質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)典型例題2

求解風(fēng)吹氣球時氣球的運(yùn)動情況一氣球以速率從地面上升，由于風(fēng)的影響，氣球的水平速度按增大，其中b是正的常量，y是從地面算起的高度，x軸取水平向右的方向。試計算：氣球的運(yùn)動學(xué)方程；氣球水平飄移的距離與高度的關(guān)系；氣球沿軌道運(yùn)動的切向加速度和軌道的曲率與高度的關(guān)系。解：（1）取平面直角坐標(biāo)系x0y，如圖一，令t=0時氣球位于坐標(biāo)原點(diǎn)（地面），已知，顯然，有（1）而對上式積分，得到（2）故氣球的運(yùn)動學(xué)方程為：.(2)由（1）和（2）式消去t，得到氣球的軌道方程，即氣球的水平飄移距離與高度的關(guān)系（3）氣球的運(yùn)動速率氣球的切向加速度而由和可得由，求得小船船頭恒指向某固定點(diǎn)的過河情況一條筆直的河流寬度為d，河水以恒定速度流動，小船從河岸的A點(diǎn)出發(fā)，為了到達(dá)對岸的O點(diǎn)，相對于河水以恒定的速率V（V>u）運(yùn)動，不論小船駛向何處，它的運(yùn)動方向總是指向O點(diǎn)，如圖一，已知試求：小船的運(yùn)動軌跡。若O點(diǎn)剛好在A點(diǎn)的對面（即），結(jié)果又如何？解：選定極坐標(biāo)系，原點(diǎn)為O點(diǎn)，極軸為。在任一時刻t，小船的位置為（），小船速度的徑向分量和橫向分量兩式相除，得到分離變量，積分后，得到既這就是用極坐標(biāo)表示的小船的軌跡方程。若O點(diǎn)剛好在A點(diǎn)的對面，則，代入，得求解小環(huán)對地的運(yùn)動情況一細(xì)桿繞端點(diǎn)O在平面內(nèi)勻角速旋轉(zhuǎn)，角速度為，桿上一小環(huán)（可看作質(zhì)點(diǎn)）相對桿作勻速運(yùn)動，速度為u.設(shè)時小環(huán)位于桿的端點(diǎn)O，求：小環(huán)的運(yùn)動軌跡及小環(huán)在任意時刻的速度和加速度。解：本題采用極坐標(biāo)系較為方便。取t=0時細(xì)桿的位置為極軸，此時小環(huán)位于端點(diǎn)O.任意時刻t，小環(huán)的位置.這就是小環(huán)在極坐標(biāo)系中的運(yùn)動學(xué)方程。消去t，便得小環(huán)的軌跡方程：式中為常量，與成正比，小環(huán)的軌跡為阿基米德螺線，如圖一。在任意時刻，小環(huán)的徑向速度橫向速度速度的大小速度的方向指向阿基米德線的切線方向。小環(huán)的徑向速度的大小不變，橫向速度隨r的增大而增大。任意時刻，小環(huán)的加速度， 和為徑向和橫向的單位矢量，則既徑向加速度橫向加速度.加速度的大小為盡管質(zhì)點(diǎn)的徑向速度大小不變，但徑向加速度并不為零，這是橫向速度方向的變化引起的。即使u=0,小環(huán)停在半徑上某一位置處，這一項還是有的，這就是向心加速度。橫向加速度一半是徑向速度的方向改變引起的，另一半則是由半徑增大造成橫向速度增大引起的，因為這里橫向加速度是由徑向速度和橫向速度共同造成的。運(yùn)用假設(shè)法判定靜摩擦力和滑動摩擦力在桌上有質(zhì)量為=1kg的板，板與桌面之間的摩擦因數(shù)0.5.板上有放有質(zhì)量=2kg的物體，板與物體之間的摩擦因數(shù)，如圖一。今以水平力F=19.6N將板從物體下抽出。問：板與物體的加速度各為多少？解：當(dāng)用力F拉動木板時，板上物體的運(yùn)動有兩種可能性，一是物體相對于板為靜止，另一是物體的加速度小于板的加速度，即物體的運(yùn)動滯后于板的運(yùn)動，板將從物體下抽出。現(xiàn)分兩種情況分別討論。物體的運(yùn)動滯后于板的運(yùn)動的情況物體和板的受力情況如圖二所示。注意桌面給予板的摩擦力以及板與物體間的摩擦力均為滑動摩擦力。設(shè)板的加速度為，物體的加速度為。列出板和物體的運(yùn)動方程：對板：，又因為聯(lián)立方程組，得代入數(shù)值，得在本題的條件下，這顯然是不合理的。物體與板相對靜止，物體與板一起運(yùn)動的情況物體與板的受力圖如圖三所示。這里桌面給予板的摩擦力為滑動摩擦力，而物體與板間的摩擦力為靜摩擦力。板與物體的加速度相同，設(shè)為a，列出板與物體的運(yùn)動方程：又因為聯(lián)立解方程，得到代入數(shù)值，得到，所求得的靜摩擦力小于最大靜摩擦力（），所以是可能實現(xiàn)的。由第一種情況的討論可知，只有才能將板從物體下抽出，根據(jù)以上計算結(jié)果，可得或者代入數(shù)值，得到飛車走壁一雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁。設(shè)演員和摩托車的總質(zhì)量為M，直壁半徑為R，演員騎摩托車在直壁上以速率V做勻速圓周螺旋運(yùn)動，每繞一周上升的距離為h，如圖一所示，求：直壁對演員和摩托車的作用力。解：演員受到兩個力的作用。一是重力G，另一個是直壁的作用力N.把N分解為沿直壁向上的和指向圓周運(yùn)動中心的，如圖二所示。同樣，把演員的速度V分解為豎直向上的和繞筒壁做圓周運(yùn)動的水平速度，于是展開螺旋面成斜面，如圖三所示，V沿斜面向上。且有代入，得到故圓筒壁對雜技演員的作用力大小為方向與壁成角，求解小船轉(zhuǎn)向的情況一質(zhì)量為M的機(jī)動船，在進(jìn)入河道彎道前Q點(diǎn)處關(guān)閉發(fā)動機(jī)，以速度在靜水中行駛，設(shè)水的阻力與船速成正比。（1）若Q點(diǎn)至彎道處P點(diǎn)的距離為，求船行至P點(diǎn)時的速度；（2）若船行至P點(diǎn)時開動發(fā)動機(jī)，給船以的轉(zhuǎn)向力，與速度方向的夾角為，如圖一所示，求：船在該點(diǎn)的切向加速度以及航道的曲率半徑。解：（1）在PQ的河流直道行駛中，船僅受水的阻力，k為比例系數(shù)，負(fù)號表示與速度的方向相