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文檔簡介
2024屆吉林省長春市19中高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.正四棱錐的五個頂點在同一個球面上,它的底面邊長為,側(cè)棱長為,則它的外接球的表面積為()A. B. C. D.2.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a3.以,為直徑的圓的方程是A. B.C. D.4.在三角形中,,,求()A. B. C. D.5.某個小區(qū)住戶共200戶,為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調(diào)查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.1406.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為A. B.C. D.7.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.正三棱錐底面邊長為3,側(cè)棱與底面成角,則正三棱錐的外接球的體積為()A. B. C. D.9.若復(fù)數(shù)滿足,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,則()A.1 B.0 C. D.10.在正方體中,點,,分別為棱,,的中點,給出下列命題:①;②;③平面;④和成角為.正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.311.函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是()A. B. C. D.12.已知邊長為4的菱形,,為的中點,為平面內(nèi)一點,若,則()A.16 B.14 C.12 D.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角,,所對的邊分別邊,且,設(shè)角的角平分線交于點,則的值最小時,___.14.從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù),每天安排一人,每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加,且當甲、乙兩人都參加時,他們參加社區(qū)服務(wù)的日期不相鄰,那么不同的安排種數(shù)為______________.(用數(shù)字作答)15.三對父子去參加親子活動,坐在如圖所示的6個位置上,有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種(比如:B與D、B與C是相鄰的,A與D、C與D是不相鄰的).16.已知,圓,直線PM,PN分別與圓O相切,切點為M,N,若,則的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,為等腰直角三角形,,平面底面,為的中點.(1)求證:平面;(2)若平面與平面的交線為,求二面角的正弦值.18.(12分)如圖,點是以為直徑的圓上異于、的一點,直角梯形所在平面與圓所在平面垂直,且,.(1)證明:平面;(2)求點到平面的距離.19.(12分)如圖,已知三棱柱中,與是全等的等邊三角形.(1)求證:;(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足.(1)求B;(2)若,AD為BC邊上的中線,當?shù)拿娣e取得最大值時,求AD的長.21.(12分)某企業(yè)現(xiàn)有A.B兩套設(shè)備生產(chǎn)某種產(chǎn)品,現(xiàn)從A,B兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測某一項質(zhì)量指標值,若該項質(zhì)量指標值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則為不合格品.圖1是從A設(shè)備抽取的樣本頻率分布直方圖,表1是從B設(shè)備抽取的樣本頻數(shù)分布表.圖1:A設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻率分布直方圖表1:B設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻數(shù)分布表質(zhì)量指標值頻數(shù)2184814162(1)請估計A.B設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標的平均值;(2)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,并對合格品進行等級細分,質(zhì)量指標值落在內(nèi)的定為一等品,每件利潤240元;質(zhì)量指標值落在或內(nèi)的定為二等品,每件利潤180元;其它的合格品定為三等品,每件利潤120元.根據(jù)圖1、表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.企業(yè)由于投入資金的限制,需要根據(jù)A,B兩套設(shè)備生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品每件獲得利潤的期望值調(diào)整生產(chǎn)規(guī)模,請根據(jù)以上數(shù)據(jù),從經(jīng)濟效益的角度考慮企業(yè)應(yīng)該對哪一套設(shè)備加大生產(chǎn)規(guī)模?22.(10分)分別為的內(nèi)角的對邊.已知.(1)若,求;(2)已知,當?shù)拿娣e取得最大值時,求的周長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
如圖所示,在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,計算長度,設(shè)球半徑為,則,解得,得到答案.【詳解】如圖所示:在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,,故,,設(shè)球半徑為,則,解得,故.故選:.【點睛】本題考查了四棱錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.2、C【解析】
兩復(fù)數(shù)相等,實部與虛部對應(yīng)相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
設(shè)圓的標準方程,利用待定系數(shù)法一一求出,從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的標準方程為,由題意得圓心為,的中點,根據(jù)中點坐標公式可得,,又,所以圓的標準方程為:,化簡整理得,所以本題答案為A.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程,解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標準方程,建立方程組,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值,再利用正弦定理可求得的值.【詳解】,由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,,.由正弦定理得.故選:A.【點睛】本題考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.5、C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C6、D【解析】分析:根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解:因為每一個單音與前一個單音頻率比為,所以,又,則故選D.點睛:此題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種:(1)定義法,若()或(),數(shù)列是等比數(shù)列;(2)等比中項公式法,若數(shù)列中,且(),則數(shù)列是等比數(shù)列.7、B【解析】
或,從而明確充分性與必要性.【詳解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【點睛】本題考查充分性與必要性,簡單三角方程的解法,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高,再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.【詳解】如圖,正三棱錐中,是底面的中心,則是正棱錐的高,是側(cè)棱與底面所成的角,即=60°,由底面邊長為3得,∴.正三棱錐外接球球心必在上,設(shè)球半徑為,則由得,解得,∴.故選:D.【點睛】本題考查球體積,考查正三棱錐與外接球的關(guān)系.掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵.9、C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】解:∵,∴,則,∴,故選:C.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
建立空間直角坐標系,利用向量的方法對四個命題逐一分析,由此得出正確命題的個數(shù).【詳解】設(shè)正方體邊長為,建立空間直角坐標系如下圖所示,,.①,,所以,故①正確.②,,不存在實數(shù)使,故不成立,故②錯誤.③,,,故平面不成立,故③錯誤.④,,設(shè)和成角為,則,由于,所以,故④正確.綜上所述,正確的命題有個.故選:C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法,考查運算求解能力,屬于中檔題.11、C【解析】
先求導(dǎo)函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立,對導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象,列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,則,故在上恒成立;結(jié)合圖象可知,,解得故.故選:C.【點睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當作一個角(或),利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解;(2)圖象法:畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線,結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.12、B【解析】
取中點,可確定;根據(jù)平面向量線性運算和數(shù)量積的運算法則可求得,利用可求得結(jié)果.【詳解】取中點,連接,,,即.,,,則.故選:.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題,涉及到平面向量的線性運算,關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M行拆解,進而利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意,利用余弦定理和基本不等式得出,再利用正弦定理,即可得出.【詳解】因為,則,由余弦定理得:,當且僅當時取等號,又因為,,所以.故答案為:.【點睛】本題考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用,以及基本不等式求最值,考查計算能力.14、5040.【解析】分兩類,一類是甲乙都參加,另一類是甲乙中選一人,方法數(shù)為。填5040.【點睛】利用排列組合計數(shù)時,關(guān)鍵是正確進行分類和分步,分類時要注意不重不漏.在本題中,甲與乙是兩個特殊元素,對于特殊元素“優(yōu)先法”,所以有了分類。本題還涉及不相鄰問題,采用“插空法”。15、192【解析】
根據(jù)題意,分步進行分析:①,在三對父子中任選1對,安排在相鄰的位置上,②,將剩下的4人安排在剩下的4個位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分步進行分析:①,在三對父子中任選1對,有3種選法,由圖可得相鄰的位置有4種情況,將選出的1對父子安排在相鄰的位置,有種安排方法;②,將剩下的4人安排在剩下的4個位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,有種安排方法,則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種;故答案為:【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
由可知R為中點,設(shè),由過切點的切線方程即可求得,,代入,,則在直線上,即可得方程為,將,代入化簡可得,則直線過定點,由則點在以為直徑的圓上,則.即可求得.【詳解】如圖,由可知R為MN的中點,所以,,設(shè),則切線PM的方程為,即,同理可得,因為PM,PN都過,所以,,所以在直線上,從而直線MN方程為,因為,所以,即直線MN方程為,所以直線MN過定點,所以R在以O(shè)Q為直徑的圓上,所以.故答案為:.【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系,考查圓的切線方程,定點和圓上動點距離的最值問題,考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和計算能力,難度較難.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)取的中點,連接,易得,進而可證明四邊形為平行四邊形,即,從而可證明平面;(2)取中點,中點,連接,易證平面,平面,從而可知兩兩垂直,以點為坐標原點,向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系,進而求出平面的法向量,及平面的法向量為,由,可求得平面與平面所成的二面角的正弦值.【詳解】(1)證明:如圖1,取的中點,連接.,,,,且,四邊形為平行四邊形,.又平面,平面,平面.(2)如圖2,取中點,中點,連接.,,平面平面,平面平面,平面,平面,兩兩垂直.以點為坐標原點,向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系.由,可得,在等腰梯形中,,易知,.則,,設(shè)平面的法向量為,則,取,得.設(shè)平面的法向量為,則,取,得.因為,,,所以,所以平面與平面所成的二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查二面角的求法,利用空間向量法是解決本題的較好方法,屬于中檔題.18、(1)見解析;(2)【解析】
(1)取的中點,證明,則平面平面,則可證平面.(2)利用,是平面的高,容易求.,再求,則點到平面的距離可求.【詳解】解:(1)如圖:取的中點,連接、.在中,是的中點,是的中點,平面平面,故平面在直角梯形中,,且,∴四邊形是平行四邊形,,同理平面又,故平面平面,又平面平面.(2)是圓的直徑,點是圓上異于、的一點,又∵平面平面,平面平面平面,可得是三棱錐的高線.在直角梯形中,.設(shè)到平面的距離為,則,即由已知得,由余弦定理易知:,則解得,即點到平面的距離為故答案為:.【點睛】考查線面平行的判定和利用等體積法求距離的方法,是中檔題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)取BC的中點O,則,由是等邊三角形,得,從而得到平面,由此能證明(2)以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到結(jié)果.【詳解】(1)取BC的中點O,連接,,由于與是等邊三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)設(shè),是全等的等邊三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則,,,設(shè)平面的一個法向量為,則,令,則,又平面的一個法向量為,所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為.【點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題,涉及到的知識點有利用線面垂直證明線性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,屬于中檔題目.20、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理及可得,從而得到;(2)在中,利用余弦定可得,,而,故當時,的面積取得最大值,此時,,在中,再利用余弦定理即可解決.【詳解】(1)由正弦定理及已知得,結(jié)合,得,因為,所以,由,得.(2)在中,由余弦定得,因為,所以,當且僅當時,的面積取得最大值,此時.在中,由余弦定理得.即.【點睛】本題考查正余弦定理解三角形,涉及
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