橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

3.【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)＝2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝2a焦點(diǎn)(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)考點(diǎn)二：直線與橢圓的位置關(guān)系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程．直線與橢圓的位置關(guān)系、對(duì)應(yīng)一元二次方程解的個(gè)數(shù)及Δ的取值的關(guān)系如表所示．直線與橢圓解的個(gè)數(shù)Δ的取值兩個(gè)不同的公共點(diǎn)兩解Δ>0一個(gè)公共點(diǎn)一解Δ＝0沒有公共點(diǎn)無(wú)解Δ<0重難點(diǎn)技巧：弦長(zhǎng)的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)．(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式：|P1P2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長(zhǎng)．【題型歸納】題型一：橢圓的焦點(diǎn)、焦距.頂點(diǎn)，長(zhǎng)短軸1．（2023·全國(guó)·高二）橢圓和（

）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等 C．焦距相等 D．頂點(diǎn)相同【答案】C【分析】由橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】對(duì)于橢圓，，，，∴，，，∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距，對(duì)于橢圓，，，，∴，，，∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距，∴橢圓和的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)均不相等，故頂點(diǎn)不相同，焦距相等.故選：C.2．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的方程，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，列式求解.【詳解】由條件可知，，，且，解得：.故選：D3．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓為其左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若（為原點(diǎn)），則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)求出，由條件列方程求出，由此可求長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以，又垂直于軸，在橢圓上，故可設(shè)，所以，又，所以，又所以．，解得從而，故選：C.題型二：橢圓的橢圓的范圍問(wèn)題4．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓方程求得兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)是鈍角可得，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可求得的不等式關(guān)系，求得的范圍【詳解】設(shè)，由題意可得,因?yàn)槭氢g角，所以，所以，所以，所以，得，所以，故選：C5．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值和最小值分別為（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，則，且，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值和最小值.【詳解】在橢圓中，，，，則點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，則，且，則，所以，，，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：A.6．（2022秋·河南洛陽(yáng)·高二宜陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓E，其對(duì)稱中心是原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，且，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，利用，得到，再由橢圓的離心率為，設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由A，B兩點(diǎn)在橢圓上，得到求解.【詳解】設(shè)，，則由，可得，解得，，即.因?yàn)闄E圓的離心率為，所以可設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，消去，的平方項(xiàng)，得，由，即，解得，又，所以，所以，故選：A.題型三：橢圓的離心率問(wèn)題7．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽(yáng)中學(xué)校考開學(xué)考試）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，若過(guò)的直線與圓相切，且的傾斜角為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線與圓相切的位置關(guān)系可構(gòu)造的齊次方程，結(jié)合橢圓關(guān)系可求得離心率.【詳解】由題意知：，則直線，即，與圓相切，，即，，，橢圓的離心率.故選：A.8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知A，B，C是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，直線AC經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，若，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，設(shè)，根據(jù)橢圓對(duì)稱性表示相關(guān)線段長(zhǎng)，以及推出，利用勾股定理推出，在中，再利用勾股定理即可得的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，連接，設(shè)，結(jié)合橢圓對(duì)稱性得，由橢圓定義得，則.因?yàn)?，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，故，故選：C9．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓E：與直線相交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，如果是等邊三角形，那么橢圓E的離心率等于（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，則，結(jié)合直線OB的斜率運(yùn)算求解即可.【詳解】聯(lián)立方程，解得，不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，則，由題意可知：OB的傾斜角是，則，所以橢圓的離心率.故選：C．題型四：橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題10．（2023秋·全國(guó)·高二期中）若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】若直線軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則直線的中點(diǎn)在軸，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)點(diǎn)、，則，所以，，兩式作差可得，即，即，可得直線的斜率為，所以，直線的方程為，即.故選：B.11．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點(diǎn)四點(diǎn)．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可知：的中點(diǎn)即為弦的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)直線：，可得，設(shè)的中點(diǎn)為，連接OM，則，，因?yàn)?，則，即為弦的中點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)?，可得，兩式相減得，整理得，可得，即，可得，所以橢圓的離心率為.故選：D.12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中點(diǎn)弦點(diǎn)差法可得弦中點(diǎn)和直線斜率得，進(jìn)而可得.【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則，，直線的斜率.由，得，得，所以，故橢圓的離心率.故選：B.題型五：直線與橢圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題13．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若橢圓的弦的中點(diǎn)為，則弦的長(zhǎng)為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用中點(diǎn)弦的“平方差法”求得弦的斜率，得出的直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，可得，又因?yàn)樵跈E圓上，可得，兩式相減可得，可得，即直線的斜率為，所以弦的直線方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，可得，由弦長(zhǎng)公式，可得.故選：A.14．（2023秋·天津北辰·高二?？计谀┮阎菣E圓的焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意設(shè)橢圓方程為，再將代入橢圓方程求出，則有，再結(jié)合可求出，從而可得橢圓方程.【詳解】由題意設(shè)橢圓方程為，則，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以，得，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以橢圓方程為，故選：C15．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中校聯(lián)考期中）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)為，離心率為.過(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是（

）A．19 B．14 C． D．13【答案】D【分析】由離心率為，得到a，b，c之間的關(guān)系，做出簡(jiǎn)圖，分析可得直線的方程為：，且直線垂直平分，所以的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，等于，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求出c，a的值.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，，如圖，，所以為正三角形，又因?yàn)橹本€過(guò)且垂直于，所以，直線的方程為：，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)，點(diǎn)E坐標(biāo)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，則，，所以，得，.由圖，直線垂直平分，所以的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，等于.故選：D.題型六：橢圓中的向量問(wèn)題16．（2023春·河南信陽(yáng)·高二潢川縣高級(jí)中學(xué)（河南省潢川高級(jí)中學(xué)）?？茧A段練習(xí)）已知過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與直線相交于為銳角，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的斜截式方程設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理及兩直線相交聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件、點(diǎn)在直線上及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知，所以所以橢圓的上焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去，得，所以.由題設(shè)知，所在的直線方程為.因?yàn)橹本€與直線相交于點(diǎn)，所以；同理可得.所以.因?yàn)闉殇J角，所以，所以，即，解得：或，所以，或，或.故直線的斜率的取值范圍是.故選:D.17．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別是橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為該橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】A【分析】設(shè)，由數(shù)量積的運(yùn)算及點(diǎn)在橢圓上，可把表示成為的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求出其最大值.【詳解】設(shè)，，則，則，因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上，所以有：，即，所以，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最大值為6.故選：A.18．（2023秋·全國(guó)·高二期中）點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由，得到，再與橢圓方程聯(lián)立得到，再由點(diǎn)P的位置求解.【詳解】解：設(shè)，又，且，則，與橢圓方程聯(lián)立，即，解得或，則，即，即，則，故選：B題型七：橢圓的定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題19．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在C上，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)橢圓離心率結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，求出橢圓方程，設(shè)A，B坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法即可證明結(jié)論.【詳解】證明：由題意可得，解得，故橢圓方程為，由題意可設(shè)直線l的方程為，設(shè)，則，則，兩式相減得，即，即，又M為線段AB的中點(diǎn)，即有,即，即直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.20．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓：．(1)直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；(2)為橢圓的左頂點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，若，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)直線過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）將與橢圓聯(lián)立得到、、和，進(jìn)而得到；（2）設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓與直線得到韋達(dá)定理以及，利用進(jìn)而得到，由得到的值，最后舍去不符合題意的即可.【詳解】（1）

將直線與橢圓方程聯(lián)立，即，得，即，故；（2）設(shè)直線：，，，由得，，，又，，故，由，得，故或，①當(dāng)時(shí)，直線：，過(guò)定點(diǎn)，與已知不符，舍去；②當(dāng)時(shí)，直線：，過(guò)定點(diǎn)，，符合題意．21．（2023春·福建泉州·高二?？计谀┮阎獧E圓C：的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OA的中點(diǎn)為D，且.(1)求C的方程；(2)已知點(diǎn)M、N均在直線上，以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，圓心為點(diǎn)T，直線AM、AN分別交橢圓C于另一點(diǎn)P、Q，證明直線PQ與直線OT垂直.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題設(shè)易知且，根據(jù)有即可求，進(jìn)而寫出橢圓方程.（2）令，，則，而，即可寫出直線、的方程，聯(lián)立橢圓方程并設(shè)、，應(yīng)用韋達(dá)定理求、的坐標(biāo)，進(jìn)而可求，結(jié)合及，即可證直線與直線垂直.【詳解】（1）由題意知：，，則，而，所以，即，又，所以，解得或（舍去），故，所以的方程.（2）令，，則，而，所以，，聯(lián)立橢圓方程，整理得，顯然，若，則，得，則，即，同理，整理得，顯然，若，可得，則，即.所以，又，則，所以，故，而，所以，則直線與直線垂直，得證.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）曲線與曲線的（

）.A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．焦距相等 C．離心率相等 D．短軸長(zhǎng)相等【答案】B【分析】通過(guò)方程分別研究?jī)汕€的相關(guān)性質(zhì)，比較即可.【詳解】曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率.曲線，由得，且，故曲線也是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、離心率、短軸長(zhǎng)均與有關(guān)，不一定與曲線的相同；而其焦距為，與曲線的焦距相同.故選：B.23．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1C．2 D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】C【分析】聯(lián)立直線與橢圓的方程消去y，再利用判別式判斷作答.【詳解】由消去y并整理得，顯然，所以直線與橢圓相交，有2個(gè)公共點(diǎn).故選：C24．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考階段練習(xí)）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在第一象限，如果線段的中點(diǎn)在軸上，那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（

）追A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意確定的位置，然后利用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上且在第一象限，如果線段的中點(diǎn)在軸上，所以是左焦點(diǎn)，坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在軸上，所以，代入橢圓方程中，得，或舍去，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)是，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，故選：A25．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，焦點(diǎn)在x軸上；(3)x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.【答案】(1)或(2)(3)【分析】(1)根據(jù)離心率與長(zhǎng)軸的定義，求解出橢圓的、、，再按焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸分別寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；(2)根據(jù)離心率與頂點(diǎn)坐標(biāo)的定義，求解橢圓的、、即可(3)根據(jù)為等腰直角三角形，利用勾股定理求解出、、的關(guān)系即可.【詳解】（1）由題意得：，則，又因?yàn)?，所以，則由橢圓的幾何性質(zhì)得：，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或.（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，由題設(shè)得：，又因?yàn)椋?，則由橢圓的幾何性質(zhì)得：，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（3）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，如圖所示，為等腰直角三角形，為斜邊上的中線，且，，又因?yàn)榻咕酁?，所以，則由橢圓的幾何性質(zhì)得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.26．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是橢圓上異于的一點(diǎn)，直線和的斜率滿足.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率存在且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)異于橢圓的上、下頂點(diǎn)），當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式計(jì)算面積，結(jié)合基本不等式求出面積最大時(shí)的關(guān)系式，再計(jì)算斜率之積即可.【詳解】（1）設(shè)，易知，由，得，化簡(jiǎn)得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）

設(shè)的方程為，，，將代入橢圓方程整理得，，，，，則，又原點(diǎn)到的距離為，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，的面積最大.故.【高分突破】一、單選題27．（2023春·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸左側(cè)，且點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作軸交于點(diǎn)，得到，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理與兩點(diǎn)斜率公式，列出方程求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，作軸交于點(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率為，設(shè)直線方程為且，則，聯(lián)立方程組，整理得，則，可得，，由，可得，所以，可得，則橢圓的離心率為.故選：D.28．（2023秋·吉林四平·高二校考階段練習(xí)）已知，分別是橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，結(jié)合橢圓的定義，在中利用勾股定理求得，中利用勾股定理求得，可求橢圓C的離心率.【詳解】連接，設(shè)，則，，，在中，即，，，，，，在中，，即，，，又，.故選：C.29．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)B，該橢圓的離心率為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合之間的關(guān)系可得，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則，因?yàn)橹本€的斜率，由題意可得，則，解得，所以橢圓的離心率為.故選：D.30．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上的任意一點(diǎn)，的最小值取值范圍為，其中，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，設(shè)，可表示出，結(jié)合化簡(jiǎn)，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，進(jìn)而求解即可.【詳解】由題意可知，，設(shè)，因?yàn)?，所以，又，，所以，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，即，所以，即橢圓的離心率為.故選：D.31．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二?？奸_學(xué)考試）已知是橢圓：的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，線段與圓相切于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，確定，，，即可求得，根據(jù)橢圓的離心率即可得到所求．【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，設(shè)圓心為，則，則圓心坐標(biāo)為,，半徑為，由于,,，，故,,線段與圓（其中相切于點(diǎn)，,,，則，，故選：D．二、多選題32．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓與直線交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)＝（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】聯(lián)立橢圓方程與直線方程，用韋達(dá)定理即可表示出弦長(zhǎng)并結(jié)合即可求解.【詳解】由消去并整理，得設(shè)，則.由題意得，即，解得．故選：AD.33．（2023春·甘肅天水·高二?？计谥校E圓以x軸和y軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意可得，分類討論焦點(diǎn)所在的位置，運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則，即，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則有：若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，可知，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，可知，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；綜上所述：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：AC.34．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓E：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為P，若過(guò)且傾斜角為的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，則（

）A．直線的斜率為 B．橢圓E的短軸長(zhǎng)為4C． D．四邊形的面積為【答案】ACD【分析】對(duì)于A：根據(jù)離心率可得，進(jìn)而可得，結(jié)合斜率公式運(yùn)算求解；對(duì)于B：根據(jù)題意分析可得關(guān)于直線l對(duì)稱，結(jié)合橢圓的定義運(yùn)算求解；對(duì)于C：根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解；對(duì)于D：聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求面積即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)?，解得，可知，直線的斜率為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A可知：，且，則為等邊三角形，由題意可知：，即直線l為的角平分線，則點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，所以的周長(zhǎng)為8，則，可得，所以橢圓E的短軸長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，故C正確，對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)橹本€l的方程為，橢圓方程為，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，則，點(diǎn)直線l的距離為，所以四邊形的面積為，故D正確；故選：ACD.35．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)是26，則（

）A． B．C．直線的斜率為 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)離心率為，得到為等邊三角形，再由過(guò)且垂直于直線的，得到，為等腰三角形，再根據(jù)的周長(zhǎng)，得到a，進(jìn)而得到b，c，然后設(shè)DE所在直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式驗(yàn)證D選項(xiàng).【詳解】解：如圖所示：∵橢圓的離心率為，∴不妨設(shè)橢圓．∵的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，∴為等邊三角形，∵過(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，∴．故C項(xiàng)正確．由等腰三角形的性質(zhì)可得．由橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為，∴．故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，聯(lián)立，消去y得：，則，由韋達(dá)定理得，所以，故D項(xiàng)正確．故選：ACD36．（2023春·江西撫州·高二江西省樂(lè)安縣第二中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為B．橢圓的短軸長(zhǎng)可能為2C．橢圓的離心率的取值范圍為D．若，則橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為【答案】AC【分析】利用橢圓的定義計(jì)算判斷A；點(diǎn)在橢圓內(nèi)建立不等式，推理計(jì)算判斷BC；求出點(diǎn)的坐標(biāo)，列出方程計(jì)算判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，由，得，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，由點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，得，則，有，橢圓的短軸長(zhǎng)大于2，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，且，于是，即，解得，即，因此，橢圓的離心率的取值范圍為，C正確；對(duì)于D，由，得為線段的中點(diǎn)，即，則，又，即，解得，則，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．三、填空題37．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及其離心率的定義，可得答案.【詳解】由橢圓，顯然，則，，，由題意可得，解得，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).故答案為：.38．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩直線垂直斜率關(guān)系可得，再結(jié)合可求得離心率.【詳解】

如圖，設(shè)的垂直平分線與交于點(diǎn)，由題，，，，則，，，，，化簡(jiǎn)得，，由，解得，，即.故答案為：.39．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為.【答案】/【分析】如圖，設(shè)，由題意，橢圓定義結(jié)合余弦定理可得，后在由余弦定理可得，即可得答案.【詳解】如圖，設(shè)，則，.又由橢圓定義可得.則在中，由余弦定理可得:.則，則在由余弦定理可得：.又.故答案為：40．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)），是橢圓E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)，得到，且是的角平分線，再結(jié)合和角平分線定理得到，然后在中，利用勾股定理求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則是的角平分線，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)，由橢圓定義得，即，解得，則，則，所以，則，故答案為：41．（2023秋·高二單元測(cè)試）若橢圓上存在一點(diǎn)M，使得（，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)），則橢圓的離心率e的取值范圍為.【答案】【分析】方法一：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則，由題意，即，結(jié)合點(diǎn)M在橢圓上，可得，即可求出橢圓的離心率的取值范圍；方法二：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，由已知可得出關(guān)于、的方程組，求出，可得出關(guān)于、、的不等式組，由此可解得橢圓的離心率的取值范圍；方法三：設(shè)橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)為P，由題意，則，進(jìn)而可求得橢圓的離心率的取值范圍.【詳解】方法一：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則.∵，，∴，.∵，∴，即.又點(diǎn)M在橢圓上，即，∴，即，∴，即，又，∴，故橢圓的離心率e的取值范圍是.方法二：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，由方法一可得消去，得，∵，∴，由②得，此式恒成立.由①得，即，∴，則.又，∴.綜上所述，橢圓的離心率e的取值范圍是.方法三：設(shè)橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)為P，∵橢圓上存在一點(diǎn)M，使，∴，則，（最大時(shí)，M為短軸端點(diǎn)）∴，即，又，∴，故橢圓的離心率e的取值范圍為.故答案為：.四、解答題42．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓過(guò)原點(diǎn)的弦相互垂直，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過(guò)離心率，可得與的關(guān)系；再利用點(diǎn)，得到與的關(guān)系；通過(guò)方程組求得橢圓方程；（2）先分斜率是否存在分類討論，再設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，通過(guò)根與系數(shù)關(guān)系可利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式得,再結(jié)合橢圓的對(duì)稱性將四邊形面積轉(zhuǎn)化為求解,結(jié)合不等式求四邊形面積的最大值．【詳解】（1）由，得，則，故橢圓方程可化為，將代入上式得，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意得，四邊形為菱形，則菱形的面積當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，易得當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，則的方程為，設(shè)，將代入，得，則，則