想想拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點及準(zhǔn)線是什么?復(fù)習(xí)：第4頁,共21頁，2024年2月25日，星期天圖形方程焦點準(zhǔn)線lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）第5頁,共21頁，2024年2月25日，星期天拋物線的簡單幾何性質(zhì)

第6頁,共21頁，2024年2月25日，星期天P(x,y)一、拋物線的幾何性質(zhì)(1)、：由方程y2=2px（p>0）而，p>0

由方程可知x0,所以拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時，y也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。范圍第7頁,共21頁，2024年2月25日，星期天(2)、P(x,y)由方程y2=2px（p>0）

以代y,上述方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。對稱性第8頁,共21頁，2024年2月25日，星期天頂點（3）定義：拋物線和它的軸的交點稱為拋物線的頂點。P(x,y)由y2=2px

（p>0）當(dāng)y=0時,x=0,

因此拋物線的頂點就是坐標(biāo)原點（0，0）。注:這與橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點不同。第9頁,共21頁，2024年2月25日，星期天離心率(4)、P(x,y)

拋物線上的點與焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義，可知e=1。

下面請大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。第10頁,共21頁，2024年2月25日，星期天二、歸納：拋物線的幾何性質(zhì)方程焦點準(zhǔn)線圖形對稱軸x軸x軸y軸y軸P(x,y)P(x,y)P(x,y)P(x,y)第11頁,共21頁，2024年2月25日，星期天新知學(xué)習(xí)xyO標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義FABy2=2px利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖2p越大，拋物線張口越大思考：通徑是拋物線的焦點弦中最短的弦嗎？第12頁,共21頁，2024年2月25日，星期天三、注意：(1)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它也可以無限延伸,但沒有漸近線；(2)拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心；(3)拋物線只有一個頂點,一個焦點,一條準(zhǔn)線；(4)拋物線的離心率是確定的,為1。(5)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口的影響.P越大,開口越開闊第13頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

練習(xí)：填空（頂點在原點，焦點在坐標(biāo)軸上）

方程焦點準(zhǔn)線開口方向開口向右開口向左開口向上開口向下第14頁,共21頁，2024年2月25日，星期天例1：已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點M（），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點法畫出圖形。解：所以設(shè)方程為：又因為點M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：因為拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點M（），第15頁,共21頁，2024年2月25日，星期天作圖：(1)列表（在第一象限內(nèi)列表）x01234…y…(2)描點：(3)連線：11xyO第16頁,共21頁，2024年2月25日，星期天例2、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈口圓的直徑為60cm,燈深40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點的位置。FyxO解：如圖所示，在探照燈的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點與原點重合，x軸垂直于燈口直徑。AB

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：由已知條件可得點A的坐標(biāo)是（40，30），代入方程可得所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為焦點坐標(biāo)為第17頁,共21頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：1、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是

.2、一個正三角形的三個頂點，都在拋物線上，其中一個頂點為坐標(biāo)原點，則這個三角形的面積為

。第18頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

練習(xí)：如圖，吊車梁的魚腹部分AOB是一段拋物線，寬為7m，高為0.7m,求這條拋物線的方程。yxO7AB0.7

解：由題設(shè)可設(shè)拋物線的方程為：x2=2py（p>0）易知A（-3.5,0.7)，將其代入拋物線方程，得：（-3.5)2=2p0.72P=17.5拋物線的方程為：x2=17.5y第19頁,共21頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容包括：1、拋物線的概念；2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)