理論力學(xué)第十三章 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理

第13章

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理

§13-1

力的功§13-3

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒§13-5

功率與功率方程§13-2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能第13章

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用

§13-1

力的功1、功的概念力的元功：如圖示，質(zhì)點(diǎn)在任意變力F作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，力在無(wú)限小位移dr中可視為常力，小弧段ds可視為直線，

dr可視為沿M點(diǎn)的切線。在一無(wú)限小位移中力所做的功稱為元功，以

W表示。所以力的元功為寫(xiě)成直角坐標(biāo)形式在一般情況下，上式右邊不表示某個(gè)坐標(biāo)函數(shù)的全微分，所以元功用符號(hào)

W而不用dW。

§13-1

力的功力在有限路程上的功：力在有限路程上的功為力在此路程上元功的定積分?；蚬Φ膯挝粸榻苟?J)，1J=1N

m=1kgm2/s2

§13-1

力的功2、常見(jiàn)力的功（1）重力的功重力的功僅與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始和終了位置的高度差有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。對(duì)于質(zhì)系，所有質(zhì)點(diǎn)重力做功之和為由質(zhì)心坐標(biāo)公式，有

§13-1

力的功（2）彈性力的功在彈性限度內(nèi)彈性力F可表示為：彈性力在有限路程M1M2上的功為彈性力在有限路程上的功只決定于彈簧在起始及終了位置的變形量，而與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。

§13-1

力的功（2）彈性力的功式中

1，

2分別為質(zhì)點(diǎn)在起點(diǎn)及終點(diǎn)處彈簧的變形量。

§13-1

力的功（3）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力F的元功為力F在有限轉(zhuǎn)動(dòng)中的功為

§13-1

力的功（4）平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功剛體上任意一點(diǎn)Mi的無(wú)限小位移可寫(xiě)為在有限路程上的功為xzyFAFBAB系統(tǒng)內(nèi)力

FA＝－

FB

這一對(duì)內(nèi)力在什么情形下作功？什么情形下不作功？§13-1

力的功2、質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功xzyFAFBABrArB

FA和FB在drA和drB上所作之元功§13-1

力的功2、質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功drABxzyFAFBBrArBA

這一結(jié)果表明：當(dāng)兩點(diǎn)之間的距離發(fā)生變化時(shí)，這兩點(diǎn)之間的內(nèi)力所作之元功不等于零?！?3-1

力的功2、質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功工程上幾種內(nèi)力作功的情形

作為整體考察，所有發(fā)動(dòng)機(jī)的內(nèi)力都是有功力。例如汽車(chē)內(nèi)燃機(jī)工作時(shí)，氣缸內(nèi)膨脹的氣體質(zhì)點(diǎn)之間的內(nèi)力；氣體質(zhì)點(diǎn)與活塞之間的內(nèi)力；氣體質(zhì)點(diǎn)與氣缸內(nèi)壁間的內(nèi)力；這些內(nèi)力都要作功。

有相對(duì)滑動(dòng)的兩個(gè)物體之間的摩擦力作負(fù)功。

彈性構(gòu)件橫截面上的所有內(nèi)力分量作負(fù)功?！?3-1

力的功2、質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功§13-1

力的功3、理想約束約束力的元功的和等于零的約束稱為理想約束。常見(jiàn)的理想約束有（1）光滑固定面和輥軸約束其約束力垂直于作用點(diǎn)的位移，約束力不做功?！?3-1

力的功3、理想約束（2）光滑鉸鏈或軸承約束由于約束力的方向恒與位移的方向垂直，所以約束力的功為零?！?3-1

力的功3、理想約束（3）剛性連接的約束這種約束和剛體的內(nèi)力一樣，其元功之和恒等于零。（4）聯(lián)結(jié)兩個(gè)剛體的鉸（5）柔性而不可伸長(zhǎng)的繩索約束§13-1

力的功3、理想約束（6）純滾動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力(約束力)不作功OvOC*FFN

C*

為瞬時(shí)速度中心，在這一瞬時(shí)C*點(diǎn)的位移為零。作用在C*點(diǎn)的摩擦力F所作元功為§13-1

力的功3、理想約束一般情形下，兩個(gè)相對(duì)滑動(dòng)物體之間的摩擦力，其作用點(diǎn)都會(huì)發(fā)生相對(duì)位移，而且位移的方向與摩擦力的方向相反，因而，這時(shí)的摩擦力作功，且為負(fù)功。1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能動(dòng)能是度量質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)效應(yīng)的特征量。§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能3、剛體的動(dòng)能（1）平動(dòng)（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能3、剛體的動(dòng)能（3）平面運(yùn)動(dòng)Am1例

題

1Oxx′y′

m2BlvA已知滑塊A的質(zhì)量為

m1，質(zhì)點(diǎn)B的質(zhì)量為m2,AB桿的長(zhǎng)度為

l、不計(jì)質(zhì)量，可以繞

A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊的速度為vA。

求：系統(tǒng)的動(dòng)能，并用廣義坐標(biāo)表示?！?3-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能

例

題

1解：1、廣義坐標(biāo)

滑塊作水平直線運(yùn)動(dòng)；質(zhì)點(diǎn)B作平面運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)具有2個(gè)自由度。廣義坐標(biāo)選擇為x和

。Am1Oxx′y′m2BlvAx§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能2、運(yùn)動(dòng)分析與速度分析

滑塊作直線運(yùn)動(dòng)，速度為vA

質(zhì)點(diǎn)B作平面運(yùn)動(dòng)。例

題

1vevr解：

質(zhì)點(diǎn)B作平面運(yùn)動(dòng)。以A為基點(diǎn)，其牽連速度與相對(duì)速度分別為

Am1Oxx′y′m2BlvAx§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能例

題

1解：3、計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能滑塊的動(dòng)能vAvB

Am1Oxx′y′m2BlvAx質(zhì)點(diǎn)B的動(dòng)能§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能例

題

1解：3、計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能滑塊的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)B的動(dòng)能系統(tǒng)的總動(dòng)能§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能mnmim1m2C以質(zhì)心為基點(diǎn)的平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

——

柯希尼定理miCx′y′z′xzyOvCvCvi

rvi

考察任意質(zhì)點(diǎn)系，C為其質(zhì)心，質(zhì)心的速度為vC

。

定系Oxyz，

動(dòng)系Cx′y′z′

應(yīng)用速度合成定理，任意質(zhì)點(diǎn)mi的速度§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能柯希尼定理miCx′y′z′xzyOvCvi

rvi系統(tǒng)的總質(zhì)量為m系統(tǒng)的總動(dòng)能為T(mén)§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能系統(tǒng)的總動(dòng)能為T(mén)§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能柯希尼定理

——

系統(tǒng)質(zhì)心的速度與系統(tǒng)相對(duì)于質(zhì)心平移系動(dòng)量的標(biāo)量積miCx′y′z′xzyOvCvi

rvirirC根據(jù)質(zhì)心定義§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能柯希尼定理

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能(絕對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能)，等于系統(tǒng)跟隨質(zhì)心平移的動(dòng)能(牽連運(yùn)動(dòng)動(dòng)能)與相對(duì)于質(zhì)心平移系運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能(相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能)之和。

這一結(jié)論只有以質(zhì)心為基點(diǎn)時(shí)是正確的，對(duì)于任意點(diǎn)為基點(diǎn)的情形，上述結(jié)論一般是不正確的?！?3-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能柯希尼定理例

題

2v0C2C1dr

坦克或拖拉機(jī)履帶單位長(zhǎng)度質(zhì)量為

，輪的半徑為r，輪軸之間的距離為d，履帶前進(jìn)的速度為v0。求：全部履帶的總動(dòng)能。§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能

柯希尼定理例

題

2v0C2C1dr

解：在C1C2桿上建立動(dòng)系C1x′y′。x′y′

牽連運(yùn)動(dòng)為水平平移，牽連速度為v0；

相對(duì)運(yùn)動(dòng)為繞在兩個(gè)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)圓輪上履帶的運(yùn)動(dòng)。圓輪的角速度為

＝

v0/r,履帶上各點(diǎn)的相對(duì)速度均為v0。v0§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能柯希尼定理例

題

2v0C2C1dr

解：應(yīng)用柯希尼定理，全部履帶的總動(dòng)能為§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能柯希尼定理§13-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能

平移剛體的動(dòng)能

——

剛體各點(diǎn)的速度相同，可以用質(zhì)心的速度表示

平移剛體的動(dòng)能相當(dāng)于將剛體的質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)質(zhì)心點(diǎn)的動(dòng)能。

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

——

物理學(xué)已經(jīng)得到的結(jié)論

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)于定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度平方乘積的一半?！?3-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能

平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

——

剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為跟隨質(zhì)心的平移(牽連運(yùn)動(dòng))和相對(duì)于質(zhì)心平移系的轉(zhuǎn)動(dòng)(相對(duì)運(yùn)動(dòng))。根據(jù)柯希尼定理

平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體跟隨質(zhì)心平移的動(dòng)能與相對(duì)于質(zhì)心平移系的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和?！?3-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能返回對(duì)于質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)上合力的元功－微分形式1、動(dòng)能定理的微分形式與積分形式§13-3

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)從某一位置運(yùn)動(dòng)到另一位置，其動(dòng)能改變量等于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力所作之功?！?/p>

積分形式動(dòng)能定理的微分形式與積分形式§13-3

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有力的元功之和——

微分形式動(dòng)能定理的微分形式與積分形式§13-3

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)從某一位形運(yùn)動(dòng)到另一位形，其動(dòng)能改變量等于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有有功力所作之功的代數(shù)和

——

積分形式

所有有功力－既包括外力，也包括內(nèi)

力；既包括主動(dòng)力，也包括約束力。在理想約束系統(tǒng)中，只包括主動(dòng)力(外力和內(nèi)力)。動(dòng)能定理的微分形式與積分形式§13-3

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒§13-3

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒2、

保守系統(tǒng)的機(jī)械能守恒

保守系統(tǒng)

——

僅在有勢(shì)力作用下的系統(tǒng)。

機(jī)械能

——

系統(tǒng)所具有的動(dòng)能與勢(shì)能的

總稱。

機(jī)械能守恒

——系統(tǒng)僅在有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，其機(jī)械能保持恒定。常數(shù)例

題

3ACBlll

均質(zhì)桿件AB的長(zhǎng)度為2l，重量為W，質(zhì)心在C處，A處為鉸鏈連接。剛度系數(shù)為k、原長(zhǎng)為l的彈簧，一端固結(jié)于C點(diǎn)，另一段固結(jié)于地面上的D點(diǎn)。桿件AB在豎直位置時(shí)在微小擾動(dòng)下，運(yùn)動(dòng)到水平位置。求：1、彈簧力所作之功；

2、桿件AB運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)

的角速度D§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

3ACBlll解：1、彈簧力所作之功；DllOx

以AD段彈簧的長(zhǎng)度作為彈簧原長(zhǎng)，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立Ox坐標(biāo)系。在任意坐標(biāo)

x處，彈簧力為F＝－kxAC′B′lllD

因?yàn)閺椈闪κ潜Ｊ亓?，為便于?jì)算，彈簧力從C到C′所作的功，可以看作由C到O，再由O到C′(保守力作功與路徑無(wú)關(guān))。CC′§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

3解：1、彈簧力所作之功；DllOxCC′

因?yàn)閺椈闪κ潜Ｊ亓?，為便于?jì)算，彈簧力從C到C′所作的功，可以看作由C到O，再由O到C′(保守力作功與路徑無(wú)關(guān))。其中§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

3解：2、AB桿的角速度ACBlllAC′B′lllD

AB桿從豎直位置運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)，不考慮磨擦力，系統(tǒng)的有功力為桿件的重力W和彈簧力F。WF應(yīng)用動(dòng)能定理，§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

3解：2、AB桿的角速度：應(yīng)用動(dòng)能定理，§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

4J1r1O1Mr2O2J2電動(dòng)機(jī)滑輪1滑輪2膠帶

已知傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)速比為i，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1和J2，膠帶的質(zhì)量為m，施加在電動(dòng)機(jī)上的主動(dòng)力偶的力偶矩M。求：電機(jī)軸的角加速度§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

4J1r1O1r2O2J2

解：這是一個(gè)自由度系統(tǒng)，以電動(dòng)機(jī)軸的轉(zhuǎn)角作為廣義坐標(biāo)

q=

。

假設(shè)膠帶不可伸長(zhǎng)，膠帶的內(nèi)力不作功，膠帶約束為理想約束；不計(jì)軸與軸承之間的摩擦，軸承亦為理想約束。于是只有主動(dòng)力偶M作功。

假設(shè)滑輪1和2的角速度分別為

1和

2

，膠帶的速度為v。對(duì)整體系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

4

解：假設(shè)滑輪1和2的角速度分別為

1和

2

，膠帶的速度為v。對(duì)整體系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理

應(yīng)用轉(zhuǎn)速比與速度、角速度之間的關(guān)系將動(dòng)能定理僅用

1一個(gè)參數(shù)表示§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

4

解：假設(shè)滑輪1和2的角速度分別為

1和

2

，膠帶的速度為v。對(duì)整體系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理將動(dòng)能定理僅用

1一個(gè)參數(shù)表示將等式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

5CO

DM卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖示。鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱沿斜坡上拉。已知鼓輪的半徑為R1，質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2，質(zhì)量為m2，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為

，圓柱只滾不滑，系統(tǒng)從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求：圓柱中心經(jīng)過(guò)路程S時(shí)的速度?！?3-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

5解：1、研究對(duì)象為整體。2、受力分析、運(yùn)動(dòng)分析如圖。CO

DMCO

DMNFm2gm1gXOYOvC

2

13、理想約束。主動(dòng)力作功。設(shè)

為鼓輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度。4、計(jì)算動(dòng)能§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

5CO

DMNFm2gm1gXOYOvC

2

1運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

5CO

DMNFm2gm1gXOYOvC

2

15、動(dòng)能定理列方程?！?3-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

6OxyAB

均質(zhì)細(xì)直桿AB長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，上端靠在光滑鉛直墻面上，下端與均質(zhì)圓柱的中心鉸接。圓柱的質(zhì)量為M，半徑為R，放在粗糙的水平面上作純滾動(dòng)，其滾阻力偶忽略不計(jì)。當(dāng)AB桿與水平線的夾角

=45o時(shí)，該系統(tǒng)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求：此瞬時(shí)輪心A的加速度§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

6解：1、研究對(duì)象為整體。2、受力分析、運(yùn)動(dòng)分析如圖3、系統(tǒng)為理想約束，主動(dòng)力作功。OxyAB

OxyAB

OxyAB

P1P2C

A

ABvAMgmgvC

N2N1F§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

6OxyAB

OxyAB

P1P2C

A

ABvAMgmgvC

N2N1F4、動(dòng)能的一般表達(dá)式§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

6OxyAB

OxyAB

P1P2C

A

ABvAMgmgvC

N2N1F§13-4

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)例

題

65、動(dòng)能定理列方程§13-5

功率與功率方程功

率力的功率－力所作之功對(duì)時(shí)間的變化率力的功率等于力與其作用點(diǎn)速度的標(biāo)積。

作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的標(biāo)積?！?3-5

功率與功率方程功

率

方

程質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式等式兩邊同除以dt

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和?！?/p>

功率方程§13-5

功率與功率方程功

率

方

程

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和?！?/p>

功率方程——

輸入功率——

有用功率，輸出功率——

無(wú)用功率，損耗功率§13-5

功率與功率方程功

率

方

程例

題

7

車(chē)床電動(dòng)機(jī)的功率P輸入＝5.4kW

。傳動(dòng)零件之間的磨擦損耗功率為輸入功率的30％

。工件的直徑d＝100mm。

求：轉(zhuǎn)速n=42r/min和

n=112r/min的允許最大切削力。§13-5

功率與功率方程例

題

7解：車(chē)床正常工作時(shí)，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動(dòng)能無(wú)變化其中§13-5

功率與功率方程切削力F與工件在切削力作用點(diǎn)的速度v同向例

題

7例

題

7當(dāng)

n=42r/min

時(shí)當(dāng)

n=112r/min

時(shí)§13-5

功率與功率方程作業(yè)：

14-6,14-20,14-22 14-24，14-25返回第13章

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系普遍定理

的綜合應(yīng)用§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)量定理動(dòng)量矩動(dòng)理動(dòng)能定理動(dòng)量方法能量方法§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題與分析程序主動(dòng)力質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)動(dòng)約束力非自由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較

動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都是描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)的變化與質(zhì)點(diǎn)系所受的作用力之間的關(guān)系。整體運(yùn)動(dòng)的變化所受的作用力動(dòng)

量

定

理動(dòng)

能

定

理動(dòng)量矩定理動(dòng)

量力(沖量)動(dòng)量矩力

矩動(dòng)

能力

的

功

動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都可以用于求解動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)基本問(wèn)題。§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較

動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理一般限于研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題。

動(dòng)能定理可以用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其他運(yùn)動(dòng)形式之間的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化問(wèn)題?！?3-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較

動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式為矢量形式，描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不僅涉及有關(guān)運(yùn)動(dòng)量的大小，而且涉及運(yùn)動(dòng)量的方向。

動(dòng)能定理的表達(dá)式為標(biāo)量形式，描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不涉及運(yùn)動(dòng)量的方向，無(wú)論質(zhì)點(diǎn)系如何運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能定理只能提供一個(gè)方程

?！?3-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較

動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式中含有時(shí)間參數(shù)。

動(dòng)能定理的表達(dá)式中含有路程參數(shù)?！?3-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較

動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式中只包含外力，而不包含內(nèi)力(內(nèi)力的主矢和主矩均為零)

動(dòng)能定理的表達(dá)式中可以包含主動(dòng)力和約束力，主動(dòng)力中可以是外力，也可以是內(nèi)力(可變質(zhì)點(diǎn)系)；對(duì)于理想約束，則只包含主動(dòng)力?！?3-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較

分析和解決復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，選擇哪一個(gè)定理的原則是：

1、所要求的運(yùn)動(dòng)量在所選擇的定理中能不能比較容易地表達(dá)出來(lái)；

2、在所選擇的定理表達(dá)式中，不出現(xiàn)相關(guān)的未知力。

對(duì)于由多個(gè)剛體組成的復(fù)雜系統(tǒng)，求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果選用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理，需要將系統(tǒng)拆開(kāi)，不僅涉及的方程數(shù)目比較多，而且會(huì)涉及求解聯(lián)立方程。

如果選用動(dòng)能定理，對(duì)于受理想約束的系統(tǒng)，可以不必將系統(tǒng)拆開(kāi)，而直接對(duì)系統(tǒng)整體應(yīng)用動(dòng)能定理，建立一個(gè)標(biāo)量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度)?！?3-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題與分析程序一般分析程序：

先避開(kāi)未知約束力，求解運(yùn)動(dòng)量；

然后再現(xiàn)在合適的定理，確定動(dòng)約束力。需要特別注意自由度的概念，注意分析約束的性質(zhì)確定：系統(tǒng)是單自由度還是多自由度；

是一處約束還是多處約束；

是理想約束還是非理想約束?！?3-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題與分析程序需要特別注意自由度的概念，注意分析約束的性質(zhì)

對(duì)于具有理想約束，特別是具有多處約束的一個(gè)自由度系統(tǒng)，一般先應(yīng)用動(dòng)能定理分析運(yùn)動(dòng)，然后再采用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理，確定動(dòng)約束力。

對(duì)于具有一處約束的系統(tǒng)，或者雖然具有多處約束的系統(tǒng)，但所要求的是瞬時(shí)二階運(yùn)動(dòng)量和未知約束力，這時(shí)可以聯(lián)合應(yīng)用動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理。

對(duì)于二自由度系統(tǒng)或多自由度系統(tǒng)，需要綜合應(yīng)用動(dòng)能定理、動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理。這種情形下需要特別注意系統(tǒng)的守恒情形。BO2§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

8AO130oDWWWM

質(zhì)圓輪A和B的半徑均為r，圓輪A和B以及物塊D的重量均為W，圓輪B上作用有力偶矩為M的力偶，且3Wr/2>M>Wr/2。圓輪A在斜面上作純滾動(dòng)。不計(jì)圓輪B的軸承的摩擦力。求：1、物塊D的加速度；

2、二圓輪之間的繩索所受拉力；

3、圓輪B處的軸承約束力?！?3-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

8BO2AO130oDWWWM

解：首先，討論系統(tǒng)的自由度、約束以及廣義坐標(biāo)的選擇。自由度：1約束：多約束廣義坐標(biāo)：sDOsD§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

8

解：1、確定物塊的加速度BO2AO130oDWWWMsDO對(duì)系統(tǒng)整體應(yīng)用動(dòng)能定理§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

8

解：1、確定物塊的加速度BO2AO130oDWWWMsDO將所有運(yùn)動(dòng)量都表示成廣義坐標(biāo)

sD的形式§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

8

解：BO2AO130oDWWWMsDO

為求物塊的加速度，將等式兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，得到當(dāng)M>Wr/2，aD>0，物塊向上運(yùn)動(dòng)§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

8DBO2WWFTFByFBxM

解：2、確定圓輪A和B之間繩索的拉力AO1DWMBO230oWW

解除圓輪B軸承處的約束，將AB段繩索截開(kāi)，對(duì)圓輪B、繩索和物塊D組成的局部系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量矩定理§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

8DBO2WWFTFByFBxM

解：

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

8DBO2WWFTFByFBxM

解：3、確定圓輪B軸承處的動(dòng)約束力

對(duì)圓輪B、繩索和物塊D組成的局部系統(tǒng)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

9滾輪重P3，半徑為r2，對(duì)質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為

C，半徑為r1的軸頸沿AB作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)?；喼豍2，半徑為r，回轉(zhuǎn)半徑為

，重塊重P1。求:（1）重塊的加速度；（2）EF段繩的張力；

（3）D處約束力?！?3-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

9解：系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，選重塊的位移s為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)具有理想約束，由動(dòng)能定理建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)與主動(dòng)力之間的關(guān)系。1、系統(tǒng)在任意位置的動(dòng)能式中§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

9§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

9§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

92、假想將EF段繩子剪斷，考慮滑輪與重物組成的系統(tǒng)由動(dòng)量矩定理:§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

93.以滾輪為分析對(duì)象由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

10均質(zhì)桿AB長(zhǎng)l，質(zhì)量為m。質(zhì)量為M的重塊B在常力F作用下，由圖(a）所示靜止位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。不計(jì)摩擦及A塊重量。求:AB桿運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí)重塊B的速度vB及此時(shí)A處的約束力。§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

10解：分析AB桿與重塊B組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)在初始位置的動(dòng)能T0=0，當(dāng)AB桿運(yùn)動(dòng)至鉛垂位置，系統(tǒng)的動(dòng)能為§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

10AB桿在鉛垂位置的運(yùn)動(dòng)分析如圖（b）所示此時(shí)A為瞬心，vC,vB方向如圖所示。系統(tǒng)具有理想約束，主動(dòng)力的功為Fmg§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

10根據(jù)動(dòng)能定理Fmg§13-6

質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用例

題

10AB桿在鉛垂位置時(shí)，桿AB及重塊B的受力圖如圖（c）所示。根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程和第二牛頓定律，分別列出桿AB