專題16 解直角三角形中的擁抱模型和12345模型(解析版)

專題16解直角三角形中的擁抱模型和12345模型【模型展示】特點分別解兩個直角三角形，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.結(jié)論“擁抱?！毙完P(guān)鍵是找到兩個直角三角形的公共邊【題型演練】一、單選題1．如圖，某學校大樓頂部有一個LED屏AB，小明同學在學校門口C處測得LED屏底部A的仰角為53°，沿大門樓梯CD向上走到D處測得LED屏頂部B的仰角為30°，D、E、F在同一水平高度上，已知大門樓梯CD的坡比，米，米，大樓AF和大門樓梯CD的剖面在同一平面內(nèi)，則LED屏AB的高度為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．24.6米 B．30.6米 C．34.6米 D．44.6米【答案】C【分析】如圖，過作水平線于，延長交水平線于則過作于則利用坡度的含義求解再求解從而可得答案.【詳解】解：如圖，過作水平線于，延長交水平線于則過作于則由題意得：而故選C【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，坡度的含義，熟練的構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.2．如圖，某建筑物AB在一個坡度為i＝1：0.75的山坡BC上，建筑物底部點B到山腳點C的距離BC＝20米，在距山腳點C右側(cè)同一水平面上的點D處測得建筑物頂部點A的仰角是42°，在另一坡度為i＝1：2.4的山坡DE上的點E處測得建筑物頂部點A的仰角是24°，點E到山腳點D的距離DE＝26米，若建筑物AB和山坡BC、DE的剖面在同一平面內(nèi)，則建筑物AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin42°≈0.67．cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）A．36.7米 B．26.3米 C．15.4米 D．25.6米【答案】D【分析】如圖所示，過E點做CD平行線交AB線段為點H，標AB線段和CD線段相交點為G和H由坡度為i＝1：0.75，BC＝20可得BG=16,GC=12,由坡度為i＝1：2.4，DE＝26可得DF=24,EF=10，分別在在中滿足，在中滿足化簡聯(lián)立得AB=25.6．【詳解】如圖所示，過E點做CD平行線交AB線段為點H，標AB線段和CD線段相交點為G和H∵在中BC＝20，坡度為i＝1：0.75，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．在中DE＝26，坡度為i＝1：2.4，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中滿足，在中滿足,即,其中BG=16、BG=12、BH=BG-EF=6、DF=24，代入化簡得，令2-有∴，∴AB=25.6．故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用三角形的坡度和斜邊長通過勾股定理可以求得三角形各邊長度，再根據(jù)角度列含兩個未知數(shù)的二元一次方程組，正確的列方程求解是解題的關(guān)鍵．3．數(shù)學實踐活動課中小明同學測量某建筑物CD的高度，如圖，已知斜坡AE的坡度為i＝1：2.4，小明在坡底點E處測得建筑物頂端C處的仰角為45°，他沿著斜坡行走13米到達點F處，在F測得建筑物頂端C處的仰角為35°，小明的身高忽略不計．則建筑物的CD高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）A．28.0米 B．28.7米 C．39.7米 D．44.7米【答案】D【分析】過點F作FG⊥BD于G，F(xiàn)H⊥CD于H，設(shè)FG=x米，則EG=2.4x米，在Rt△FGE中，由勾股定理解得FG=5，EG=12，證明△CDE是等腰直角三角形，則CD=DE，設(shè)CD=y米，在Rt△CHF中，由三角函數(shù)定義求解即可．【詳解】過點F作FG⊥BD于G，F(xiàn)H⊥CD于H則∠CFH＝35°，四邊形DGFH是矩形，∴HF＝DG，DH＝FG，∵斜坡AE的坡度為i＝1：2.4，∴設(shè)FG＝x米，則EG＝2.4x米，在Rt△FGE中，由勾股定理得：EF2＝FG2+EG2，即：132＝x2+（2.4x）2，解得：x＝5，∴FG＝5，EG＝12，∵∠CED＝45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，設(shè)CD＝y(tǒng)米，則CH＝（y﹣5）米，Rt△CHF中，tan∠CFH＝，即tan35°＝，則y﹣2＝tan35°×（y+12），解得：y≈44.7，即建筑物的CD高度約為44.7米；故選：D．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題以及坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵4．我校興趣小組同學為測量校外“御墅臨楓”的一棟電梯高層AB的樓高，從校前廣場的C處測得該座建筑物頂點A的仰角為45°，沿著C向上走到30米處的D點．再測得頂點A的仰角為22°，已知CD的坡度：i=1：2，A、B、C、D在同一平面內(nèi)，則高樓AB的高度為（）（參考數(shù)據(jù)；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．60 B．70 C．80 D．90【答案】D【分析】作AH⊥ED交ED的延長線于H，根據(jù)坡度的概念分別求出CE、DE，根據(jù)正切的定義求出AB．【詳解】解：作AH⊥ED交ED的延長線于H，設(shè)DE＝x米，∵CD的坡度：i＝1：2，∴CE＝8x米，由勾股定理得，DE2+CE2＝CD8，即x2+（2x）2＝（30）2，解得，x＝30，則DE＝30米，CE＝60米，設(shè)AB＝y(tǒng)米，則HE＝y(tǒng)米，∴DH＝y(tǒng)﹣30，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝y(tǒng)，∴AH＝BE＝y(tǒng)+60，在Rt△AHD中，tan∠DAH＝則≈0.4，解得，y＝90，∴高樓AB的高度為90米，故選：D．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．如圖，某大樓DE樓頂掛著“眾志成城，抗擊疫情”的大型宣傳牌，為了測量宣傳牌的高度CD，小江從樓底點E向前行走30米到達點A，在A處測得宣傳牌下端D的仰角為60°．小江再沿斜坡AB行走26米到達點B，在點B測得宣傳牌的上端C的仰角為43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，CD⊥AE，宣傳牌CD的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73）A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米【答案】A【分析】過B分別作AE、DE的垂線，設(shè)垂足為F、G．分別在Rt△ABF和Rt△ADE中，通過解直角三角形求出BF、AF、DE的長，再求出EF即BG的長；在Rt△CBG中求出CG的長，根據(jù)CD=CG+GE-DE即可求出宣傳牌的高度．【詳解】解：過B作BF⊥AE，交EA的延長線于F，作BG⊥DE于G．Rt△ABF中，i=tan∠BAF=＝，AB=26米，∴BF=10（米），AF=24（米），∴BG=AF+AE=54（米），Rt△BGC中，∠CBG=43°，∴CG=BG?tan43°≈54×0.93=50.22（米），Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米，∴DE=AE=30（米），∴CD=CG+GE-DE=50.22+10-30≈8.3（米）．故選：A．【點睛】此題考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．6．如圖，小明在距離地面米的處測得處的俯角為，處的心角為，若斜面坡度為，則斜面的長是（

）米．A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作于點，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)已知條件得到，求得，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】如圖所示：過點作于點，斜面坡度為，，在處進行觀測，測得山坡上處的俯角為，山腳處的俯角為，，，，，，解得：，故AB，故選：B．【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，正確得出是解題關(guān)鍵．7．如圖，某人在山坡坡腳C處測得一座建筑物頂點A的仰角為，沿山坡向上走到P處再測得該建筑物頂點A的仰角為．已知BC=90米，且B、C、D在同一條直線上，山坡坡度i=5：12，求此人從所在位置點P走到建筑物底部B點的路程（）米.（結(jié)果精確到0.1米）（測傾器的高度忽略不計，參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先過點P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，由題意可知i=PH：CH=5：12，然后設(shè)PH=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，則可得，利用正切函數(shù)的知識可求AB，在Rt△AEP中，，利用正切函數(shù)可得關(guān)于x的方程，從而得出PH，在Rt△PHC中，利用勾股定理可求CP的長度，進一步可求此人從所在位置點P走到建筑物底部B點的路程．【詳解】解：如圖：過點P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，設(shè)PH=BE=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，則，即，∴AB=180(米)，在Rt△AEP中，，AE=AB-BE=180-5x，BH=EP=BC+CH=90+12x，∴，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，且符合題意，∴(米)，在Rt△PHC中，(米)，故此人從所在位置點P走到建筑物底部B點的路程是：(米)，故選：D．【點睛】本題考查了仰角的定義，以及解直角三角形的實際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是要能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．二、填空題8．一名高山滑雪運動員沿著斜坡滑行，他在點D處相對大樹頂端A的仰角為，從D點再滑行米到達坡底的C點，在點C處相對樹頂端A的仰角為，若斜坡的坡比為（點E，C，B在同一水平線上），則大樹的高度___________米（結(jié)果保留根號）．【答案】6+4【分析】作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH，CH，過點D作DG⊥AB于點G，設(shè)BC＝a米，用a表示出AG、DG，根據(jù)tan∠ADG＝列式計算得到答案．【詳解】解：過點D作DH⊥CE于點H，過點D作DG⊥AB于點G，設(shè)BC＝a米，由題意知CD＝米，∵斜坡CF的坡比為i＝1：3，∴，設(shè)DH＝x米，則CH＝3x米，∵DH2＋CH2＝DC2，∴，∴x＝2，∴DH＝2米，CH＝6米，∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，∴四邊形DHBG為矩形，∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝（a＋6）米，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝a（米），∴AG＝（a?2）米，∵∠ADG＝30°，∴，∴，∴a＝，∴AB＝，故答案為：．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、仰角俯角的概念是解題的關(guān)鍵．9．如圖，小明在P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°，PB＝30m．若斜面AB坡度為，則斜坡AB的長是______m．【答案】30【分析】根據(jù)斜面AB坡度為，求出，再利用角之間的關(guān)系求出，，進一步得到．【詳解】解：∵斜面AB坡度為，∴，即，∵在P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：30【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出PB=AB是解題關(guān)鍵．三、解答題10．大樓AB是某地標志性建筑，如圖所示，某校九年級數(shù)學社團為測量大樓AB的高度，一小組先在附近一樓房CD的底端C點，用高為1.5米的測桿CE在E處觀測AB大樓頂端B處的仰角是72°，另一小組到該樓房頂端D點處觀測AB大樓底部A處的俯角是30°，已知樓房CD高約是45米，根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)求AB大樓的高（精確到0.1米）．（已知：≈1.73，sin72°≈0.951，cos72°≈0.034，tan72°≈3.08）【答案】241.3米【分析】過E作EF⊥AB于F，則四邊形ACEF是矩形，得到EF=AC，AF=CE，利用三角函數(shù)在Rt△ACD中求出AC，在Rt△BEF中求出BF，即可得到AB大樓的高．【詳解】解：過E作EF⊥AB于F，則四邊形ACEF是矩形，∴EF=AC，AF=CE，在Rt△ACD中，∠DAC=30°，CD=45，∴AC=，在Rt△BEF中，∠BEF=72°，EF=AC=，∴BF=EF?tan72°=×3.08=239.78，∴AB=AF+BF=239.78+1.5≈241.3(米)，答：AB大樓的高為241.3米．【點睛】此題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，正確理解題意構(gòu)造直角三角形解決問題是解題的關(guān)鍵．11．如圖，坡的坡度為：，坡面長米，，現(xiàn)計劃在斜坡中點處挖去部分坡體用陰影表示修建一個平行于水平線的平臺和一條新的斜坡請將下面兩小題的結(jié)果都精確到米，參考數(shù)據(jù)：．(1)若修建的斜坡的坡角即恰為，則此時平臺的長為______米；(2)坡前有一建筑物，小明在點測得建筑物頂部的仰角為，在坡底點測得建筑物頂部的仰角為，點、、、、在同一平面內(nèi)，點、、在同一條水平直線上，問建筑物高為多少米？【答案】(1)7.0(2)建筑物高約為米【分析】（1）先利用勾股定理解直角求出，，再證，推出，代入數(shù)值即可求解；（2）過點作，垂足為，利用矩形的性質(zhì)求出，，，解可得，進而得出，再解，列等式求出，則．【詳解】（1）解：由題意知，，，，∴設(shè)，則，由勾股定理得：，即，解得，∴，．∵，，∴，∴．由題意，，∴，又∵，∴，∴，∴，，，∴米；則平臺的長為，（2）解：過點作，垂足為．在矩形中，，，∴．在矩形中，，，在中，，∴，，，解得：，（米），即建筑物高約為米．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，涉及勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識點，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求解．12．在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進行測量．如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度，即，請你幫助該小組計算建筑物的高度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）【答案】該建筑物的高度約為31.9m【分析】如圖，作交于點E，作交于點F，作交于點H，根據(jù)題意分別求出BF和AF的長，再根據(jù)即可求解．【詳解】作交于點E，作交于點F，作交于點H則，，∵∴設(shè)，則在中，∴∴∴（負值舍去）∴，∴，設(shè)，則在中，∵∴在中，∵∴即∵∴∴∴答：該建筑物的高度約為31.9m．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡角坡度，仰角的定義，添加合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在建筑物DF的左邊有一個小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平線上，斜坡AB的坡比為，小李從斜坡底端B沿斜坡走了26米到達坡頂A處，在坡頂A處看建筑物的頂端D的仰角α為，然后小李沿斜坡AC走了米到達底部C點，已知建筑物上有一點E，在C處看點E的仰角為，（點A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)）建筑物頂端D到E的距離DE長度為28.8米，求建筑物DF的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】40.8米【分析】如圖于G，于H，連接，根據(jù)比例設(shè)，，結(jié)合勾股定理求出，得到，再次由勾股定理求出，設(shè)，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案．【詳解】解：如圖于G，于H，連接、，∵的坡比，設(shè)，，∴在中，，∴，∴，在中，，設(shè)，在中，，∴，∵四邊形是矩形，∴，又∵，在中，，，，∴，答：建筑物的高度為40.8米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，也考查了勾股定理，根據(jù)題意作出正確的輔助線是解答此題的關(guān)鍵．14．某工程隊計劃測量一信號塔的高度，由于特殊原因無法直達到信號塔底部，因此計劃借助坡面高度來測量信號塔C的高度．如圖，在信號塔旁山坡腳A處測得信號塔頂端C的仰角為，當從A處沿坡面行走13米到達P處時，測得信號塔頂端C的仰角為．已知山坡的坡度，且O，A，B在同一條直線上．請根據(jù)以上信息求信號塔的高度．（側(cè)傾器高度忽略不計，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】信號塔OC的高度約為米【分析】過點P作PE⊥OB于點E，PF⊥OC于點F，設(shè)PE=5x，則AE=12x，在Rt△AEP中根據(jù)勾股定理可得(5x)2＋(12x)2=132，解方程求出x，設(shè)CF=PF=m米，則OC=(m＋5)米，OA=(m－12)米，在Rt△AOC中，由求得m的值，繼而可得答案．【詳解】解：如圖，過點P作PE⊥OB于點E，PF⊥OC于點F，則四邊形OFPE是矩形，∴OF=PE，OE=PF，∵i＝1：2.4，，∴，∴設(shè)PE=5x，則AE=12x，在Rt△AEP中，由勾股定理得：(5x)2＋(12x)2=132，解得：或（舍去），∴PE=5，則AE=12，∵∠CPF=45°，PF⊥CF，∴∠CPF=∠PCF=45°，∴，設(shè)CF=PF=m米，則OC=(m＋5)米，OA=(m－12)米，在Rt△AOC中，，解得：，∴（米）∴信號塔OC的高度約為米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，仰角、坡度的定義，矩形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是要求學生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．15．感恩回饋，傳播文化．2022年3月份，河南省絕大部分景點實施免門票政策，其中去嵩山少林寺的人數(shù)量巨大．如圖，王林進入景區(qū)之后沿直線行至山坡坡腳C處，測得檢票大廳頂點A的仰角為，沿山坡向上走到山門E處再測得檢票大廳頂點A的仰角為，已知山坡的坡比，米．求王林所在山門E處的鉛直高度．（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：）【答案】22.1米【分析】根據(jù)解直角三角形求得（米），如圖，過點E作于點F，于點G，則四邊形是矩形，設(shè)米，求得米，列方程，求解即可．【詳解】解：在中，米，，∴（米）．如圖，過點E作于點F，于點G，則四邊形是矩形，∴，設(shè)米．在中，，∴（米），∴米．在中，，∴米．又∵米，∴，解得，即（米）．答：王林所在山門E處的鉛直高度約為22.1米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．16．如圖，某測繪小組在山坡坡腳處測得信號發(fā)射塔尖的仰角為56．31°，沿著山坡向上走到處再測得點的仰角為36．85°，已知米，山坡的坡度（坡度指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），且、、三點在同一條直線上，求塔尖到地面的高度的長．（測角儀的高度忽略不計，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】約為130米【分析】過點作垂足為，則四邊形是矩形，得，，根據(jù)，且，求出，的長度；在中，，設(shè)，由三角函數(shù)值求出，在中，，，根據(jù)列方程求出x，即可得到CD長度．【詳解】解：過點作垂足為，則四邊形是矩形，，，且，，，在中，，設(shè)，，，在中，，，，，，即，，，答：塔尖到地面的高度約為130米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，仰角俯角問題，以及坡角問題，本題要求學生借助仰角關(guān)系，構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．17．在一次數(shù)學課外實踐活動中，某小組要測量一幢大樓的高度，如圖，在山坡的坡腳A處測得大樓頂部M的仰角是，沿著山坡向上走75米到達B處．在B處測得大樓頂部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）求大樓的高度．（圖中的點A，B，M，N，C均在同一平面內(nèi)，N，A，C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：）【答案】大樓的高度為92米【分析】過點B分別作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分別為E、F，通過解直角三角形表示出BF、AN、AE的長度，利用BF=NE進行求解即可．【詳解】過點B分別作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分別為E、F，四邊形BENF為矩形，設(shè)，在中，斜坡的坡度，即，在中，在中，解得，所以，大樓的高度為92米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，準確理解題意，能添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為，在坡面上的影長為．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．【答案】(170+60)cm【分析】延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計算即可．【詳解】解：延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，則DF=CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×=90（cm），由題意得：=，即=，解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，則=，解得：AB=170+60，答：立柱AB的高度為(170+60)cm．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計算．19．如圖，小文在數(shù)學綜合實踐活動中，利用所學的數(shù)學知識測量居民樓的高度，在居民樓前方有一斜坡，坡長，斜坡的傾斜角為，．小文在點處測得樓頂端的仰角為，在點處測得樓頂端的仰角為（點，，，在同一平面內(nèi)）．(1)求，兩點的高度差；(2)求居民樓的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)9m(2)24m【分析】（1）過點作，交的延長線于點，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．（2）過點作于，設(shè)，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．（1）解：過點作，交的延長線于點，在中，，，．．答：，兩點的高度差為．（2）過點作于，由題意可得，，設(shè)，在中，，解得，在中，，，，解得，．答：居民樓的高度約為．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．20．在一次課外活動中，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹的高度．如圖所示，測得斜坡的坡度，坡底AE的長為8米，在B處測得樹頂部D的仰角為30°，在E處測得樹頂