畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）-條件期望與方差的性質(zhì)及其應(yīng)用

條件期望與方差的性質(zhì)及其應(yīng)用摘要條件期望與條件方差是概率論中一個(gè)重要概念，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，在解決生活問題也常常用到.本文首先介紹了條件數(shù)學(xué)期望的和條件方差的定義及其相關(guān)性質(zhì)，然后通過舉例說明了條件期望與方差在線性預(yù)測(cè)、Wald方程、Markov過程、鞅論等方面的應(yīng)用.從而進(jìn)一步加深了對(duì)條件期望和方差的理解.關(guān)鍵詞條件期望條件方差Wald方程線性預(yù)測(cè)Markov過程目前，隨著概率的應(yīng)用越來越廣泛，條件期望與條件方差也越來越受重視，研究條件期望與條件方差有巨大的理論價(jià)值.期望在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用在很多書上沒有系統(tǒng)的給予論述，這篇文章從條件期望與條件方差的定義及其性質(zhì)出發(fā)，研究條件期望與條件方差在一些具體方面的應(yīng)用，為科學(xué)的理解其應(yīng)用給出依據(jù).2.條件期望與方差的定義及其性質(zhì)2.1條件期望和條件方差的定義定義1設(shè)(ξ,η)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率分布列為父父父則稱Xkp(ξ=Xkη=Yl）為ξ在給定η=Yl條件下的條件期望.父父若級(jí)數(shù)Xkp(ξ=Xkη=Yl）發(fā)散，就說ξ在給定η=Yl條件下的條件期望不存在.父k父k父k）為η在給定ξ=Xk條件下的條件期望.安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文父k父k）發(fā)散，就說η在給定ξ=Xk條件下的條件期望不存在.ξη01234000 1 21 2 21 1 4210 1 2 7 1 702 1 70 1 7 1 70031105 1 42000解ξ與η的邊際分布列分別為所以所以定義2設(shè)(ε,η)為二維連續(xù)隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度函數(shù)為p（x,y）(xy)dx絕對(duì)收斂，即：則稱(xy)dx為ξ在給定η=y條件下的條件期望.記作E(ξη=y即(xy)dx4)7安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文(xy)dx發(fā)散，就說ξ在給定η=y條件下的條件期望不存在.ypηξ(yx)dy絕對(duì)收斂，即則稱ypηξ(yx)dy為η在給定ξ=x條件下的條件期望ypηξ(yx)dy(yx)dy發(fā)散，就說η在給定ξ=x條件下的條件期望不存在.ydy222，p解ξ在η=y條件下的條件分布為正態(tài)分布12pσ2σ1η在ξ=x條件下的條件分布為正態(tài)分布N(pσ2σ1于是可得22222）定義3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y),把在X=x條件下Y的條件分布的期望記作：mYX(x)=E(Yx).稱mYX(X)為Y關(guān)于X的條件期望，記作E(YX),即mYX(X)=E(YX).注意：E(YX)是一個(gè)隨機(jī)變量，它是X的函數(shù).類似的，設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y),把在Y=y條件下X的條件分布的期望記作：mXY(y)=E(Xy).稱mXY(Y)為X關(guān)于Y的條件期望，記作E(XY),即mXY(Y)=E(XY).2.2條件數(shù)學(xué)期望與條件方差的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)ξ,η,ζ為概率空間(Ω,f,p）上的隨機(jī)變量，g(x)為r上的博雷爾可(1)當(dāng)ξ與η相互獨(dú)立時(shí)，E(ξη)=E(ξ)；(2)E[E(ξη)]=E(ξ);(7)E[(aξ+bη)ζ]=aE(ξ證明（1）因?yàn)棣闻cη相互獨(dú)立，所以F(x,(x),于是對(duì)使E(ξy）存在的任意實(shí)數(shù)y有xdFξ(x)=E(ξ)，i父父E(ξ)=E(ξAk)p(Ak)，稱上式為全數(shù)學(xué)期望公式，它對(duì)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算很有用.當(dāng)(ξ,η)為連續(xù)型時(shí)，設(shè)f(x,y)為其密度函數(shù)，則E[E(ξη)]=E(ξy)dFη(y)xdx]fη(y)dyxf(x,y)dx]dy父+父f(x,y)xfξ(x)dx一般地有全數(shù)學(xué)期望公式E(ξη=y)dFη(y)（3）只需證明對(duì)任意使E[g(η)ξy]存在的y都有E[g(y)ξy]=g(y)E(ξy)因?yàn)镋(ξy)=偽偽xdF(xy)，故當(dāng)y固定時(shí)，g(y)xdF(xy)xdF(xy)=g(y)E(ξy).（5）把C看成退化的且僅取C值的隨機(jī)變量ξ,則xdF(xy)=C偽偽dF(xy)=C故（7）設(shè)F(x,y,z)為(ξ,η,ζ)的分布函數(shù)，則對(duì)任意固定的z我們有ax+by)dF(x,yz)bydF(x,yz)故得E[xξ+bηζ]=aE(ξζ)+bE(ηζ)，其中E[(ξ-g(η))2η]=E{ξ-E(ξη)+E(ξη)-g(η)2η}又因?yàn)镋(ξη)-g(η)只是η的函數(shù)，由（3）得E{[ξ-(ξη)][E(ξη-g(η)]η}=0所以可得E[ξ-E(ξη)]2<E[ξ-g(η)]2定義4（條件方差）因?yàn)閷?duì)任一隨機(jī)變量ξ,有公式D(ξ)=E(ξ2）-[E(ξ)]2，如果E{[η-E(ηξ)]2ξ}存在，則稱它為給定ξ下η的條件方差.記為D(ηξ),即：D(ηε)=E{[η-E(ηξ)]2ξ}類似地給定η下，ξ的條件方差定義為用條件期望與條件方差可表示無條件方差.E{[ηE(ηξ)][E(ηξ)E(η)]ξ}=[E(ηξ)E(η)]E{[ηE(η,ξ)]ξ}=[E(ηξ)E(η)][E(ηξ)E(ηξ)]=0所以ξ]2兩邊取數(shù)學(xué)期望再注意到公式E[E(ηε)]=E(η)，得：3、條件期望與條件方差的應(yīng)用3.1線性預(yù)測(cè)中的應(yīng)用例3若以ε與η分別表示中國成年人的身高與足長(zhǎng)，則E(εη=y)就表示足長(zhǎng)為y的中國成年人的平均身高.解一般可以認(rèn)為(ε,η)服從二維正態(tài)分布N(μ1,μ2σ，σ，p）由條件期望的例2可知121σ21σ22σ2y2p的估計(jì)值，于是E(εη=y）就可估計(jì)出.對(duì)于成年男性來說，警方科研人員通過研究得到這是根據(jù)足長(zhǎng)預(yù)測(cè)身高的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式（單位：cm對(duì)破案起著重要作用.設(shè)X1,,Xn是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，EX1<偽，N是一個(gè)取正整數(shù)值的隨機(jī)變量，且與X1,,Xn獨(dú)立，EN<偽，則EXk=EN.EXly.證明3．3Markov鏈中的應(yīng)用一個(gè)隨機(jī)過程如果給定了當(dāng)前時(shí)刻t的值Xt,未來s持t的值Xs不受過去Xu(u<t)的影響就稱為是有Markov性.如果一個(gè)過程具有Markov性,則稱該過程為Markov過程.特別地,當(dāng)狀態(tài)空間S為至多可列集時(shí),Markov過程稱為Markov鏈.設(shè)(Xn,n之0)為一關(guān)于(Fn)適應(yīng)的隨機(jī)變量序列，稱(Xn,n之0)為鞅（上鞅，下鞅如果每個(gè)Xn為可積，且E[Xn+1Fn]=Xn(<Xn,之Xn)如果進(jìn)一步每個(gè)Xn為平方可積，稱(Xn,n之0)為平方可積鞅（上鞅，下鞅）結(jié)束語對(duì)于條件期望和條件方差的研究在概率論中是一個(gè)重要的問題，本文在前人研究的基礎(chǔ)上從條件期望和條件方差定義出發(fā)，總結(jié)并得出了它們的有關(guān)性質(zhì).并研究了它們?cè)趯?shí)際生活中的例子，很好的體現(xiàn)了條件期望和條件方差在生活方面的應(yīng)用.參考文獻(xiàn)[1]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京.高等教育出版社，1983：161-168.[2]嚴(yán)加安.測(cè)度論講義[M].北京.科學(xué)出版社，2000[3]嚴(yán)士健，劉秀芳.測(cè)度與概率[M].北京.北京師范大學(xué)出版社，2006[4]孫榮恒.應(yīng)用概率論[M].北京.科學(xué)出版社，2006[5]戴朝壽.概率論簡(jiǎn)明教程[M].北京.高等教育出版社，2008[6]戴朝壽.數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)明教程[M].北京.高等教育出版社，2010SomepropertiesofconditionalexpectationandvarianceanditsapplicationsAuthor:YangJunTutor:HuXuepingAbstractConditionalexpectationandvarianceconditionsareimportantconceptsinthetheoryofprobability,whichwidelyapplyinmathandoftensolveproblemsinlife.ThisarticlefirstintroducesthedefinitionandrelatedconditionspropertiesoftheConditionalexpectationandvarianceconditions.Thenitexplainsthatconditionsexpectationandvarianceapplyinlinearforecast,WaldMarkovprocessequation,andthe