2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-1 . 4 空間向量的應(yīng)用

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

1.4空間向量的應(yīng)用

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一直線的方向向量和平面的法向量

1.(2020北京一零一中學(xué)期中)若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直線1上,則直線1的

一個(gè)方向向量為()

A.(1,2,4)B.(1,4,2)

C.(2,1,4)D.(4,2,1)

2.已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),則平面ABC的一個(gè)法向量為.

3.已知四棱錐S-ABCD的底面是直角梯形，NABC=90°,AD〃BC,SAL平面

ABCD,SA=AB=BC=1,AD=|,試建立空間直角坐標(biāo)系，求平面SAB、平面SDC的一個(gè)法

向量.

AD

題組二空間中直線、平面的平行問(wèn)題

4.(2021海南北京師范大學(xué)萬(wàn)寧附屬中學(xué)月考)若直線m的方向向量為a,平面a

的法向量為R,maa,則能使m〃a的是()

A.a=(l,0,0),u=(-2,0,0)

B.a=(l,-l,3),u=(0,3,1)

C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1)

Da=(l,3,5),n=(l,0,1)

5.(2022山東臨沂平邑一中月考)已知兩個(gè)不重合的平面a與平面ABC,若平面a

的法向量為ni=(2,-3,1),向量力=(1,0,-2),左二(1,1,1),則()

A.平面a〃平面ABC

B,平面a，平面ABC

C.平面a與平面ABC相交但不垂直

D.以上均有可能

6.(2021海南?？诤Ｄ现袑W(xué)期中)已知向量aE2,4,5),b=(3,x,海分別是直線

li,b的方向向量，若1/則()

A.x=6,y=15B.x=3,y=15

_8_10_15

Cr.x--,y——nD.x—6,y——

題組三空間中直線、平面的垂直問(wèn)題

7.(2022安徽師大附中期中)若直線匕,12的方向向量分別為

a=(l,2,-2),b=(-2,3,2),則L與k的位置關(guān)系是()

A.1」12B.L//L

C.11、L相交但不垂直D.不能確定

8.(2022吉林白城大安六中期中)已知直線1的一個(gè)方向向量d=(2,3,5),平面a

的一個(gè)法向量u=(-4,m,n),若1，a,則m=,n=.

9.(2020陜西西安中學(xué)期末)如圖,在正方體ABCD-ABCD中,E為棱DD的中點(diǎn),求

證：

⑴BD」平面ABC

(2)平面EACL平面ABC

能力提升練

題組一用空間向量研究平行、垂直問(wèn)題

1.(多選)(2022山東濰坊第四中學(xué)月考)下列利用方向向量、法向量判斷線、面位

置關(guān)系的結(jié)論中正確的是()

A.兩條不重合直線li,b的方向向量分別是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),則I1〃b

B.兩個(gè)不同的平面a,B的法向量分別是11=(2,2,-1)八=(-3,4,2),則a±0

C.直線1的方向向量a=(1,-1,2),平面a的法向量u=(6,4,-1),則a

D.直線1的方向向量a=(0,3,0),平面a的法向量u=(0,-5,0),則1〃a

2.(2021天津十三中月考)如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂

直,AB=a,AF=1,M在EF上，且AM〃平面BDE,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()

/

I(V2

XV2一

\一3'3

B.D

zz

c/V2V2/V2T

」V2

l,T(一

\2\4J,1

3.如圖,在三棱柱ABC-AEG中，側(cè)棱垂直于底面,AB±BC,E,F分別為AC和BC的

中點(diǎn).求證：

⑴平面ABE,平面BiBCCi;

(2)CF〃平面ABE.

題組二用空間向量解決立體幾何中的探索性問(wèn)題

4.（2020天津一中月考）如圖，已知正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為4,P是AAi的中點(diǎn),

點(diǎn)M在側(cè)面AABB內(nèi)（含邊界），若DiMXCP,則4BCM面積的最小值為（

A.8B.4

5.（2021天津第四十二中學(xué)月考）如圖，在三棱柱ABC-AB。中，BB」平面

ABC,AB±BC,AAI=AB=BC=2.

⑴求證:BC」平面ABC;

⑵點(diǎn)M在線段BE上,且普=在線段A2上是否存在一點(diǎn)N,滿足MN〃平面

AiACG?若存在，求出然的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.A由已知得前=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故選項(xiàng)A中的向量與

通共線，故選A.

2.答案(1,1,1)(答案不唯一)

解析設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z).

由題意知同=(-1,1,0),BC=(1,0,-1).

所以卜?竺=-x+y=0,令x=i,則y=z=1)所以聯(lián)(1,1,1).

?BC=x-z=0,

3.解析由已知得SA,AB,AD兩兩垂直，

???以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AS所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系.

1

VSA=AB=BC=1,AD=-2,

.,.S(0,0,l),A(0,0,0),C(l,1,0),D(|,0,0),

??法=&0,-1),SC=(1,1,-1),AD=(|,o,0).

易知平面SAB的一個(gè)法向量為標(biāo)=6，0,0).

設(shè)平面SDC的法向量為m=(x,y,z),

?,SD=-x-z=0,,…

則(一2取z=l,則x=2,y=T,

m?SC=x+y-z=0,

???平面SDC的一個(gè)法向量為m=(2,-1,1).

解后反思

求解平面的法向量時(shí)，如果題目中已經(jīng)給出坐標(biāo)，可以直接利用坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)

求解法向量,如果題目中未給出坐標(biāo)，需先分析條件,利用共點(diǎn)的相互垂直的三條

直線建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，再利用坐標(biāo)運(yùn)算求解法向量.

4.B若m〃a,則aJ_口，即a?u=0.對(duì)于A,C,D,a?口均不為0,不滿足條件;對(duì)

于B,a?口=0-3+3=0,滿足條件.故選B.

5.A因?yàn)閙?9=0,A?左二0,ABAAC=A，所以％也是平面ABC的法向量,又平面

a與平面ABC不重合，所以平面a與平面ABC平行.故選A.

6.D因?yàn)樨啊?2,所以a〃b,所以解得x=6,y=?故選D.

7.A由題意得a,b=-2+6-4=0,li與12的位置關(guān)系是I1-LI2.故選A.

8.答案-6;-10

解析V1±a,又d《2,3,5),u=(-4,m,n),>'?y=y=^>解得m=-6,n=-10.

9.證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體

ABCD-AiBiCD的棱長(zhǎng)為2,則

E(0,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),Bi(2,2,2),B(2,2,0),Dx(0,0,2).

(1)易得前=(-2,2,0),函=(0,2,2),西=(-2,-2,2).

設(shè)平面ABE的法向量為m=(x,y,z),

,.fm,AC=-2x+2y=0,,

則n｛___>取x=l1,則nily=l,z=T,

jn?AB】=2y+2z=0,

1,-1)是平面ABE的一個(gè)法向量.

?.,西=-2m,，西〃m,，BD」平面ABC

(2)易得ZE=(-2,0,1).

設(shè)平面EAC的法向量為n=(x',y',z'),

則(一，，取x=1,則y=1,z=2,

n?AC=-2x+2y=0,

.,.n=(l,1,2)是平面EAC的一個(gè)法向量.

由(1)知m=(l,1,-1)是平面ABE的一個(gè)法向量.

Vm?n=l+l-2=0,.,.平面EACL平面ABC

能力提升練

1.AB因?yàn)閎=-a,且直線li,b不重合，所以故A中結(jié)論正確；因?yàn)?/p>

u?v=2X(-3)+2X4+(-1)X2=0,所以aJ_B,故B中結(jié)論正確；因?yàn)?/p>

a,u=lX6+(-1)X4+2X(-1)=0,所以1〃a或lua,故C中結(jié)論錯(cuò)誤；因?yàn)?1=-京,

所以1，a,故D中結(jié)論錯(cuò)誤.故選AB.

2.C連接0E.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y,1).

因?yàn)锳CABD=0,所以0(?，?，0),

又E(0,0,1),A(V2,V2,0),

所以反=(-彳，-￥，1),AM=(x-V2,y-V2,1).

因?yàn)锳M〃平面BDE,所以麗〃前，

V2V2T

,」

所

以2

V2

V2T一2

所以點(diǎn)M

3.證明以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC,BA,BBi所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)BC=a,AB=b,BB1二c,則

(1)易得同=(0,-b,0),荏=&4c).

設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y,z),

r

則，*AB=0,即-by=0,

-ax--by+cz=c0,

-22J

令x=2,則y=0,z=n=(2,0,一，).

易知平面BiBCG的一個(gè)法向量n=(0,1,0).

Vn?n=2X0+0Xl+(—，)X0=0,

平面ABEJ_平面BiBCCi.

⑵易得字=(4,0,-c),

由⑴知平面ABE的一個(gè)法向量為n=(2,0,-力,

Vn?QF=0,.?.亭〃平面ABE.

又..5。平面ABE,...CiF〃平面ABE.

4.D以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DDi所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐

標(biāo)系,如圖,

則P(4,0,2),C(0,4,0),Di(0,0,4),B(4,4,0).

設(shè)M(4,a,b)(a,be[0,4]),則仄而二(4,a,b-4),CP=(4,-4,2).

VDxMXCP,：.D^M?CP=16-4a+2b-8=0,即b=2a—4..\M(4,a,2a-4).

/.BM=J(4-4)2+(a-4)2+(2a-4)2

=V5a2-24a+32=〔5①于+

當(dāng)a(時(shí)，|BM|取得最小值券

**?Szwa的最小值為3X4X~=~~-故選D.

5.解析⑴