2024屆廣東省深中、華附、省實(shí)、廣雅四校聯(lián)考高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2024屆廣東省深中、華附、省實(shí)、廣雅四校聯(lián)考高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)全集,集合,則=()A. B. C. D.2.某三棱錐的三視圖如圖所示,那么該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.03.在很多地鐵的車廂里,頂部的扶手是一根漂亮的彎管,如下圖所示.將彎管形狀近似地看成是圓弧,已知彎管向外的最大突出(圖中)有,跨接了6個(gè)坐位的寬度(),每個(gè)座位寬度為,估計(jì)彎管的長(zhǎng)度,下面的結(jié)果中最接近真實(shí)值的是()A. B. C. D.4.若,,,點(diǎn)C在AB上,且,設(shè),則的值為()A. B. C. D.5.定義在上函數(shù)滿足,且對(duì)任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立,若關(guān)于x的不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.6.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.7.設(shè),,,則、、的大小關(guān)系為()A. B. C. D.8.袋中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)小球,從袋子中一次性摸出兩個(gè)球,記下號(hào)碼并放回,如果兩個(gè)號(hào)碼的和是3的倍數(shù),則獲獎(jiǎng),若有5人參與摸球,則恰好2人獲獎(jiǎng)的概率是()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù),則的虛部為()A. B. C. D.110.如圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C. D.11.若向量,,則與共線的向量可以是()A. B. C. D.12.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn),是線段上的點(diǎn),且,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線C:()的左、右焦點(diǎn)為,,為雙曲線C上一點(diǎn),且,若線段與雙曲線C交于另一點(diǎn)A,則的面積為______.14.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,,則球的表面積為__________.15.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為,則數(shù)列的前項(xiàng)和_____.16.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,.若;且,則周長(zhǎng)的范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求函數(shù)的值域;(2)設(shè)為的三個(gè)內(nèi)角,若,求的值;18.(12分)已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P是拋物線Γ上一點(diǎn),且在第一象限,滿足(2,2)(1)求拋物線Γ的方程;(2)已知經(jīng)過點(diǎn)A(3,﹣2)的直線交拋物線Γ于M,N兩點(diǎn),經(jīng)過定點(diǎn)B(3,﹣6)和M的直線與拋物線Γ交于另一點(diǎn)L,問直線NL是否恒過定點(diǎn),如果過定點(diǎn),求出該定點(diǎn),否則說明理由.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為:,曲線的參數(shù)方程為其中,為參數(shù),為常數(shù).(1)寫出與的直角坐標(biāo)方程;(2)在什么范圍內(nèi)取值時(shí),與有交點(diǎn).20.(12分)已知橢圓:(),與軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點(diǎn),連接,并延長(zhǎng)交直線于,兩點(diǎn),已知,求證:直線恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).21.(12分)已知集合,集合,.(1)求集合B;(2)記,且集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù)().(1)討論的單調(diào)性;(2)若對(duì),恒成立,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先求得全集包含的元素,由此求得集合的補(bǔ)集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

由三視圖還原原幾何體,借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,其中,,為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

為彎管,為6個(gè)座位的寬度,利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為,從而可得弧所對(duì)的圓心角,再利用弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】如圖所示,為彎管,為6個(gè)座位的寬度,則設(shè)弧所在圓的半徑為,則解得可以近似地認(rèn)為,即于是,長(zhǎng)所以是最接近的,其中選項(xiàng)A的長(zhǎng)度比還小,不可能,因此只能選B,260或者由,所以弧長(zhǎng).故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式,需熟記公式,考查了學(xué)生的分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.【詳解】解:,,又在上,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用,向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用.5、B【解析】

結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡(jiǎn)題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)于恒成立,即即對(duì)恒成立即對(duì)恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點(diǎn)睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.6、D【解析】

求解不等式,得到集合A,B,利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.7、D【解析】

因?yàn)?,,所以且在上單調(diào)遞減,且所以,所以,又因?yàn)?,,所以,所?故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指對(duì)數(shù)的大小,難度一般.除了可以直接利用單調(diào)性比較大小,還可以根據(jù)中間值“”比較大小.8、C【解析】

先確定摸一次中獎(jiǎng)的概率,5個(gè)人摸獎(jiǎng),相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn),根據(jù)每一次發(fā)生的概率,利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得到結(jié)果.【詳解】從6個(gè)球中摸出2個(gè),共有種結(jié)果,兩個(gè)球的號(hào)碼之和是3的倍數(shù),共有摸一次中獎(jiǎng)的概率是,5個(gè)人摸獎(jiǎng),相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn),且每一次發(fā)生的概率是,有5人參與摸獎(jiǎng),恰好有2人獲獎(jiǎng)的概率是,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率,考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率,解題時(shí)主要是看清摸獎(jiǎng)5次,相當(dāng)于做了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),利用公式做出結(jié)果,屬于中檔題.9、C【解析】

先將,化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為,再得到下結(jié)論.【詳解】已知復(fù)數(shù),所以,所以的虛部為-1.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由半圓面積之比,可求出兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度之比,從而可知,結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,即可求出,由二倍角公式即可求出.【詳解】解:由題意知,以為直徑的半圓面積,以為直徑的半圓面積,則,即.由,得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.11、B【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.12、C【解析】試題分析:設(shè),由題意,顯然時(shí)不符合題意,故,則,可得:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故選C.考點(diǎn):1.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì);2.均值不等式.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程,均值不等式的靈活運(yùn)用,屬于中檔題.解題時(shí)一定要注意分析條件,根據(jù)條件,利用向量的運(yùn)算可知,寫出直線的斜率,注意均值不等式的使用,特別是要分析等號(hào)是否成立,否則易出問題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由已知得即,,可解得,由在雙曲線C上,代入即可求得雙曲線方程,然后求得直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點(diǎn)A坐標(biāo),借助,即可解得所求.【詳解】由已知得,又,,所以,解得或,由在雙曲線C上,所以或,所以或(舍去),因此雙曲線C的方程為.又,所以線段的方程為,與雙曲線C的方程聯(lián)立消去x整理得,所以,,所以點(diǎn)A坐標(biāo)為,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查雙曲線方程的求解,考查求三角形面積,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度較難.14、【解析】

如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球,長(zhǎng)、寬、高分別為,計(jì)算得到,得到答案.【詳解】如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球,長(zhǎng)、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解題的關(guān)鍵.15、【解析】

解:兩式作差,得,經(jīng)過檢驗(yàn)得出數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】解:兩式作差,得化簡(jiǎn)得,檢驗(yàn):當(dāng)n=1時(shí),,所以數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列;,,令故填:.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前n項(xiàng)和,解題過程中需要注意n的范圍以及對(duì)特殊項(xiàng)的討論,側(cè)重考查運(yùn)算能力.16、【解析】

先求角,再用余弦定理找到邊的關(guān)系,再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解:所以三角形周長(zhǎng)故答案為:【點(diǎn)睛】考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件;基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)將,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為:,,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解,(2)根據(jù),得,又為的內(nèi)角,得到,再根據(jù),利用兩角和與差的余弦公式求解,【詳解】(1),,,,即的值域?yàn)?;?)由,得,又為的內(nèi)角,所以,又因?yàn)樵谥?,,所以,所?【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題,18、(1)y2=4x;;(2)直線NL恒過定點(diǎn)(﹣3,0),理由見解析.【解析】

(1)根據(jù)拋物線的方程,求得焦點(diǎn)F(,0),利用(2,2),表示點(diǎn)P的坐標(biāo),再代入拋物線方程求解.(2)設(shè)M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),表示出MN的方程y和ML的方程y,因?yàn)锳(3,﹣2),B(3,﹣6)在這兩條直線上,分別代入兩直線的方程可得y1y2=12,然后表示直線NL的方程為:y﹣y1(x),代入化簡(jiǎn)求解.【詳解】(1)由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(,0),滿足(2,2)的P的坐標(biāo)為(2,2),P在拋物線上,所以(2)2=2p(2),即p2+4p﹣12=0,p>0,解得p=2,所以拋物線的方程為:y2=4x;(2)設(shè)M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),則y12=4x1,y22=4x2,直線MN的斜率kMN,則直線MN的方程為:y﹣y0(x),即y①,同理可得直線ML的方程整理可得y②,將A(3,﹣2),B(3,﹣6)分別代入①,②的方程可得,消y0可得y1y2=12,易知直線kNL,則直線NL的方程為:y﹣y1(x),即yx,故yx,所以y(x+3),因此直線NL恒過定點(diǎn)(﹣3,0).【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的方程及直線與拋物線的位置關(guān)系,直線過定點(diǎn)問題,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.19、(1),.(2)【解析】

(1)利用,代入可求;消參可得直角坐標(biāo)方程.(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程,與有交點(diǎn),可得,解不等式即可求解.【詳解】(1)(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程得:與有交點(diǎn),即【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、直線與圓的位置關(guān)系的判斷,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)證明見解析;定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】

(1)由條件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此時(shí)滿足∴∴直線恒過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】涉及橢圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.21、(1)(2)【解析】

(1)由不等式可得,討論與的關(guān)系,即可得到結(jié)果;(2)先解得不等式,由集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù),當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為;當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為,進(jìn)而求解即可.【詳解】解:(1)因?yàn)?所以,當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),.(2)由得,當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即;當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即;綜上,滿足題意的k的范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式,考查由交集的結(jié)果求參數(shù)范圍,考查分類討論思想與運(yùn)算能力.22、(1)①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;(2).【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),,對(duì)討論,得導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得原函數(shù)的單調(diào)性;(2)法一:由得,分別運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)(),的單調(diào)性,和其函數(shù)的最值,可得,可得的范圍;法二:由得,化為令(),

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