學(xué)案2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第一冊(cè) 《函數(shù)的概念》

3.1函數(shù)的概念及其表示

3.1.1函數(shù)的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)

1.理解函數(shù)的概念(重點(diǎn)、難點(diǎn)).1、直觀(guān)想象

2.了解構(gòu)成函數(shù)的三要素(重點(diǎn)).2、數(shù)學(xué)運(yùn)算

3.正確使用函數(shù)、區(qū)間符號(hào).3、數(shù)學(xué)抽象

【自主學(xué)習(xí)】

1.函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的定義

設(shè)N,B是,如果對(duì)于集合/中的,按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,在集合6

中都有和它對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)f：/一方為從集合A到集合8的一個(gè)函數(shù),記作.

⑵函數(shù)的定義域與值域

函數(shù)尸=/1(x)中，x叫做,A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫

做函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合8的.

⑶對(duì)應(yīng)關(guān)系廣：除解析式、圖象表格外，還有其他表示

對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法，引進(jìn)符號(hào)廣統(tǒng)一表示對(duì)應(yīng)關(guān)系.

注意：判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個(gè)條件

①48必須是非空數(shù)集.

②/中任意一元素在8中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng).

2.函數(shù)的三要素

由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：、和。

3.相同函數(shù)

值域是由和決定的，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和相同，我們就稱(chēng)這兩個(gè)函

數(shù)是同一函數(shù).兩個(gè)函數(shù)如果僅對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，則它們相同的函數(shù).

4.區(qū)間及有關(guān)概念

⑴一般區(qū)間的表示.

設(shè)a,6GR,且a〈6,規(guī)定如下：

定義名稱(chēng)符號(hào)數(shù)軸表示

1

[x\a￡x0

_J____

閉區(qū)間abx

水U____

{x\開(kāi)區(qū)間abx

半開(kāi)半閉

[a,5)U____

{x\abx

區(qū)間

半開(kāi)半閉

-J____

{x\a<xWb}(a,b]abx

區(qū)間

⑵特殊區(qū)間的表示.

定義R{x\x2a}{x\x>a\{x\xWa\{x\x<a\

符號(hào)

【小試牛刀】

判斷正誤（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）

⑴根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的一個(gè)X可以對(duì)應(yīng)著不同的y.（）

⑵函數(shù)的定義域和值域一定是無(wú)限集合.（）

⑶函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了.（）

⑷兩個(gè)函數(shù)相同指定義域和值域相同的函數(shù).（）

⑸廣（x）=3x+4與/1（0=3t+4是相同的函數(shù).（）

（6）函數(shù)值域中每一個(gè)數(shù)在定義域中有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng).（）

⑺函數(shù)f（2x—1）的定義域指2x—1的取值范圍.（）

【經(jīng)典例題】

題型一函數(shù)關(guān)系的判定

例1（1）若集合4{x10Wx<2},^={y|0<j<3},則下列圖形給出的對(duì)應(yīng)中能構(gòu)成從〃到N

的函數(shù)f：AN的是（）

2

⑵下列各題的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否給出了實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)函數(shù)？為什么？

①6把x對(duì)應(yīng)到3x+l；②g：把x對(duì)應(yīng)至U|x|+1；

③力：把X對(duì)應(yīng)到;；④7:把X對(duì)應(yīng)到

［跟蹤訓(xùn)練］1設(shè)啟{x1-2W后2},N={y\0Wj<2},函數(shù)y=f{x）的定義域?yàn)镸,值域?yàn)镹,

對(duì)于下列四個(gè)圖象，不可作為函數(shù)尸Hx）的圖象的是（）

題型二已知函數(shù)的解析式求定義域

求函數(shù)定義域的幾種類(lèi)型

⑴若/"（X）是整式，則函數(shù)的定義域是R.

⑵若/"（X）是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零.

⑶若F（x）是偶次根式，則被開(kāi)方數(shù)大于或等于零.

⑷若廣（X）是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集.

⑸若/"（X）是實(shí)際情境的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際情境，使其有意義.

例2求下列函數(shù)的定義域.

3

⑴尸2+口；(2)y=\]x-2x—3；

2

(4)y=(^―1)°+

3

［跟蹤訓(xùn)練］2求下列函數(shù)的定義域:

也0-*

(1)-A/一y-x+6.(2)y=

kl—3,

題型三函數(shù)相同

判斷兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)的方法

判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，要先求定義域，若定義域不同，則不是同一函數(shù)；若定義域相

同，再化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同.

注意：(1)在化簡(jiǎn)解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形.(2)函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用

什么字母表示自變量、因變量是沒(méi)有限制的.

例3下列各組函數(shù)：

2

、X一X/、

①/'(X)=----,g(x)=x—l；

X

7\.=X

②/'(x)=X，g(x)^—；

③/V)=q(x+3)2,g(x)=x+3；

④/'(x)=x+l,g(A)=x+f;

⑤汽車(chē)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系A(chǔ)t)=80MOWtW5)與一次函數(shù)g(x)=80x(0Wx

W5).

其中表示相等函數(shù)的是(填上所有正確的序號(hào)).

［跟蹤訓(xùn)練］3(1)與函數(shù)y=x—1為同一函數(shù)的是()

2

X—X

2

A.尸丁B.m=1)

4

C.y=x—xD.y=^/(l)3

(2)判斷以下各組函數(shù)是否表示相等函數(shù)：

①f(X)=(/)1g(及)=*.

②/'(x)=第一2才一1；g(%)=#一2t一1.

題型四求抽象函數(shù)的定義域

兩類(lèi)抽象函數(shù)的定義域的求法

(1)已知/1(X)的定義域，求/1(g(x))的定義域：若/1(X)的定義域?yàn)椋踑,6］,則/1(g(x))中aW

g(x)Wb,從中解得x的取值集合即為f(g(x))的定義域.

(2)已知/1(g(x))的定義域，求廣(x)的定義域：若/1(g(x))的定義域?yàn)椋踑,b］,即求

得g(x)的取值范圍，g(x)的值域即為廣(x)的定義域.

例4(1)設(shè)函數(shù)廣5)=口，則廣(x+1)等于什么？f(x+l)的定義域是什么？

(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域是［0,+8),那么函數(shù)尸/1(x+1)的定義域是什么？

［跟蹤訓(xùn)練］4已知函數(shù)/Xx)的定義域?yàn)椋?,3］,求函數(shù)/'(2x+l)的定義域.

注意：定義域是x的取值范圍，f(x)中的x與/'(2x+l)中的2x+l是相對(duì)應(yīng)的.

例5⑴已知函數(shù)尸/1(x)的定義域?yàn)椋?2,3］,求函數(shù)y=F(2x—3)的定義域;

(2)已知函數(shù)y=f(2x—3)的定義域是［-2,3］,求函數(shù)y=F(x+2)的定義域.

5

［跟蹤訓(xùn)練］5(1)函數(shù)/<2x+l)的定義域?yàn)椋?,3］,求函數(shù)f(x)的定義域.

(2)函數(shù)f(l—x)的定義域?yàn)椋?,3］，求函數(shù)A2^+l)的定義域。

題型五求函數(shù)值及值域

求函數(shù)值的方法

①已知f(x)的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f(a)的值.

②求九g(a)］的值應(yīng)遵循由里往外的原則.

求函數(shù)值域常用的4種方法

①觀(guān)察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀(guān)察得到；

②配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時(shí)，可利用配方法求其值域；

③分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類(lèi)”的形式,

便于求值域；

④換元法：即運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域.對(duì)

于f(x)=ax+6+、cx+d(其中a,b,c,d為常數(shù)，且aWO)型的函數(shù)常用換元法.

例6已知/1(x)=［］(x@R,且上-1),g{x)=x+2(x￡R).

⑴求/1⑵,g⑵的值;(2)求f(g(3))的值.

［跟蹤訓(xùn)練］6已知函數(shù)/V)=1.

⑴求”2)；(2)求/1(/U)).

6

例7求下列函數(shù)的值域：

（1）y=x+l,{1,2,3,4,5）；(2)y=x—2x+39[0,3)；

2x+1

(3)y=

x—3'

［跟蹤訓(xùn)練］7求下列函數(shù)的值域:

⑴1；

/、5x-1

⑵尸產(chǎn)？

⑶y=Zx—y/x—l.

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）

/-I

A.p=xT和尸x+]B.和p=l

7

/、(、疔i.m

c.F(x)=(X—1)2和g(x)=(x+l)2D-M=x和g(而=而

2.已知函數(shù)七)的定義域是[。,2],則函數(shù)捫)=瞽的定義域是()

A.[0,1]B.[0,1)

C.[0,1)U(1,4]D.(0,1)

3.下列函數(shù)中，值域?yàn)?0,+8)的是()

D.y=/+l

4.已知全集〃=R,4={x|l〈啟3},貝此〃用區(qū)間表示為.

5.若函數(shù)f(x)的定義域是[0,1],則函數(shù)f(2x)+%+|)的定義域?yàn)?/p>

6..已知區(qū)間[—2a,3a+5],則a的取值范圍為

7.設(shè)函數(shù)/1(x)=/—2x—1,若F(a)=2,則實(shí)數(shù)a=.

8.已知函數(shù)f(x)—x+x—1.

(1)求f(2),

⑵若f(x)=5,求x的值.

8

9.試判斷函數(shù)y=yjx—1?在下!與函數(shù)尸勺(x+1)(x—1)是否相等，并說(shuō)明理由.

10.已知函數(shù)尸)加2—6勿x+%+8的定義域是R,求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

【參考答案】

【自主學(xué)習(xí)】

1.非空的實(shí)數(shù)集任意一個(gè)數(shù)x唯一確定的數(shù)yy=f(x),A自變量x的取值范

圍函數(shù)值{/'(x)|x?R}子集

2.定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域

3.定義域?qū)?yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系不是

4.[a,b](a,6)(―°°,+0°)[a,+°°)(a,+0°)(―°°,a](―00,a)

【小試牛刀】

(1)X(2)X⑶V(4)X(5)V(6)X(7)X

【經(jīng)典例題】

例1(1)D[解析]A中的對(duì)應(yīng)不滿(mǎn)足函數(shù)的存在性，即存在xG弘但"中無(wú)與之對(duì)應(yīng)的幾

B、C均不滿(mǎn)足函數(shù)的唯一性，只有D正確.

⑵解①是實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)函數(shù).它的對(duì)應(yīng)關(guān)系/?是：把x乘3再加1,對(duì)于任意x?R,3x

+1都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，如當(dāng)x=-1時(shí)，有3x+l=—2與之對(duì)應(yīng).

同理，②也是實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)函數(shù).

9

③不是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù).因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，工的值不存在.

X

④不是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù).因?yàn)楫?dāng)木0時(shí)，、「的值不存在.

［跟蹤訓(xùn)練］1C由函數(shù)定義可知，任意作一條直線(xiàn)x=a,則與函數(shù)的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，

結(jié)合選項(xiàng)可知C中圖象不表示y是x的函數(shù).

3

例2［解］(1)當(dāng)且僅當(dāng)x—2W0,即xW2時(shí)，函數(shù)y=2+—^有意義，所以這個(gè)函數(shù)的定

義域?yàn)椋鹸|x#2｝.

⑵要使函數(shù)有意義，需x2—2x—320,即(X—3)(x+l)20,所以x23或xW—1,即函數(shù)的

定義域?yàn)椋鹸|x23或后一1｝.

3—x20,

(3)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)解得1W后3,所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|lW啟

、才一1三0,

3).

Z—1W0,

(4)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)〈三三0,

XI1解得x>—1,且#1,所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

、x+lW0,

{x|x>—\且x^l}.

，x+l#0,

［跟蹤訓(xùn)練］2⑴要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿(mǎn)足2即

「x——x+6>0,

xy^—1,

即1解得一3W后2且#—1,即函數(shù)定義域?yàn)椋?

g+x-6W0,、(x+3)(x—2)W0,

W后2且#一1}.

’10-0,

⑵要使函數(shù)有意義，貝1J解得一，T5w后，15,且#±3,即定義域?yàn)椋鹸|一

」x|—3W0,

且XW±3｝.

例3⑤解析①?gòu)V(x)與g(x)的定義域不同，不是相等函數(shù)；②/"(X)與g(x)的解析式不同,

不是相等函數(shù)；③/1(x)=1x+3］,與g(x)的解析式不同，不是相等函數(shù)；④Hx)與g(x)的定

義域不同，不是相等函數(shù)；⑤丹。與g(x)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系皆相同，故是相等函數(shù).

10

[跟蹤訓(xùn)練]3(1)D[解析]A中的x不能取0；B中的〃三1；C中的x不能取0；D化簡(jiǎn)以

后為尸3

(2)①由于函數(shù)/1(x)=(、&)2的定義域?yàn)椋鸕xN。｝，而g(x)的定義域?yàn)椋鸕xGR｝,它

們的定義域不同，所以它們不表示相等函數(shù).

②兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以它們表示相等函數(shù).

例4解(l)f(x+l)=,+1.令x+120,解得xN—1,所以/1(x+1)="\/x+l的定義域?yàn)閇―1,

+°0).

(2)函數(shù)y=F(x)的定義域是[0,+8),所以令x+l>0,解得x>—l,所以函數(shù)y=F(x+l)

的定義域是[—1,+-).

[跟蹤訓(xùn)練]4[解]因?yàn)楹瘮?shù)F(x)的定義域?yàn)閇1,3],即x￡[l,3],函數(shù)F(2x+1)中2x+l

的范圍與函數(shù)F(x)中x的范圍相同，所以2x+lG[1,3],所以x?[0,1],即函數(shù)f(2x+l)

的定義域是[0,1].

例5解(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=F(x)的定義域?yàn)閇-2,3],即xQ[—2,3],函數(shù)y=f(2x—3)中

2x—3的范圍與函數(shù)尸/1(x)中x的范圍相同，所以一2W2x—3W3,解得;W后3,

所以函數(shù)y=f(2x—3)的定義域?yàn)?；?.

⑵因?yàn)閤?[—2,3],所以2x—3?[—7,3],即函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇―7,3].

令一7Wx+2W3,解得一9W后1,所以函數(shù)y=F(x+2)的定義域?yàn)閇―9,1].

[跟蹤訓(xùn)練]5[解](1)因?yàn)閤?[l,3],所以2x+l?[3,7],即函數(shù)f(x)的定義域是[3,7].

(2)因?yàn)楹瘮?shù)/U—x)的定義域?yàn)閇1,3],所以x?[1,3],所以1—X?[―2,0],所以函數(shù)f(x)

的定義域?yàn)閇—2,0].

■311r3r

由2x+lG[—2,0],得xG--,所以/1(2x+l)的定義域?yàn)橐蝗f(wàn)，—.

例6解(1)???f(x)=占，AA2)=TT?=|.又：g(x)=*+2,/.5-(2)=22+2=6.

J--I-viJ.-I-乙O

(2),.X3)=32+2=ll,.?.f(g(3))=an)=jq^=卷.

［跟蹤訓(xùn)練］6解(l)：f(x)==,.?.F(2)=U1=*

YLI乙乙""|~乙T：

11

3+1

/\/\1+125

(2)/-(1)=-=->AA1))

*8,

例7(1)(觀(guān)察法){1,2,3,4,5},分別代入求值，可得函數(shù)的值域?yàn)閧2,3,4,5,6}.

(2)(配方法)y=x*12—32x+3=(x—1尸+2,由x?［0,3),可得函數(shù)的值域?yàn)椋?,6).

(3)(分離常數(shù)法)尸生岑=2(k3}7=2+二,顯然工wo,...方2.

X—3X—3X—3X—3

故函數(shù)的值域?yàn)?-8,2)U(2,+°°).

(4)(換元法)

設(shè)則"J；"(〃>0),:+［=("；)(心0)

由uNO知(u+D'2l,.,.丁江:..,.函數(shù)尸x+.2x—l的值域?yàn)?°°1

乙乙,

［跟蹤訓(xùn)練］7［解］(1)(觀(guān)察法)???/>(),...、6一12—1...J=/—1的值域?yàn)椋邸?,+8).

(2)(分離常數(shù)法)

5557

_5x—l/(4x+2)T—萬(wàn),(4"2)一萬(wàn)_57

y―4x+2—4x+2—4x+2-2(4x+2)，

75［5

,戶(hù)????函數(shù)的值域?yàn)橐?平鼠-

乙-I-乙)仕A

(3)(換元法)設(shè),^一1=t,

(1、1515

貝！J方>0,且x=F+l..*.y=2(t2+l)—^=2^2—z^+2=272+~^~.Vt^O,

<4)So

15\

故函數(shù)的值域?yàn)?，+°°J.

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.D［解析］A中的函數(shù)定義域不同；B中y=x°的x不能取0；C中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同.

2.B［解析］由f(x)的定義域是［0,2］知，{0W2xW2,