專題05 二次函數(shù)與相似三角形有關問題（專項訓練）（解析版）

專題05二次函數(shù)與相似三角形有關問題（專項訓練）1．（2021?黔東南州）如圖，拋物線y＝ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸交于A、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），拋物線的頂點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）已知點M是x軸上的動點，過點M作x的垂線交拋物線于點G，是否存在這樣的點M，使得以點A、M、G為頂點的三角形與△BCD相似，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）將點B（3，0），C（0，﹣3）分別代入y＝ax2﹣2x+c中，得：，解得，∴拋物線的函數(shù)關系為y＝x2﹣2x﹣3；（2）由拋物線的表達式知，其對稱軸為x＝﹣＝1，故設點P（1，m），點Q（x，0），B（3，0），C（0，﹣3），①以PB為對角線時，，解得：，∴P（1，﹣3），Q（4，0）；（2）當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），又y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點D的坐標為（1，﹣4），∵C（0，﹣3）、B（3，0）、D（1，﹣4），∴BD2＝22+42＝20，CD2＝12+12，BC2＝32+32，∴BD2＝CD2+BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝90°，設點M的坐標（m，0），則點G的坐標為（m，m2﹣2m﹣3），根據(jù)題意知：∠AMG＝∠BCD＝90°，∴要使以A、M、G為頂點的三角形與△BCD相似，需要滿足條件：，①當m＜﹣1時，此時有：，解得：，m2＝﹣1或m1＝0，m2＝﹣1，都不符合m＜﹣1，所以m＜﹣1時無解；②當﹣1＜m≤3時，此時有：，解得：，m2＝﹣1（不符合要求，舍去）或m1＝0，m2＝﹣1（不符合要求，舍去），∴M（）或M（0，0），③當m＞3時，此時有：或，解得：（不符合要求，舍去）或m1＝6，m2＝﹣1（不符要求，舍去），∴點M（6，0）或M（，0），答：存在點M，使得A、M、G為頂點的三角形與△BCD相似，點M的坐標為：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）．2．（2021?無錫）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y＝﹣x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數(shù)y＝ax2+2x+c的圖象過B、C兩點，且與x軸交于另一點A，點M為線段OB上的一個動點，過點M作直線l平行于y軸交BC于點F，交二次函數(shù)y＝ax2+2x+c的圖象于點E．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）當以C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似時，求線段EF的長度；【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，∴B（3，0），C（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：，解得，∴二次函數(shù)的表達式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖：在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，∴以C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似，B和F為對應點，設E（m，﹣m2+2m+3），則F（m，﹣m+3），∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，①△ABC∽△CFE時，＝，∴＝，解得m＝或m＝0（舍去），∴EF＝，②△ABC∽△EFC時，＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴EF＝，綜上所述，EF＝或．3．（2021?濟寧）如圖，直線y＝﹣x+分別交x軸、y軸于點A，B，過點A的拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一交點為C，與y軸交于點D（0，3），拋物線的對稱軸l交AD于點E，連接OE交AB于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）求證：OE⊥AB；（3）P為拋物線上的一動點，直線PO交AD于點M，是否存在這樣的點P，使以A，O，M為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+分別交x軸、y軸于點A，B，∴A（3，0），B（0，），∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（3，0），D（0，3），∴，解得：，∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，設直線AD的解析式為y＝kx+a，將A（3，0），D（0，3）代入，得：，解得：，∴直線AD的解析式為y＝﹣x+3，∴E（1，2），∵G（1，0），∠EGO＝90°，∴tan∠OEG＝＝，∵OA＝3，OB＝，∠AOB＝90°，∴tan∠OAB＝＝＝，∴tan∠OAB＝tan∠OEG，∴∠OAB＝∠OEG，∵∠OEG+∠EOG＝90°，∴∠OAB+∠EOG＝90°，∴∠AFO＝90°，∴OE⊥AB；（3）存在．∵A（3，0），拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴C（﹣1，0），∴AC＝3﹣（﹣1）＝4，∵OA＝OD＝3，∠AOD＝90°，∴AD＝OA＝3，設直線CD解析式為y＝mx+n，∵C（﹣1，0），D（0，3），∴，解得：，∴直線CD解析式為y＝3x+3，①當△AOM∽△ACD時，∠AOM＝∠ACD，如圖2，∴OM∥CD，∴直線OM的解析式為y＝3x，結合拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，得：3x＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝，x2＝，②當△AMO∽△ACD時，如圖3，∴＝，∴AM＝＝＝2，過點M作MG⊥x軸于點G，則∠AGM＝90°，∵∠OAD＝45°，∴AG＝MG＝AM?sin45°＝2×＝2，∴OG＝OA﹣AG＝3﹣2＝1，∴M（1，2），設直線OM解析式為y＝m1x，將M（1，2）代入，得：m1＝2，∴直線OM解析式為y＝2x，結合拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，得：2x＝﹣x2+2x+3，解得：x＝±，綜上所述，點P的橫坐標為±或．4．（2021?懷化）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；【解答】解：（1）由題意得，點A、B、C的坐標分別為（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），設拋物線的表達式為y＝ax2+bx+c，則，解得，故拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+8；（2）存在，理由：當∠CP′M為直角時，則以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似時，則P′C∥x軸，則點P′的坐標為（1，8）；當∠PCM為直角時，在Rt△OBC中，設∠CBO＝α，則tan∠CBO＝＝2＝tanα，則sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，則BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由點B、C的坐標得，BC＝＝4，則CM＝BC﹣MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，則PM＝＝＝，則PN＝MN+PM＝6+＝，故點P的坐標為（1，），故點P的坐標為（1，8）或（1，）；5．（2021?遂寧）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B（﹣3，0）兩點，與y軸交于C（0，﹣3），對稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝﹣2x+m經(jīng)過點A，且與y軸交于點D，與拋物線交于點E，與對稱軸交于點F．（1）求拋物線的解析式和m的值；（2）在y軸上是否存在點P，使得以D、E、P為頂點的三角形與△AOD相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由；【解答】解：（1）∵拋物線的對稱軸x＝﹣1，與x軸的交點為A，B（﹣3，0），∴A（1，0），∴可以假設拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，﹣3）代入得到，a＝1，∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3．∵直線y＝﹣2x+m經(jīng)過點A（1，0），∴0＝﹣2+m，∴m＝2．（2）如圖1中，∵直線AF的解析式為y＝﹣2x+2，直線交y軸于D，與拋物線交于點E，∴D（0，2），由，解得即點A，或，∴E（﹣5，12），過點E作EP⊥y軸于P．∵∠EPD＝∠AOD＝90°，∠EDP＝∠ODA，∴△EDP∽△ADO，∴P（0，12）．過點E作EP′⊥DE交y軸于P′，同法可證，△P′DE∽△ADO，∴∠P′＝∠DAO，∴tan∠P′＝tan∠DAO，∴＝，∴＝，∴PP′＝2.5，∴P′（0，14.5），綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（0，12）或（0，14.5）．6．（2021?瀘州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+x+4與兩坐標軸分別相交于A，B，C三點．（1）求證：∠ACB＝90°；（2）點D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點，過點D作x軸的垂線交BC于點E，交x軸于點F．①求DE+BF的最大值；②點G是AC的中點，若以點C，D，E為頂點的三角形與△AOG相似，求點D的坐標．【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x1＝﹣2，x2＝8，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10，∴AC2＝OA2+OC2＝20，BC2＝OB2+OC2＝80，∴AC2+BC2＝100，而AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°；（2）①設直線BC解析式為y＝kx+b，將B（8，0），C（0，4）代入可得：，解得，∴直線BC解析式為y＝﹣x+4，設第一象限D（m，+m+4），則E（m，﹣m+4），∴DE＝（+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，BF＝8﹣m，∴DE+BF＝（﹣m2+2m）+（8﹣m）＝﹣m2+m+8＝﹣（m﹣2）2+9，∴當m＝2時，DE+BF的最大值是9；②由（1）知∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵DF⊥x軸于F，∴∠FEB+∠CBA＝90°，∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，（一）當A與E對應時，以點C，D，E為頂點的三角形與△AOG相似，只需＝或＝，而G為AC中點，A（﹣2，0），C（0，4），∴G（﹣1，2），OA＝2，AG＝，由①知：DE＝﹣m2+2m，E（m，﹣m+4），∴CE＝＝，當＝時，＝，解得m＝4或m＝0（此時D與C重合，舍去）∴D（4，6），當＝時，＝，解得m＝3或m＝0（舍去），∴D（3，），∵在Rt△AOC中，G是AC中點，∴OG＝AG，∴∠GAO＝∠GOA，即∠CAB＝∠GOA，∴∠DEC＝∠GOA，（二）當O與E對應時，以點C，D，E為頂點的三角形與△AOG相似，只需＝或＝，∵OG＝AG，∴＝與＝答案相同，同理＝與或＝答案相同，綜上所述，以點C，D，E為頂點的三角形與△AOG相似，則D的坐標為（4，6）或（3，）．7．（2021?江岸區(qū)校級自主招生）如圖，已知對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為（1，0）．（1）求點B的坐標及拋物線的表達式；（2）在x軸上是否存在點M，使△MOC與△BCP相似？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出點M的坐標【不必書寫求解過程】．【解答】解：（1）由題意，，解得，∴拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，則﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝1或﹣3，∴B（﹣3，0）．（2）存在．如圖2中，連接PB，PC．∵B（﹣3，0），P（﹣1，4），C（0，3），∴BC＝3，PC＝，PB＝2，∴PB2＝PC2+CB2，∴∠PCB＝90°，PC：BC＝：3＝1：3，當MO：OC＝1：3或OC：MO＝1：3時，△COM與△BCP相似，∴OM＝1或9，∴滿足條件的點M的坐標為（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）．8．（2020?柳州）如圖①，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣4x+a（a＜0）與y軸交于點A，與x軸交于E、F兩點（點E在點F的右側），頂點為M．直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點，與直線AM交于點D．（1）求拋物線的對稱軸；（2）在y軸右側的拋物線上存在點P，使得以P、A、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求a的值；（3）如圖②，過拋物線頂點M作MN⊥x軸于N，連接ME，點Q為拋物線上任意一點，過點Q作QG⊥x軸于G，連接QE．當a＝﹣5時，是否存在點Q，使得以Q、E、G為頂點的三角形與△MNE相似（不含全等）？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2；（2）由y＝（x﹣2）2+a﹣4得：A（0，a），M（2，a﹣4），由y＝x﹣a得C（0，﹣a），設直線AM的解析式為y＝kx+a，將M（2，a﹣4）代入y＝kx+a中，得2k+a＝a﹣4，解得k＝﹣2，直線AM的解析式為y＝﹣2x+a，聯(lián)立方程組得，解得，∴D（a，a），∵a＜0，∴點D在第二象限，又點A與點C關于原點對稱，∴AC是以P、A、C、D為頂點的平行四邊形的對角線，則點P與點D關于原點對稱，即P（a，a），將點P（﹣a，a）代入拋物線y＝x2﹣4x+a，解得a＝或a＝0（舍去），∴a＝；（3）存在，理由如下：當a＝﹣5時，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，此時M（2，﹣9），令y＝0，即（x﹣2）2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴點F（﹣1，0）E（5，0），∴EN＝FN＝3MN＝9，設點Q（m，m2﹣4m﹣5），則G（m，0），∴EG＝|m﹣5|，QG＝|m2﹣4m﹣5|，又△QEG與△MNE都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°，如圖所示，需分兩種情況進行討論：i）當＝＝3時，即＝3，當m＝2時點Q與點M重合，不符合題意，舍去，當m＝﹣4時，此時Q坐標為點Q1（﹣4，27）；ii）當＝＝＝時，即＝，解得m＝或m＝或m＝5（舍去），當m＝時，Q坐標為點Q2（，），當m＝，Q坐標為點Q3（，），綜上所述，點Q的坐標為（﹣4，27）或（，）或（，）．9．（2020?鄂州）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C．直線y＝x﹣2經(jīng)過B、C兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上的一動點，過點P且垂直于x軸的直線與直線BC及x軸分別交于點D、M．PN⊥BC，垂足為N．設M（m，0）．①點P在拋物線上運動，若P、D、M三點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外）．請直接寫出符合條件的m的值；②當點P在直線BC下方的拋物線上運動時，是否存在一點P，使△PNC與△AOC相似．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）針對于直線y＝x﹣2，令x＝0，則y＝﹣2，∴C（0，﹣2），令y＝0，則0＝x﹣2，∴x＝4，∴B（4，0），將點B，C坐標代入拋物線y＝x2+bx+c中，得，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；（2）①∵PM⊥x軸，M（m，0），∴P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵P、D、M三點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點，∴Ⅰ、當點D是PM的中點時，（0+m2﹣m﹣2）＝m﹣2，∴m＝1或m＝4（此時點D，M，P三點重合，舍去），Ⅱ、當點P是DM的中點時，（0+m﹣2）＝m2﹣m﹣2，∴m＝﹣或m＝4（此時點D，M，P三點重合，舍去），Ⅲ、當點M是DP的中點時，（m2﹣m﹣2+m﹣2）＝0，∴m＝﹣2或m＝4（此時點D，M，P三點重合，舍去），即滿足條件的m的值為﹣或1或﹣2；②存在，由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，則0＝x2﹣x﹣2，∴x＝﹣1或x＝4，∴點A（﹣1，0），∴OA＝1，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴OB＝4，OC＝2，∴，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，∵△PNC與△AOC相似，∴Ⅰ、當△PNC∽△AOC，∴∠PCN＝∠ACO，∴∠PCN＝∠OBC，∴CP∥OB，∴點P的縱坐標為﹣2，∴m2﹣m﹣2＝﹣2，∴m＝0（舍）或m＝3，∴P（3，﹣2）；Ⅱ、當△PNC∽△COA時，∴∠PCN＝∠CAO，∴∠OCB＝∠PCD，∵PD∥OC，∴∠OCB＝∠CDP，∴∠PCD＝∠PDC，∴PC＝PD，由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵C（0，﹣2），∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝，∴2m﹣m2＝，∴m＝或m＝0（舍），∴P（，﹣）．即滿足條件的點P的坐標為（3，﹣2）或（，﹣）．10．（2020?濰坊）如圖，拋物線y＝ax2+bx+8（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（8，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對稱軸l交于點E．（1）求拋物線的表達式；（2）點N是對稱軸l右側拋物線上的動點，在射線ED上是否存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△OBC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+8（a≠0）過點A（﹣2，0）和點B（8，0），∴，解得．∴拋物線解析式為：；（2）存在，點M的坐標為：（3，8），或（3，11）．∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，∴△OBC為等腰直角三角形，拋物線的對稱軸為，∴點E的橫坐標為3，又∵點E在直線BC上，∴點E的縱坐標為5，∴E（3，5），設，①當MN＝EM，∠EMN＝90°，△NME∽△COB，則，解得或（舍去），∴此時點M的坐標為（3，8），②當ME＝EN，當∠MEN＝90°時，則，解得：或（舍去），∴此時點M的坐標為；③當MN＝EN，∠MNE＝90°時，此時△MNE與△COB相似，此時的點M與點E關于①的結果（3，8）對稱，設M（3，m），則m﹣8＝8﹣5，解得m＝11，∴M（3，11）；此時點M的坐標為（3，11）；故在射線ED上存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△OBC相似，點M的坐標為：（3，8）或或（3，11）．11．（2020?懷化）如圖所示，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點M為拋物線的頂點．（1）求點C及頂點M的坐標．（2）直線CM交x軸于點E，若點P是線段EM上的一個動點，是否存在以點P、E、O為頂點的三角形與△ABC相似．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此時y＝﹣3，故C點坐標為（0，﹣3），又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點M的坐標為（1，﹣4）；（2）存在，理由如下：連接AC，OP，如圖2所示：設MC的解析式為：y＝kx+m，將C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入MC的解析式得：，解得：∴MC的解析式為：y＝﹣x﹣3，令y＝0，則x＝﹣3，∴E點坐標為（﹣3，0），∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，∴CE＝CB，∴∠CBE＝∠E，設P（x，﹣x﹣3），又∵P點在線段EC上，∴﹣3＜x＜0，則，，由題意知：△PEO相似于△ABC，分情況討論：①△PEO∽△CBA，∴，∴，解得，滿足﹣3＜x＜0，此時P的坐標為；②△PEO∽△ABC，∴，∴，解得x＝﹣1，滿足﹣3＜x＜0，此時P的坐標為（﹣1，﹣2）．綜上所述，存在以點P、E、O為頂點的三角形與△ABC相似，P點的坐標為或（﹣1，﹣2）．12．（2020?連云港）在平面直角坐標系xOy中，把與x軸交點相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y＝x2﹣x﹣2的頂點為D，交x軸于點A、B（點A在點B左側），交y軸于點C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點為P．（1）若拋物線L2經(jīng)過點（2，﹣12），求L2對應的函數(shù)表達式；（2）當BP﹣CP的值最大時，求點P的坐標；（3）設點Q是拋物線L1上的一個動點，且位于其對稱軸的右側．若△DPQ與△ABC相似，求其“共根拋物線”L2的頂點P的坐標．【解答】解：（1）當y＝0時，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），由題意設拋物線L2的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），﹣12＝﹣6a，解得a＝2，∴拋物線的解析式為y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵拋物線L2與L1是“共根拋物線”，A（﹣1，0），B（4，0），∴拋物線L1，L2的對稱軸是直線x＝，∴點P在直線x＝上，∴BP＝AP，如圖1中，當A，C，P共線時，BP﹣PC的值最大，此時點P為直線AC與直線x＝的交點，∵直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣2，∴P（，﹣5）（3）由題意，AB＝5，CB＝2，CA＝，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴頂點D（，﹣），由題意，∠PDQ不可能是直角，第一種情形：當∠DPQ＝90°時，①如圖3﹣1中，當△QDP∽△ABC時，＝＝，設Q（x，x2﹣x﹣2），則P（，x2﹣x﹣2），∴DP＝x2﹣x﹣2﹣（﹣）＝x2﹣x+，QP＝x﹣，∵PD＝2QP，∴2x﹣3＝x2﹣x+，解得x＝或（舍棄），∴P（