高三一輪總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測(cè)24二次函數(shù)與冪函數(shù)

[課時(shí)跟蹤檢測(cè)][基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．函數(shù)y＝xeq\f(1,3)的圖象是()解析：由冪函數(shù)y＝xα，若0＜α＜1，在第一象限內(nèi)過(guò)(1,1)，排除A、D；又其圖象上凸，則排除C，故選B.答案：B2．函數(shù)y＝x2＋ax＋6在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞))上是增函數(shù)，則a的取值范圍為()A．(－∞，－5] B．(－∞，5]C．[－5，＋∞) D．[5，＋∞)解析：∵y＝x2＋ax＋6在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))上是增函數(shù)，由題意得－eq\f(a,2)≤eq\f(5,2).∴a≥－5，故選C.答案：C3．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，eq\r(3))，則f(x)是()A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)解析：設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，則f(3)＝3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，則f(x)＝＝eq\r(x)，是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)．答案：D4．已知f(x)＝，若0＜a＜b＜1，則下列各式中正確的是()A．f(a)＜f(b)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))＜f(b)＜f(a)C．f(a)＜f(b)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＜f(a)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))＜f(b)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又0＜a＜b＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,a)，故選C.答案：C5．設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是()解析：由A、C、D知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，∴對(duì)稱(chēng)軸x＝－eq\f(b,2a)＞0，知A、C錯(cuò)誤，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－eq\f(b,2a)＜0，B錯(cuò)誤，故選D.答案：D6．若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4))，則m的取值范圍是()A．[0,4] B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))解析：二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(3,2)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，由圖得m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).答案：D7．函數(shù)f(x)＝ax2－(a－1)x－3在區(qū)間[－1，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) B．(－∞，0]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))解析：由于函數(shù)f(x)＝ax2－(a－1)x－3在區(qū)間[－1，＋∞)上是增函數(shù)，所以實(shí)數(shù)a應(yīng)滿(mǎn)足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(a－1,2a)≤－1))或a＝0.由此得0≤a≤eq\f(1,3).故選D.答案：D8．(2018屆安徽皖江名校聯(lián)考)定義在[－2,2]上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，則實(shí)數(shù)aA．[－1,2) B．[0,2)C．[0,1) D．[－1,1)解析：函數(shù)f(x)滿(mǎn)足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，∴函數(shù)在[－2,2]上單調(diào)遞增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤a2－a≤2，,－2≤2a－2≤2，,2a－2＜a2－a.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤a≤2，,0≤a≤2，,a＜1或a＞2，))∴0≤a＜1，故選C.答案：C9．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x2m－3是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)mA．2 B．－1C．－1或2 D．5解析：∵f(x)是冪函數(shù)，∴m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝－1或2，當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)＝x－5，符合題意．當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x，是增函數(shù)，舍去，故選B.答案：B10．已知冪函數(shù)f(x)＝(m∈Z)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，且y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(－2)的值是()A．16 B．8C．－16 D．－8解析：∵f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴－m2＋2m∴－1<m<3，又∵m∈Z，∴m＝0,1,2，當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x3，奇函數(shù)，不合題意．當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝x4，偶函數(shù)，此時(shí)f(－2)＝(－2)4＝16，當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x3，舍去，故選A.答案：A11．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3在區(qū)間[1,2]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝a，畫(huà)出草圖如圖所示．由圖象可知，函數(shù)在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有單調(diào)性，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上具有單調(diào)性，只需a≤1或a≥2，從而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)12．已知關(guān)于x的方程x2－2mx＋m－3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿(mǎn)足x1∈(－1,0)，x2∈(3，＋∞)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＜0，,f3＜0，,f－1＞0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－3＜0，,9－6m＋m－3＜0，,1＋2m＋m－3＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜3，,m＞\f(6,5)，,m＞\f(2,3)，))所以eq\f(6,5)＜m＜3.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，3))13．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝－2，試證明f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．解：(1)證明：任設(shè)x1＜x2＜－2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1＋2)－eq\f(x2,x2＋2)＝eq\f(2x1－x2,x1＋2x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增．(2)任設(shè)1＜x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1－a)－eq\f(x2,x2－a)＝eq\f(ax2－x1,x1－ax2－a).∵a＞0，x2－x1＞0，∴要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.綜上所述知a的取值范圍是(0,1]．14．已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f(1,|x|).(1)求證：函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；(2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)證明：當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝a－eq\f(1,x)，設(shè)0＜x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,x2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,x1)))＝eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－x1,x1x2)，∵x1x2＞0，x2－x1＞0，∴f(x2)－f(x1)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(2)由題意a－eq\f(1,x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，設(shè)h(x)＝2x＋eq\f(1,x)，則a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1＜x2，h(x1)－h(huán)(x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x1x2))).因?yàn)?＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞1，所以2－eq\f(1,x1x2)＞0，所以h(x1)＜h(x2)，所以h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．故a≤h(1)，即a≤3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，3]．[能力提升]1．(2017屆杭州模擬)已知x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2－ax＋eq\f(a,2)＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0,2) B．(2，＋∞)C．(0，＋∞) D．(0,4)解析：二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(a,2).又x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2－ax＋eq\f(a,2)＞0恒成立，即f(x)min＞0.①當(dāng)eq\f(a,2)≤－1，即a≤－2時(shí)，f(－1)＝1＋a＋eq\f(a,2)＞0，解得a＞－eq\f(2,3)，與a≤－2矛盾；②當(dāng)eq\f(a,2)≥1，即a≥2時(shí)，f(1)＝1－a＋eq\f(a,2)＞0，解得a＜2，與a≥2矛盾；③當(dāng)－1＜eq\f(a,2)＜1，即－2＜a＜2時(shí)，Δ＝(－a)2－4·eq\f(a,2)＜0，解得0＜a＜2.綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,2)．故選A.答案：A2．(2017屆河北秦皇島模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，－1是f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)，那么不等式f(x)＞0的解集是()A．(－4,2)B．(－2,4)C．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析：依題意，f(x)是二次函數(shù)，其圖象是拋物線，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根是2，另一個(gè)根是－4，因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a＞0)，于是f(x)＞0，即為(x＋4)(x－2)＞0，解得x＞2或x＜－4.答案：C3．(2017屆陜西漢中模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝－x2＋ax－1－a，若函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．[－1，＋∞) B．[－1,0]C．(－∞，0] D．(－∞，－1]解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝0.若函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù)，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,－2)＝\f(a,2)≤0，,－1－a≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a≥－1，))即－1≤a≤0，故選B.答案：B4．(2017年山東卷)若函數(shù)exf(x)(e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱(chēng)函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)．下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為_(kāi)_______．①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；④f(x)＝x2＋2.解析：①exf(x)＝ex·2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x在R上單調(diào)遞增，故f(x)＝2－x具有M性質(zhì)；②exf(x)＝ex·3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,3)))x在R上單調(diào)