離散型隨機(jī)變量及其分布

一、離散型隨機(jī)變量的分布律二、常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布三、小結(jié)第二節(jié)離散型隨機(jī)變量

1.定義1

全部可能取值為有限個(gè)或無(wú)限可列個(gè)的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.描述一個(gè)離散型隨機(jī)變量X必須且只需知道:

X的所有可能取的值,X取每個(gè)可能值的概率.2.概率分布(分布律)設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取值為,且X取各個(gè)可能值的概率為一、離散型隨機(jī)變量的分布律上式稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布(分布律或分布列).3.離散型隨機(jī)變量表示方法（1）公式法（2）列表法X(3)矩陣:(4)圖形:在隨機(jī)變量每個(gè)可能取值的點(diǎn)處畫(huà)一長(zhǎng)度為相應(yīng)概率值的線段。

4.分布律的性質(zhì):①②[非負(fù)性][規(guī)范性]③[分布函數(shù)與分布律關(guān)系]①②是非負(fù)數(shù)列為離散隨機(jī)變量分布律的充要條件可見(jiàn),離散型隨機(jī)變量的分布律與分布函數(shù)均能完整地描述離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.分布律的形象化解釋

設(shè)想有一單位質(zhì)量的物質(zhì)(如一克面粉),被分配在隨機(jī)變量X的所有可能取值處,其各點(diǎn)物質(zhì)的分配量依次相應(yīng)為個(gè)單位,這就是一個(gè)概率分布.如何計(jì)算離散隨機(jī)變量落在一個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率？5.分布律的求法:◆利用古典概率、條件概率等計(jì)算方法及運(yùn)算性質(zhì)求事件{X=xk}概率;◆利用已知的重要分布的分布律;◆利用分布函數(shù).分布律的應(yīng)用:

◆確定分布列中的待定參數(shù);◆求分布函數(shù)；

◆求隨機(jī)事件的概率.解:依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X=k)≥0,

a≥0,從中解得即

【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.典型例題◆由分布律求分布函數(shù)時(shí)：用X可能取的值

分(-∞，+∞）為k+1個(gè)區(qū)間分別就x落在上述各區(qū)間內(nèi)計(jì)算{X≤x}的值概率[累積和]即求出F(x)的值；注意幾點(diǎn)：◆離散型隨機(jī)變量X落在區(qū)間I內(nèi)的概率可以利用分布列或分布函數(shù)計(jì)算，即含于I內(nèi)點(diǎn)的概率之和或分布函數(shù)在I上的增量，必要時(shí)加減端點(diǎn)概率值?！綦x散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是一個(gè)右連續(xù)的階梯函數(shù)，其定義域是(-∞,+∞),值域是[0,1]。

【例2】設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

【解】由概率可加性與分布函數(shù)定義可得分布函數(shù)求X的分布函數(shù)和概率P{X≤0.5},P{1.5<X≤2.5},P{2≤X≤3}.典型例題解則有

【例3】典型例題

練習(xí)：一袋中裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5.在袋中同時(shí)取3只,以X表示取出的3只球的最大號(hào)碼,寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布律和分布函數(shù)。

【解】由于X表示取出的3只球的最大號(hào)碼,故X的所有可能取值為3,4,5。[必取3號(hào)球,只能再取1,2號(hào)球][必取4號(hào)球,再?gòu)?,2,3號(hào)球中取2只][必取5號(hào)球,再?gòu)?,2,3,4號(hào)球中取2只]由古典概率可得：Xpk3450.10.30.6即所求分布律為:

由分布函數(shù)概念可知：分布函數(shù)是累積和。因此，對(duì)離散型隨機(jī)變量由分布列求分布函數(shù)時(shí)需分段考慮，X的所有可能取值就是分界點(diǎn)，即應(yīng)該就x分別位于區(qū)間（-∞，3），[3，4），[4，5），[5，+∞）來(lái)分別計(jì)算事件{X≤x}的概率。

①

當(dāng)

時(shí),

②

當(dāng)

時(shí),

③

當(dāng)

時(shí),基本事件互斥

④

當(dāng)

時(shí),

分布函數(shù)的圖形為:右連續(xù)的階梯函數(shù)故X的分布函數(shù)為（一）（0-1）兩點(diǎn)分布如果

的分布律為則稱服從兩點(diǎn)分布,其中為常數(shù)幾種重要的離散型隨機(jī)變量

兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說(shuō)明(0-1)分布的實(shí)際背景

200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那么,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.例（一）（0-1）兩點(diǎn)分布實(shí)例“拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況.隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.其分布律為（一）（0-1）兩點(diǎn)分布（二）伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布伯努利試驗(yàn)：只產(chǎn)生兩個(gè)結(jié)果的試驗(yàn)伯努利試驗(yàn)產(chǎn)生什么樣的隨機(jī)變量？重伯努利試驗(yàn)：n將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行

次的試驗(yàn)例某戰(zhàn)士用步槍對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，記擊中目標(biāo)沒(méi)擊中目標(biāo)每射擊一次就是一個(gè)伯努利試驗(yàn),如果對(duì)目標(biāo)進(jìn)行

次射擊,則是一個(gè)

重伯努利試驗(yàn).例從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記合格不合格每檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品就是一個(gè)伯努利試驗(yàn).

獨(dú)立地抽件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),是否是重伯努利試驗(yàn)？要求概率保持不變?nèi)绻a(chǎn)品批量很大,可近似看作重伯努利試驗(yàn)問(wèn)問(wèn)在伯努利試驗(yàn)中，令“獨(dú)立”是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響注“重復(fù)”是指在每次試驗(yàn)中概率保持不變k=0，1，…，n易知①

的分布律剛好是牛頓二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)在上一章介紹的n重伯努利試驗(yàn)中我們已經(jīng)知道，在n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率為（二）二項(xiàng)分布定義若的分布律為則稱

服從參數(shù)為

的二項(xiàng)分布,記為特別當(dāng)時(shí)就是(0-1)兩點(diǎn)分布，即二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布（二）二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的圖形（二）二項(xiàng)分布

因?yàn)樵臄?shù)量很大，所以取20只元件可看作是有放回抽樣一大批電子元件有10%已損壞,若從這批元件中隨機(jī)選取20只來(lái)組成一個(gè)線路,問(wèn)這線路能正常工作的概率是多少？實(shí)際背景：二項(xiàng)分布產(chǎn)生于n重伯努利試驗(yàn)解例,記

表示20只元件中好品的數(shù)量，則線路正常例設(shè)X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P{X

1}=5/9，試求P{Y

1}．解由P{X

1}=5/9，知P{X=0}=4/9，所以(1–p)2=4/9由此得p=1/3．再由Y～B(3，p)，可得P{Y

1}=1–P{Y=0}=19/27．（二）二項(xiàng)分布練習(xí)：一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備.調(diào)查表明在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1,問(wèn)在同一時(shí)刻

(1)恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?(2)至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?(3)至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?(4)至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?

【解】設(shè)X表示“5個(gè)設(shè)備中同時(shí)被使用的個(gè)數(shù)”,則有r.v.X~B(5,0.1).于是，

(1).恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率為

(2).至少有三個(gè)設(shè)備被使用的概率為

=0.0081+0.00045+0.00001=0.00856.

(3).

至多有三個(gè)設(shè)備被使用的概率為

(4).

至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率為

=1-0.59049=0.40951.

■

關(guān)于二項(xiàng)分布的近似計(jì)算,當(dāng)n≥20,p≤0.05[特別,n≥100,λ=np

≤10]時(shí),如下例題:有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過(guò),設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi),出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過(guò),問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?

設(shè)1000輛車通過(guò),出事故的次數(shù)為X,則解例故所求概率為二項(xiàng)分布

泊松分布定義設(shè)的取值為取值概率為其中為參數(shù)，則稱

服從參數(shù)為的,記為泊松分布或泊松分布的性質(zhì):（三）泊松分布泊松分布的圖形（三）泊松分布泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中,泊松分布是常見(jiàn)的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.在二項(xiàng)分布B(n，p)的概率計(jì)算中，往往計(jì)算量很大，利用下面的泊松定理近似計(jì)算，可以大大減少計(jì)算量．下面不加證明地給出泊松定理．Poisson定理說(shuō)明若X~B(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小,而適中,則可以用近似公式（泊松定理）設(shè)

>0是一個(gè)常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)np

=

（p與n有關(guān)），則對(duì)于任一非負(fù)整數(shù)k，有（三）泊松分布單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出二項(xiàng)分布

泊松分布（三）泊松分布已知某種疾病的發(fā)病率為0.001，某單位共有5000人，問(wèn)該單位患有這種疾病的人數(shù)不超過(guò)5人的概率為多少？例解設(shè)該單位患有這種疾病的人數(shù)為X，則有X～B(5000，0.001)，則所求概率為取

=np=5，用泊松分布近似計(jì)算并查附表得（三）泊松分布例解以X表示鑄件的砂眼數(shù)，由題意知X～P(0.5)，則該種鑄件上至多有1個(gè)砂眼的概率為至少有2個(gè)砂眼的概率為P{X

2}=1–P{X

1}=0.09某種鑄件的砂眼（缺陷）數(shù)服從參數(shù)為0.5的泊松分布,試求該鑄件至多有一個(gè)砂眼（合格品）的概率和至少有2個(gè)砂眼（不合格品）的概率。（三）泊松分布離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布二項(xiàng)分布泊松分布兩點(diǎn)分布小結(jié)

【練習(xí)】設(shè)某地區(qū)每年發(fā)表有關(guān)“利用圓規(guī)與直尺三等分一個(gè)角”的文章的篇數(shù)X服從參數(shù)為6的泊松分布,求明年沒(méi)有此類文章的概率.

【解】因?yàn)閞.v.X~P(6),所以其分布律為：

從而，所求概率為：■為了保證設(shè)備