課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題

八年級(jí)數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清一十三章軸對(duì)稱(chēng)13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題（解析版）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題。體會(huì)圖形的變化在解訣最值問(wèn)題中的作用。2.感悟轉(zhuǎn)化思想。重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”問(wèn)題。難點(diǎn)：路徑最短的證明。老師對(duì)你說(shuō)：老師對(duì)你說(shuō)：垂直線(xiàn)段最短問(wèn)題動(dòng)點(diǎn)所在的直線(xiàn)已知型方法技巧：一動(dòng)點(diǎn)與一定點(diǎn)連成的線(xiàn)段中，若動(dòng)點(diǎn)在定直線(xiàn)上，則垂線(xiàn)段最短。將軍飲馬問(wèn)題方法技巧：定點(diǎn)關(guān)于定直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短求最值．①兩定一動(dòng)②一定兩動(dòng)③兩定兩動(dòng)造橋選址問(wèn)題A方法技巧：將分散的線(xiàn)段平移集中，再求最值．AMMNNBB基礎(chǔ)提升教材核心知識(shí)點(diǎn)精練知識(shí)點(diǎn)1垂直線(xiàn)段最短問(wèn)題【例11】如圖，在銳角三角形中，，，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，點(diǎn)M、N分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．5【答案】D【分析】如下圖，先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可得的最小值為，然后根據(jù)垂線(xiàn)段最短可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，最后利用三角形的面積公式即可得．解：如圖，在上取一點(diǎn)E，使，連接，是的平分線(xiàn)，，在和中，，，，，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得：當(dāng)點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取最小值，最小值為，又由垂線(xiàn)段最短得：當(dāng)時(shí)，取得最小值，，，解得，即的最小值為5，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線(xiàn)的定義、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短、垂線(xiàn)段最短等知識(shí)點(diǎn)，正確找出取得最小值時(shí)的位置是解題關(guān)鍵．【例12】如圖，在中，，是的兩條中線(xiàn)，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線(xiàn)段的長(zhǎng)度等于最小值的是（）A． B． C． D．【答案】．B【詳解】試題分析：在中，，AD是的中線(xiàn)，可得點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng)，連結(jié)CE，交AD于點(diǎn)P，此時(shí)最小，為EC的長(zhǎng)，故選B.【例13】如圖，，是角平分線(xiàn)上一點(diǎn)，，垂足為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，如果點(diǎn)是射線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2C【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠AOP=∠AOB=30°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得PD=OP=4，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)和垂線(xiàn)段最短得到結(jié)果．【詳解】解：∵P是∠AOB角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中點(diǎn)，DM=2，∴OP=2DM=8，∴PD=OP=4，∵點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴PC的最小值為P到OB距離，∴PC的最小值=PD=4．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線(xiàn)構(gòu)造成直角三角形是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)2將軍飲馬問(wèn)題【例21】如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線(xiàn)分別交，邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A．7 B．9 C．10 D．14【答案】A【分析】連接，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)得，周長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積求出，，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示．連接，∵是的垂直平分線(xiàn)，∴，∴周長(zhǎng)．連接，∵，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴，，∴周長(zhǎng)的最小值是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求線(xiàn)段和最小值等，判斷周長(zhǎng)的最小值是解題的關(guān)鍵．【例22】如圖，是內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上運(yùn)動(dòng)，若，，則的周長(zhǎng)的最小值為.【答案】3【分析】如圖，作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以證得：△COD是等邊三角形，據(jù)此即可求解．解：如圖，作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【點(diǎn)撥】此題主要考查軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題，綜合運(yùn)用了等邊三角形的知識(shí)．正確作出圖形，理解△PMN周長(zhǎng)最小的條件是解題的關(guān)鍵．【例23】如圖，點(diǎn)P是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線(xiàn)和射線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值是．【答案】【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接，分別交于點(diǎn)M、N，連接，當(dāng)點(diǎn)M、N在上時(shí)，的周長(zhǎng)最?。猓悍謩e作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接，分別交于點(diǎn)M、N，連接．∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，∴；∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴．∴的周長(zhǎng)的最小值．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查最短路徑問(wèn)題和等邊三角形的判定．作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D是解題的關(guān)鍵所在．知識(shí)點(diǎn)3造橋選址問(wèn)題【例31】如圖，直線(xiàn)l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間直線(xiàn)距離最短，使EFP'P為平行四邊形即可，即P【詳解】解：作PP'垂直于河岸l2連接QP'，與另一條河岸相交于F，作FE⊥l則EF∥PP'且∴四邊形EFP∴P'根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，QP'最短，即∴C選項(xiàng)符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”．【例32】如圖，平行河岸兩側(cè)各有一城鎮(zhèn)P，Q，根據(jù)發(fā)展規(guī)劃，要修建一條橋梁連接P，Q兩鎮(zhèn)，已知相同長(zhǎng)度造橋總價(jià)遠(yuǎn)大于陸上公路造價(jià)，為了盡量減少總造價(jià)，應(yīng)該選擇方案（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，易證得此時(shí)PM+NQ最短.【詳解】解：如圖，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，則MN∥PP′且MN＝PP′，于是四邊形PMNP′為平行四邊形，故PM＝NP′．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．觀察選項(xiàng)，選項(xiàng)C符合題意．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查最短路徑問(wèn)題，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).【例33】在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點(diǎn)重合），PQ＝2（1）如圖①，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)Q移動(dòng)到BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP＝QE；（2）如圖②，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，在PQ的移動(dòng)過(guò)程中，若四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求BP的長(zhǎng)；（3）如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M、N均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小時(shí)，求此時(shí)四邊形PQNM的面積．【答案】(1）見(jiàn)解析；(2)4；(3)4【分析】（1）由“SAS”可證△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點(diǎn)P、Q的位置，可在AD上截取線(xiàn)段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線(xiàn)交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，則此時(shí)AP+EQ=EG最小，然后過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線(xiàn)交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H點(diǎn)，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長(zhǎng)度；（3）要使四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，作點(diǎn)Q關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時(shí)四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小，由面積和差關(guān)系可求解．（1）解：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；（2）如圖②，在AD上截取線(xiàn)段AF=PQ=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線(xiàn)交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線(xiàn)交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H點(diǎn)．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，設(shè)BP=x，則CQ=BCBPPQ=8x2=6x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6x=2，解得x=4，∴BP=4；（3）如圖③，作點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，作點(diǎn)Q關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時(shí)四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小，連接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BCBPPQ=832=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四邊形PQNM的面積=×PF×PH×PF×TM×QH×CN=×8×8×8×4×6×3=7．【點(diǎn)撥】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)求最短距離，直角三角形的性質(zhì)；通過(guò)構(gòu)造平行四邊形和軸對(duì)稱(chēng)找到點(diǎn)P和點(diǎn)Q位置是解題的關(guān)鍵。能力強(qiáng)化提升訓(xùn)練1.如圖，在五邊形中，，，，，在、上分別找到一點(diǎn)M、N，使得的周長(zhǎng)最小，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)要使的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，讓三角形的三邊在同一直線(xiàn)上，A關(guān)于和的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，即可得出，進(jìn)而得出即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于和的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，連接，，交于M，交于N，則，即為的周長(zhǎng)最小值．作延長(zhǎng)線(xiàn)，∵，∴，∴，∵，，且，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線(xiàn)問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．2.如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則α與β的數(shù)量關(guān)系為．【答案】【分析】作M關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于P，交于Q，則最小，易知，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于P，交于Q，則最小，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)—最短問(wèn)題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．3.如圖，在等腰中，，，作于點(diǎn)D，，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接，交于，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，證明即可．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接，交于，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，，，，，，，，，是等邊三角形，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，，，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)，最短路徑問(wèn)題和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用．堂堂清選擇題（每小題4分，共32分）1．如圖，在中，是的垂直平分線(xiàn)，P是直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短即可求解．【詳解】解：設(shè)與于點(diǎn),連接，如圖，∵，∴，∵是的垂直平分線(xiàn)，∴，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，，最小，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合．所以的最小值即為的長(zhǎng)，為6．所以的最小值為6．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是利用線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．2.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，則A．154 B．245 C．5 【答案】B【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，過(guò)點(diǎn)B'作B'D⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，此時(shí)PB+PD有最小值，連接AB'，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)，可知：BP=B【詳解】解：如下圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，過(guò)點(diǎn)B'作B'D⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)P，連接AB根據(jù)對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)，可知：BP=B在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3，∴AB=A根據(jù)對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)，可知：△ABC?△AB∴S即12∴5B∴B故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)一最短路線(xiàn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)3.如圖，直線(xiàn)a是一條輸氣管道，M，N是管道同側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)計(jì)劃在直線(xiàn)a上修建一個(gè)供氣站O，向M，N兩村莊供應(yīng)天然氣．在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（

）B．C．D．【答案】C【分析】利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，通過(guò)等線(xiàn)段代換，將所求路線(xiàn)長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離．【詳解】解：作點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，連接M'N交直線(xiàn)a根據(jù)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，可知選項(xiàng)C修建的管道，則所需管道最短．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問(wèn)題．這類(lèi)問(wèn)題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”．由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別．4.如圖，OA,OB分別是線(xiàn)段MC,MD的垂直平分線(xiàn)，MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm，一只小螞蟻從點(diǎn)M出發(fā)爬到OA邊上任意一點(diǎn)E，再爬到OB邊上任意一點(diǎn)FA．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【答案】B【分析】由題意可知CD與OA的交點(diǎn)為E，與OB的交點(diǎn)為F，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)計(jì)算即可；【詳解】由題意可知CD與OA的交點(diǎn)為E，與OB的交點(diǎn)為F．∵OA,OB分別是線(xiàn)段MC,MD的垂直平分線(xiàn)，∴ME=CE,MF=DF，∴小螞蟻爬行的最短路徑為ME+EF+FM=CE+EF+FD=CD=10cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路線(xiàn)問(wèn)題和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．5.如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別是AD和CD邊上的點(diǎn)，則四邊形BEFG周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．【答案】24【分析】作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G'，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接B'G'、B'E、FG'，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得BE=B'E，F(xiàn)G=FG'，再由【詳解】解：如圖，作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G'，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接B'G'∵BE=B'E∴BE+EF+FG+BG=B∵B'E+EF+F∴當(dāng)B'E+EF+FG'=∵BG=CG=CG'=∴BB'=AB+A∴B'∴BG+B∴四邊形BEFG的周長(zhǎng)的最小值為24，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵．6.如圖，直線(xiàn)l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間直線(xiàn)距離最短，使EFP'P為平行四邊形即可，即P【詳解】解：作PP'垂直于河岸l2連接QP'，與另一條河岸相交于F，作FE⊥l則EF∥PP'且∴四邊形EFP∴P'根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，QP'最短，即∴C選項(xiàng)符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，腰AC的垂直平分線(xiàn)EF分別交邊AC、AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，若D為BC邊的中點(diǎn)，M為線(xiàn)段EF上一動(dòng)點(diǎn)，若三角形CDM的周長(zhǎng)的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（

）A．78 B．39 C．42 D．30【答案】D【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，可得AD⊥BC，再根據(jù)EF是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)可知，點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖：連接AD，交EF于點(diǎn)M，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，CD=1∵EF是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，∴點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，AM=CM，∴此時(shí)△CDM∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13，∴AD=13?CD=13?3=10，∴S故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)?最短路線(xiàn)問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟知等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．如圖，河道l的同側(cè)有M、N兩地，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道，從P地把河水引向M、N兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】垂線(xiàn)段最短，指的是從直線(xiàn)外一點(diǎn)到這條直線(xiàn)所作的垂線(xiàn)段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線(xiàn)上其他各點(diǎn)的連線(xiàn)而言．【詳解】解：依據(jù)垂線(xiàn)段最短，以及兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，可得最節(jié)省材料的是：故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線(xiàn)段最短的運(yùn)用，實(shí)際問(wèn)題中涉及線(xiàn)路最短問(wèn)題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”和“垂線(xiàn)段最短”這兩個(gè)中去選擇．填空題（每小題4分，共20分）9.如圖，在銳角中，，，平分，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出符合題意的圖形，作N關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R，作AC邊上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根據(jù)垂線(xiàn)段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.解：作N關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R，作AC邊上的高BE（E在AC上）∵平分，△ABC是銳角三角形∴R必在AC上∵N關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是R∴MN=MR∴BM+MN=BM+MR∴BM+MN=BR≥BE（垂線(xiàn)段最短）∵，∴=18∴BE=cm即BM+MN的最小值是cm.【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)——最短路徑問(wèn)題.解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過(guò)角平分線(xiàn)性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短，確定線(xiàn)段和的最小值.10.小華的作業(yè)中有一道題：“如圖，AC，BD在AB的同側(cè)，，，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．若，求CD的最大值．”哥哥看見(jiàn)了，提示他將和分別沿CE、DE翻折得到和，連接．最后小華求解正確，得到CD的最大值是．【答案】7【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到，結(jié)合點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，可證明是等邊三角形，從而有，即可求出CD的最大值．解：∵，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵將和分別沿CE、DE翻折得到和，∴，，，，，，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵∴當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)D四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CD有最大值，即，【點(diǎn)撥】本題考查了翻折的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)．11.如圖，在中，，，點(diǎn)在直線(xiàn)上，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為度．【答案】【分析】如圖，作B關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接，的值最小，則交于P，由軸對(duì)稱(chēng)易證，結(jié)合證得是等邊三角形，可得，結(jié)合已知根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出，即可解決問(wèn)題．【詳解】如圖，作B關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接，的值最小，則交于P，由軸對(duì)稱(chēng)可知：，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)的聯(lián)系與運(yùn)用，會(huì)利用最短路徑解決最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．12.如圖，是內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上運(yùn)動(dòng)，若，，則的周長(zhǎng)的最小值為.【答案】3【分析】如圖，作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以證得：△COD是等邊三角形，據(jù)此即可求解．解：如圖，作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【點(diǎn)撥】此題主要考查軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題，綜合運(yùn)用了等邊三角形的知識(shí)．正確作出圖形，理解△PMN周長(zhǎng)最小的條件是解題的關(guān)鍵．13.如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線(xiàn)段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時(shí)，∠AFB＝_______°．【答案】105°【分析】如圖，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等三角形，證明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，將CE轉(zhuǎn)化為FH，與BF在同一個(gè)三角形中，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，確定點(diǎn)F的位置，即F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，BF＋CE的值最小，求出此時(shí)∠AFB＝105°．【詳解】解：如圖，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH交AD于M，連接FH，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°?60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，∴當(dāng)F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，BF＋CE的值最小，此時(shí)∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故答案為105°.【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題，關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，當(dāng)BF＋CE取得最小值時(shí)確定點(diǎn)F的位置，有難度．．三、解答題（共6小題，48分）14.（9分）如圖，平面上有五個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，E．按下列要求畫(huà)出圖形．（1）連接BD；（2）畫(huà)直線(xiàn)AC交線(xiàn)段BD于點(diǎn)M；（3）請(qǐng)?jiān)谥本€(xiàn)AC上確定一點(diǎn)N，使B，E兩點(diǎn)到點(diǎn)N的距離之和最?。敬鸢浮浚?）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意連接BD即可；（2）根據(jù)題意畫(huà)直線(xiàn)AB交BD于點(diǎn)M；（3）根據(jù)兩點(diǎn)直線(xiàn)線(xiàn)段最短，連接BE交AC于點(diǎn)N，點(diǎn)N即為所求．【詳解】解：（1）如圖，連接BD；（2）如圖，畫(huà)直線(xiàn)AB交BD于點(diǎn)M；（3）如圖，連接BE交AC于點(diǎn)N，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可得點(diǎn)N即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)線(xiàn)段，畫(huà)直線(xiàn)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，掌握基本作圖，理解線(xiàn)段和直線(xiàn)的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．15.（6分）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）請(qǐng)畫(huà)出ΔABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的ΔA（2）在x軸上求作一點(diǎn)P，使ΔPAB的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫(huà)出ΔPAB，并直接寫(xiě)出P的坐標(biāo)．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析，P坐標(biāo)為(2，0)【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、B1、（2）找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B與x軸相交于一點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P的位置，然后連接AP、BP并根據(jù)圖象寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）△A1（2）作點(diǎn)A(1，1)關(guān)于x軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'1,?1，連接A'B交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的點(diǎn)，連接△APB此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，0)【點(diǎn)睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．16.（9分）如圖，在中，，的垂直平分線(xiàn)交于，交于．（1）若，則的度數(shù)是；（2）連接，若，的周長(zhǎng)是．①求的長(zhǎng)；②在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使的值最小，若存在，標(biāo)出點(diǎn)的位置并直接寫(xiě)出的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）50°（2）①6cm②8cm【分析】（1）根據(jù)等腰三角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，可得∠A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角的關(guān)系，可得答案；（2）①根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得AM與MB的關(guān)系，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，可得答案；②根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，可得P點(diǎn)與M點(diǎn)的關(guān)系，可得PB＋PC與AC的關(guān)系．．【詳解】解：（1）若∠B＝70°，∵∴∠ABC=∠ACB=70°∴∠A=180°70°70°=40°∵的垂直平分線(xiàn)交于，∴MN⊥AB∴∠NMA=90°∠A=50°，故答案為：50°；（2）如圖：①∵M(jìn)N垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周長(zhǎng)是14cm，∴AC＋BC＝14cm，∴BC＝6cm．②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，PB＋CP=AP+PC=AC的值最小，最小值是8cm．故P點(diǎn)為所求，的最小值是8cm．【點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等得出PB＝PA．17.（8分）如圖1、圖2和圖3，A、B兩點(diǎn)在直線(xiàn)l同側(cè)，且點(diǎn)A、B所在直線(xiàn)與l不平行，在直線(xiàn)l上畫(huà)出符合要求的點(diǎn)P（不寫(xiě)做法與理由，保留作圖痕跡）．（1）為最大值，在圖1中的直線(xiàn)l上畫(huà)出點(diǎn)的位置；（2），在圖2中的直線(xiàn)l上畫(huà)出點(diǎn)的位置；（3）為最小值，在圖3中的直線(xiàn)l畫(huà)出點(diǎn)的位置．（1）的位置見(jiàn)解析；（2）的位置見(jiàn)解析；（3）的位置見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可得，且當(dāng)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)等號(hào)成立，由此可得點(diǎn)的位置；（2）根據(jù)垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等，作AB的垂直平分線(xiàn)與l的交點(diǎn)即為點(diǎn)的位置；（3）作B點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接與l的交點(diǎn)即為點(diǎn)的位置，原理是兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)．【詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)的位置如下；（2）如圖，點(diǎn)的位置如下；（3）如圖，點(diǎn)的位置如下．【點(diǎn)撥】本題考查作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，涉及的知識(shí)點(diǎn)有三角形三邊關(guān)系、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)——最短路徑問(wèn)題．掌握相關(guān)定理，能正確分析是解題關(guān)鍵．18.（8分）如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D與B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若AB=2，當(dāng)四邊形ADCE的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求BD的長(zhǎng)．（1）見(jiàn)詳解；（2）【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知,再利用等量代換可得，最后利用SAS可證全等；（2）由△ABD≌△ACE可知,AD=AE,當(dāng)四邊形ADCE的周長(zhǎng)取最小值時(shí),即AD取最小值時(shí)，此時(shí)AD⊥BC，求出此時(shí)BD的值即可得出答案.【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形∵∠DAE=60°即在和中，（2）∵△ABD≌△ACE∴,AD=AE,∴四邊形ADCE的周長(zhǎng)為∴當(dāng)四邊形ADCE的周長(zhǎng)取最小值時(shí),即AD取最小值時(shí)，此時(shí)AD⊥BC，【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.19.（8分）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB．（1）若∠ABC=70°，則∠MBC的度數(shù)是度；（2）若AB=8cm，△MBC的周長(zhǎng)是14cm．①求BC的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線(xiàn)MN上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出△PBC周長(zhǎng)的最小值．（1）30；（2）①BC=6cm；②△PBC周長(zhǎng)的最小值為14cm．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可求∠MBA，然后用角的和差即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的性質(zhì)可得AM=BM，然后求出△MBC的周長(zhǎng)=AC+BC，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；②當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，△PBC周長(zhǎng)的值最小，于是得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵M(jìn)N垂直平分AB，∴AM=MB，∴∠MBA=∠A=40°，∠MBC=∠ABC∠MBA=30°；故答案為：30°．（2）①由（1）可知，AM=BM，∴△MBC的周長(zhǎng)=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，∵AB=8cm，△MBC的周長(zhǎng)是14cm，∴BC=14－8=6（cm）；②當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，△PBC周長(zhǎng)的值最小，如圖，∵M(jìn)N垂直平分AB，∴PB=PA∴PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴P與M重合時(shí)，PA+PC=AC，此時(shí)PB+PC最小，∴△PBC周長(zhǎng)的最小值=AC+BC=8+6=14（cm）．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記并能熟練運(yùn)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵拓展培優(yōu)*沖刺滿(mǎn)分1.如圖①，△ABC，△CDE都是等邊三角形．發(fā)（1）寫(xiě)出AE與BD的大小關(guān)系.（2）若把△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，上述（1）的結(jié)論仍成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）△ABC的邊長(zhǎng)為5，△CDE的邊長(zhǎng)為2，把△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周后回到圖①位置，求出線(xiàn)段AE長(zhǎng)的最大值和最小值．（1）AE＝BD，理由見(jiàn)解析；（2）AE＝BD，理由見(jiàn)解析；（3）線(xiàn)段AE長(zhǎng)的最大值為7，最小值3．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，利用SAS