2021年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題（原卷版和解析版）

2021年文科數(shù)學(xué)高考全國(guó)甲卷（原卷版）

（考區(qū)：四川、云南、貴州、廣西、西藏）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷

上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},則"口"=（）

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%

B,該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

3.已知(l-i)2z=3+2i,則z=()

,3.3_

A.-1--ZB.-1H—IC.-加D.

2222-

4.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）

(2

A./(x)=-xB.7(x)=5C."HZD.

5.點(diǎn)（3,0）到雙曲線(xiàn)上-匯=1一條漸近線(xiàn)的距離為（）

169

9864

A.B.-C.一D.

555

6.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄

視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿(mǎn)足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法

的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（'V10?1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

7.在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-瓦6后，所得多

面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

正視圖

A.B.V2C.75D.3

.記為等比數(shù)列前〃項(xiàng)和若則（）

9S,｛q｝$2=4,S4=6,$6=

A.7B.8C.9D.10

10.將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

「萬(wàn)、\八cosa

11.右a￡0,—,tan2a=--------,則tana=()

12,'2-sina

A.叵R石「石

D.----L.---D,

15533

12.設(shè)“X）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且〃l+x）=/（—x）.若則/仁）=（

)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若向量4,坂滿(mǎn)足忖=3,,一）=5,。$=1,則|q=.

14.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30%則該圓錐的側(cè)面積為.

7C

15.已知函數(shù)/（x）=2cos（3X+。）的部分圖像如圖所示，則f

16.已知￡,心為橢圓C：三+2二=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且|尸。|=忻用,

164

則四邊形PGQ鳥(niǎo)的面積為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出交字說(shuō)明、證明過(guò)程程或演算步驟，第17~21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別

用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表:

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.記S“為數(shù)列｛見(jiàn)｝的前八項(xiàng)和，已知。，＞0,。2=34,且數(shù)列｛底｝是等差數(shù)列，證明：｛q｝是等差數(shù)

列.

19.己知直三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC和C￡的中

點(diǎn)，BFLAXBX.

(1)求三棱錐產(chǎn)一E8C的體積；

(2)已知。為棱4瓦上的點(diǎn)，證明：BFLDE.

20.設(shè)函數(shù)/(x)="/+辦一31n尤+1,其中a>0.

(1)討論“X)的單調(diào)性；

(2)若y=/(x)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求“的取值范圍.

21.拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O.焦點(diǎn)在x軸上，直線(xiàn)/：x=l交C于P,Q兩點(diǎn)，且OP_LOQ.已知

點(diǎn)"(2,0),且OM與/相切.

(1)求C,QM方程；

(2)設(shè)A，A2,4是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)A4均與OM相切.判斷直線(xiàn)44與OM的位置關(guān)系，

并說(shuō)明理由.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為

p=2&COS。.

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(1,0),M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足Q=&而，寫(xiě)出P的軌跡G的參數(shù)方

程，并判斷C與G是否有公共點(diǎn)?

［選修4-5：不等式選講］

已知函數(shù)

23./(x)=|x-2|,(g(x)=|2x+3|-|2x-l|.

(2)若〃x+a)Ng(x),求4的取值范圍.

2021年文科數(shù)學(xué)高考全國(guó)甲卷（解析版）

（考區(qū)：四川、云南、貴州、廣西、西藏）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷

上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},則"口"=（）

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合N后可求McN.

【詳解】N=［（,+，|,故MCN={5,7,9},

故選:B.

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是()

A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計(jì)算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)

的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計(jì)值，也就是總體平均值的估計(jì)值，計(jì)算后即可判定C.

【詳解】因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可

作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)的比率估計(jì)值為0.02+0.04=0.06=6%,故A正確；

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)值為0.04+0.02x3=0.10=10%,故B正確；

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的比例估計(jì)值為

0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正確；

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值的估計(jì)值為

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11X0.(M+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68(737U)>超過(guò)

6.5萬(wàn)元，故C錯(cuò)誤.

綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的頻率

的估計(jì)值，樣本的平均值的估計(jì)值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均

值的估計(jì)值.注意各組的頻率等于船*組距.

組距

3.已知(l-i)2z=3+2i,則2=()

B.T+/3.3

A.-l--zc.------1-1D.

222

【答案】B

【解析】

【分析】由己知得z=—^,根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，即可求解.

-2z

【詳解】（1—i>z=—2iz=3+2i,

3+2/（3+2z）-z-2+3z,3.

z=-----=--------=------=-l+—Z.

-2/-2i-i22

故選：B.

4.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）

A./（x）=-xB./（%）=-C./（x）=x2D.f⑶=&

\37

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,=T為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于B,〃力=-為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于C,/（無(wú)）=f在（7）,0）為減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于D,/（%）=私為R上的增函數(shù)，符合題意，

故選：D.

22

5.點(diǎn)（3,0）到雙曲線(xiàn)"-5=1的一條漸近線(xiàn)的距離為（）

9864

A.-B.—C.一D.

555

【答案】A

【解析】

【分析】首先確定漸近線(xiàn)方程，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求得點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離即可.

【詳解】由題意可知，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：三—21=0,即3x±4y=0,

169

結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，不妨考慮點(diǎn)（3,0）到直線(xiàn)3x+4y=0距離：d=-^===-.

故選：A.

6.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄

視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)乙和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)丫的滿(mǎn)足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法

的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（癇。1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)關(guān)系，當(dāng)L=4.9時(shí)，求出愴丫，再用指數(shù)表示V,即可求解.

【詳解】由L=5+lgV,當(dāng)L=4.9時(shí)，lgV=-0.1,

_±11

則v=10-°」=1010=-i==?-----X0.8.

啊1.259

故選：C.

7.在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多

面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

正視圖

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結(jié)合直觀圖進(jìn)行判斷.

【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示,

8.在AABC中，己知8=120°,AC=M，AB=2，則BC=()

A.1B.V2C.75D.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦定理得到關(guān)于8c長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).

(詳解】設(shè)AB=c,AC=b,BC-a,

結(jié)合余弦定理：6=/+。2—2accos8可得：19=/+4—2xaxcosl20。，

即：a2+2a—15=0>解得：a=3(a=—5舍去)，

故BC=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類(lèi)型：

(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；

(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；

(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形.

9.記S,為等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和.若$2=4,S4=6,則56=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題目條件可得反，S4-S2,S6-54成等比數(shù)列，從而求出§6-54=1,進(jìn)一步求出答案.

［詳解】vS”為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，

S4-S2,&-S,成等比數(shù)列

=

S24,一S,=6—4=2

=1+S4=1+6=7.

故選：A.

10.將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】C

【解析】

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【詳解】解：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：

(X)l11,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11(X)1,11010,11100,

共10種排法，

其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6種方法，

故2個(gè)0不相鄰的概率為4=0.6,

故選：C.

(八萬(wàn)、-cosa…

11.若aw0,不，tan2a=；；——；——,則tana=()

V2J2-sina

.V15R石「石nV15

15533

【答案】A

【解析】

,..,八r,口―sin2a2sinacoscc,__.1-.__.

【分析】由二倍角r公式可得tan2a=--------=----------—,冉結(jié)合已知可r求得sma=一，利用同角二

cos2al-2sin5a4

角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.

【詳解】丁tan2a=----------

2-sina

csin2a2sinacosacosa

/.tan2a=--------=----------；——=----------,

cos2al-2sin~a2—sina

2

（八萬(wàn)、八sinor1々〃/曰.1

?：a\0,—,.?.cosawO,---------z—=----------,解得sina=一,

I2）l-2sin2a2—sina4

r-VL5sinaVT5

cosa=9-sina=-----，/.tana=-------=------?

4cosa15

故選:A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出sin^.

\_

12.設(shè)/(%)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/(1+x)=/(—%).若/）

3

【答案】C

【解析】

【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得/[g)的值.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化

是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若向量7B滿(mǎn)足付=3,卜-耳=5,。1=1,則忖=.

【答案】3拒

【解析】

【分析】根據(jù)題目條件，利用4-6模的平方可以得出答案

【詳解】?.平斗5

I-?一|2—?2-?2-?-?I-*|2

|^-/?|=a+h-2々?〃=9+問(wèn)-2=25

.咽=30.

故答案為：3>/2?

14,已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30萬(wàn)則該圓錐的側(cè)面積為

【答案】39)

【解析】

【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線(xiàn)長(zhǎng)，最終利用側(cè)面積公式求出答案.

【詳解】=1萬(wàn)6L〃=30?

3

:?h,=5—

15.已知函數(shù)/(x)=2cos(5+8)的部分圖像如圖所示，則

【答案】—g

【解析】

【分析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.

313%437r2乃

【詳解】由題意可得：-T=-,.-.r=^,ty=—=2,

41234T

13^.c134_,c,13/,

當(dāng)x=]2時(shí)，8x+°=2xI2—（p=2攵",（p—2kjt——兀1keZ）,

IT

令A(yù)=1可得：（p=——,

6

據(jù)此有:f（x）=2cos（2x-1）J（/）=2COS（2><U）=2COS）=-G

故答案為：-JL

【點(diǎn)睛】已知yU）=Acos（cox+9）（A>0,。>0）的部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖得出，困難的是求

待定系數(shù)。和9,常用如下兩種方法：

27r

（1）由。=于即可求出3；確定夕時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的“零點(diǎn)''橫坐標(biāo)X0,則

令sxo+夕=0（或a）xo+（p—7t）,即可求出<p.

（2）代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)（最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”）坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出。和9,若

對(duì)A,。的符號(hào)或?qū)?的范圍有要求，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.

22

16.己知月,乙為橢圓C：二+二=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且|PQ|=段，

164

則四邊形PF{QF2的面積為.

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)己知可得尸耳，PK，設(shè)|P￡|=m,|P^|=〃，利用勾股定理結(jié)合加+〃=8,求出利〃，四

邊形PFiQB面積等于mn，即可求解.

【詳解】因?yàn)镻,。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，

且|PQI=I￡6I,所以四邊形為矩形，

22

設(shè)IPF\1=rn,\PF2\=n,則加+〃=8,m+n=48,

所以64=Qw+〃）2=m2+2mn+n2=48+2mn,

〃m=8,即四邊形P￡Q6面積等于8.

故答案為：8.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出交字說(shuō)明、證明過(guò)程程或演算步驟，第17~21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別

用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

（I）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

n(ad-bc)2

(?+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）75%；60%；

（2）能.

【解析】

【分析】根據(jù)給出公式計(jì)算即可

【詳解】（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為當(dāng)=75%,

200

乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為工°=60%.

200

400(150x80-120x50)2400

⑵K2----------------------=---->10>6.6351

270x130x200x20039

故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

18.記S“為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知a,>0,4=3%,且數(shù)列｛后｝是等差數(shù)列，證明：｛4｝是等差數(shù)

列.

【答案】證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】先根據(jù)￡-在求出數(shù)列｛、鬲｝的公差。，進(jìn)一步寫(xiě)出｛瘋｝的通項(xiàng)，從而求出物,,｝的通項(xiàng)公

式，最終得證.

【詳解】?.?數(shù)列｛四｝等差數(shù)列，設(shè)公差為-=弧

???￡=施+（〃-1）施=〃用，（〃GN"）

2

/.Sn=a1n,（neN*）

???當(dāng)時(shí)，an=Sfl-=Q]〃2_q（力—ip=24〃_q

當(dāng)〃=1時(shí)，2a]xi-a]=a｝,滿(mǎn)足4=24〃—%,

J{4}的通項(xiàng)公式為%=24〃一4,(ZIGN*)

/.afl-=(2的-4)-[24(〃-1)-q]=2q

【點(diǎn)睛】在利用an=Sn-S,i求通項(xiàng)公式時(shí)一定要討論n=1的特殊情況.

19.已知直三棱柱ABC—A4G中，側(cè)面A4百8為正方形，AB=BC=：2,E,F分別為AC和CC的中

點(diǎn)，

_______________D_&

/

/

t

9

/

/

/

！

c

（1）求三棱錐尸—E8C的體積；

（2）已知。為棱4用上的點(diǎn)，證明：BFLDE.

【答案】（1）（：（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）首先求得AC的長(zhǎng)度，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；

（2）將所給的幾何體進(jìn)行補(bǔ)形，從而把線(xiàn)線(xiàn)垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直,然后再由線(xiàn)面垂直可得題中的

結(jié)論.

【詳解】（1）如圖所示，連結(jié)AF,

由題意可得：BF^yjBC2+CF2=V4+1=V5>

由于BCYAB,DBC=8,故ABJ_平面8CC4,

而平面BCG耳，故AB_LBR，

從而有AF=dAB2+BF2=7^=3,

從而AC=JA尸2—C/2=斥1=20，

則AB2+BC2=AC2,:.ABIBC,AA3c為等腰直角三角形，

x

S&BCE=aSaABC=萬(wàn)'1/*2x2)=1,VF_EBC=SABCEXCF=—lxl=—.

(2)由(1)結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCM-如圖所示，取棱AM,BC的

中點(diǎn)”,G,連結(jié)4H，”G,G與，

正方形BCGg中，G,尸為中點(diǎn)，則8E_LB|G,

又BE_L45，AAngG=g,

故，平面AgG”,而DEu平面4B]GH,

從而B(niǎo)F上DE.

【點(diǎn)睛】求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我

們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來(lái)求體積.對(duì)于空間中垂直關(guān)系(線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面

面)的證明經(jīng)常進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.

20.設(shè)函數(shù)/(x)=a、2+ox-31nx+l,其中a>0.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若y=/(x)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求”的取值范圍.

【答案】⑴/(%)的減區(qū)間為增區(qū)間為⑵a>k

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性.

(2)根據(jù)/(1)>0及(1)的單調(diào)性性可得>0,從而可求〃的取值范圍.

【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

又((尤)=(2一[3)(*二)1,

X

因?yàn)椤?gt;0,x>0,故2依+3>0,

當(dāng)0<%<!時(shí)，/V)<0；當(dāng)工〉工時(shí)，/'(x)>0；

aa

所以〃x)的減區(qū)間為(o,J,增區(qū)間為

(2)因?yàn)?(1)=。2+。+1>0且y=/(x)的圖與X軸沒(méi)有公共點(diǎn)，

所以>=/(》)的圖象在8軸的上方，

由(1)中函數(shù)的單調(diào)性可得/(司,而=/(})=3—31n：=3+31na,

故3+31na>0即a〉」.

e

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式的恒成立問(wèn)題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號(hào)來(lái)討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)

化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化中注意等價(jià)轉(zhuǎn)化.

21.拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0.焦點(diǎn)在x軸上，直線(xiàn)/：x=l交C于凡Q兩點(diǎn)，且。P_LOQ.已知

點(diǎn)"(2,0),且0M與/相切.

(1)求C,的方程：

(2)設(shè)4*2,是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)AA2,AA.3均與OM相切.判斷直線(xiàn)4A3與OM的位置關(guān)系，

并說(shuō)明理由.

【答案】(1)拋物線(xiàn)C:y2=x,OM方程為(九一2)2+丁=1；(2)相切，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知拋物線(xiàn)與x=l相交，可得出拋物線(xiàn)開(kāi)口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對(duì)稱(chēng)性設(shè)出P,Q

坐標(biāo)，由OP_LOQ,即可求出〃；由圓河與直線(xiàn)x=l相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；

(2)先考慮A4斜率不存在，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由4,4,A3三

點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，將直線(xiàn)44斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由44,44與圓M相切，得出

%+%，%.%與必的關(guān)系，最后求出加點(diǎn)到直線(xiàn)44的距離，即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴依題意設(shè)拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>O),P(l,yo),Q(l，7o)，

?.OP±OQ,:.OPOQ=l-yl=l-2p^O,:.2p^l,

所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為V=x,

M(0,2),?！芭cx=l相切，所以半徑為1，

所以?！钡姆匠虨?x—2)2+y2=i；

(2)設(shè)4。|弘)，4(々，%)，43(%3，%)

若442斜率不存在，則方程為x=l或x=3,

若44方程為X=1,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)4(1,1)，

則過(guò)4與圓〃相切的另一條直線(xiàn)方程為y=1,

此時(shí)該直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在4,不合題意；

若A4方程為X=3,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)4(3,G),4(3,—6),

則過(guò)A與圓M相切的直線(xiàn)A4為y—G=￥（x—3），

又L=0='=4=坐,"=。，

3-w凹+為?+%3

此時(shí)直線(xiàn)關(guān)于％軸對(duì)稱(chēng)，

%3=0,4（0，°）,44,

所以直線(xiàn)44與圓加相切;

若直線(xiàn)44,AA3,斜率均存在,

則kg~-，々AA=--，心,A=--，

%+為y+%+%

1/、

所以直線(xiàn)44方程為y-x=----------（工一%）,

X+y2

整理得％一（必+必）,+必必=°，

同理直線(xiàn)的方程為x-（y+為）丁+%%=。，

直線(xiàn)4A3的方程為x-（%+%*+y2y3=0，

|2+弘力].

???4A2與圓M相切，11+（）：；.）2=1

整理得（弁-l）yl+2yM+3-痔=0,

與圓A/相切，同理（y；-l）y；+2y%+3—>；=0

所以為，為為方程（y：-l）V+2%y+3-4=0的兩根,

2M3—y；

%+%=~寸]，必-%=一（，

弘T弘一1

M到直線(xiàn)4A3的距離為：

|2+^i|

2

R+y2y3l'y.-l

Jl+（%+%）2]i+（一”>

V才-1

_JW+IIy；+L]

J（y；T）2+4y；K+1

所以直線(xiàn)4A與圓加相切；

綜上若直線(xiàn)與圓”相切，則直線(xiàn)44與圓M相切

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）過(guò)拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)直線(xiàn)斜率只需用其縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）表示，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

只與縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）有關(guān)；（2）要充分利用A4，A4的對(duì)稱(chēng)