第17講-復數(shù)的三角形式(講義)解析版

第17講復數(shù)的三角形式知識梳理1．復數(shù)的三角表示式及復數(shù)的輻角和輻角主值一般地，如果非零復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)在復平面內對應點Z(a，b)，且r為向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模，θ是以x軸正半軸為始邊、射線OZ為終邊的一個角，則r＝|z|＝eq\r(a2＋b2)，根據(jù)任意角余弦、正弦的定義可知cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r).因此a＝rcosθ，b＝rsinθ，從而z＝a＋bi＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝r(cosθ＋isinθ)，上式的右邊稱為非零復數(shù)z＝a＋bi的三角形式(對應地，a＋bi稱為復數(shù)的代數(shù)形式)，其中的θ稱為z的輻角．顯然，任何一個非零復數(shù)z的輻角都有無窮多個，而且任意兩個輻角之間都相差2π的整數(shù)倍．特別地，在[0,2π)內的輻角稱為z的輻角主值，記作argz2．復數(shù)三角形式的乘、除運算若復數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，則(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．(3)[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)].例題解析1.代數(shù)形式化為三角形式例1．（2021·浙江高一單元測試）把下列復數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【分析】（1）先根據(jù)模公式求出模來，再根據(jù)其對應的點是在第四象限，求出，最后寫成三角形式.（2）先根據(jù)模公式求出模來，再根據(jù)其對應的點是在第四象限，求出，最后寫成三角形式.【詳解】（1）.因為與對應的點在第四象限，所以，所以.（2）.因為與對應的點在第四象限，所以，所以.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉化，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于基礎題.【鞏固訓練】1．（2020·全國高一課時練習）復數(shù)化成三角形式，正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算可得;【詳解】解:因為，所以故選：B【點睛】本題考查復數(shù)的基本概念，考查了復數(shù)的三角形式，屬于基礎題．2．（2020·全國高一課時練習）復數(shù)的三角形式是A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的三角形公式求解或利用定義直接求解即可.【詳解】解法一：設復數(shù)的三角形式為,則,,可取,從而復數(shù)的三角形式為.解法二：故選：A【點睛】本題主要考查了復數(shù)的三角形式,屬于基礎題.3．（2020·全國高一課時練習）復數(shù)（i為虛數(shù)單位）的三角形式為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】復數(shù)的三角形式是，根據(jù)復數(shù)和誘導公式化簡，化為復數(shù)的三角形式，再結合答案選擇．【詳解】解：依題意得，復數(shù)對應的點在第四象限，且，因此，，結合選項知D正確，故選：D.【點睛】本題考查了復數(shù)的代數(shù)形式和三角形式的轉化，主要利用誘導公式化簡，注意兩種形式的標準形式，式子中各個位置的符號，以及三角函數(shù)值的符號．總結規(guī)律：復數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的步驟(1)先求復數(shù)的模．(2)決定輻角所在的象限．(3)根據(jù)象限求出輻角．(4)求出復數(shù)的三角形式．提醒：一般在復數(shù)三角形式中的輻角，常取它的主值，這使表達式簡便，又便于運算，但三角形式輻角不一定取主值．2.三角形式化為代數(shù)形式例1．（2020·全國高一課時練習）“復數(shù)的模與輻角分別相等”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】要對充分性和必要性進行判斷，注意輻角可以相差的整數(shù)倍即可.【詳解】當復數(shù)的模與輻角分別相等時，一定有，充分性成立；但當時，與的輻角可以相等，也可以相差的整數(shù)倍，必要性不成立.綜上，“復數(shù)的模與輻角分別相等”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查對復數(shù)三角形式的認知，要注意輻角是不唯一的.例2．（2020·河北冀州中學（衡水市冀州區(qū)第一中學）高三月考）任意復數(shù)（，為虛數(shù)單位）都可以的形式，其中該形式為復數(shù)的三角形式，其中稱為復數(shù)的輻角主值.若復數(shù)，則的輻角主值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把復數(shù)代為代數(shù)形式再化為三角形式后可得輻角主值．【詳解】，所以輻角主值為．故選：D．例3．（2020·全國高一課時練習）已知復數(shù)z1＝，z2＝，則z1z2的代數(shù)形式是（）A． B．C．－i D．＋i【答案】D【分析】利用復數(shù)三角形式的乘法法則，計算即可得解.【詳解】故選:D.【點睛】本題考查了復數(shù)三角形式的乘法法則，意在考查學生的計算能力，是基礎題.例4．（2020·全國高一課時練習）復數(shù)的輻角主值為A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡利用誘導公式化成標準形式再判斷即可.【詳解】,故復數(shù)z的輻角主值為.故選：D【點睛】本題主要考查了復數(shù)的輻角主值的辨析,屬于基礎題.例5．（2020·全國高三專題練習）分別指出下列復數(shù)的模和輻角的主值，并將復數(shù)表示成代數(shù)形式．（1）4；（2）2【分析】（1）復數(shù)4為復數(shù)的三角形式，再寫出其模和輻角的主值，然后再轉化為的形式；（2）先把復數(shù)，轉化為三角形式，再寫出其模和輻角的主值，然后再轉化為的形式；【詳解】（1）復數(shù)4模r＝4，輻角的主值為θ＝..（2），復數(shù)的模為2，輻角的主值為θ＝，.【鞏固訓練】1．（2020·全國高一課時練習）下列復數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式.（1）；（2）.【答案】（1）不是，（2）不是，.【分析】（1）根據(jù)復數(shù)的三角形式的定義，結合題意，本題中模是負數(shù)，顯然不是三角形式，需要借助誘導公式化簡；（2）根據(jù)復數(shù)的三角形式的定義，顯然不是復數(shù)，借助誘導公式化簡即可.【詳解】（1）不是.（2）不是..【點睛】本題考查復數(shù)的三角形式的辨識，以及化簡復數(shù)為三角形式的能力，需要注意合理利用誘導公式.總結規(guī)律：復數(shù)的三角形式z＝rcosθ＋isinθ必須滿足“模非負、余正弦、＋相連、角統(tǒng)一、i跟sin”，否則就不是三角形式，只有化為三角形式才能確定其模和輻角，.3.復數(shù)三角形式的乘、除運算例1．（2020·全國高一課時練習）計算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【分析】直接根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法與除法運算法則計算可得；【詳解】解：（1）（2）【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查計算能力，屬于基礎題.【鞏固訓練】2．計算：(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))eq\s\UP12(2)；(2)eq\r(,2)(cos75°＋isin75°)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)i))；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3))))).[解](1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))eq\s\UP12(2)＝(eq\r(,2))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))＝－1＋eq\r(,3)i.(2)eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i＝eq\f(\r(,2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(,2),2)－\f(\r(,2),2)i))＝eq\f(\r(,2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))，所以eq\r(,2)(cos75°＋isin75°)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)i))＝eq\r(,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,12)π＋isin\f(5,12)π))×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(,2),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))))＝eq\r(,2)×eq\f(\r(,2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)π＋\f(7,4)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)π＋\f(7,4)π))))＝coseq\f(26,12)π＋isineq\f(26,12)π＝coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6)＝eq\f(\r(,3),2)＋eq\f(1,2)i.(3)因為－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(,3),2)i＝coseq\f(2,3)π＋isineq\f(2,3)π，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－\f(π,3)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝eq\f(1,4)＋eq\f(\r(,3),4)i.總結規(guī)律：1．乘法法則：模相乘，輻角相加．2．除法法則：模相除，輻角相減．3．復數(shù)的n次冪，等于模的n次冪，輻角為n倍．4.復數(shù)三角形式乘、除運算的幾何意義例1．（2020·全國高三二模（文））在復平面內，為坐標原點，復數(shù)對應的點為，將向量按逆時針方向旋轉得到，則對應的復數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得、的值，進而可得出復數(shù)的值.【詳解】設，由題意知，，，所以，故選：A．【點睛】本題考查復數(shù)的求解，考查了三角函數(shù)定義的應用，考查計算能力，屬于基礎題.例2．（2020·全國高一課時練習）將復數(shù)對應的向量繞原點按順時針方向旋轉，得到的向量為，那么對應的復數(shù)是A． B． C． D．【答案】A【分析】先將復數(shù)寫成三角形式,再根據(jù)三角形式的運算法則求解即可.【詳解】復數(shù)的三角形式是,向量對應的復數(shù)是故選：A【點睛】本題主要考查了復數(shù)三角形式的運用,屬于基礎題.例3．（2020·全國高一課時練習）將復數(shù)對應的向量繞原點按逆時針方向旋轉，得到的向量為，那么對應的復數(shù)是A．2i B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的三角形式運算求解即可.【詳解】復數(shù)的三角形式是,向量對應的復數(shù)故選：B【點睛】本題主要考查了復數(shù)的三角形式運算,屬于基礎題.例4．（2020·全國高一課時練習）在復平面內，把與復數(shù)對應的向量繞原點按逆時針方向旋轉，求與所得向量對應的復數(shù)（用代數(shù)形式表示）.【答案】【分析】根據(jù)三角形式的復數(shù)乘法意義，應用乘法法則，計算即可.【詳解】與所得向量對應的復數(shù)為=.【點睛】本題考查復數(shù)三角形式乘法的意義，屬基礎題.例5．（2020·全國高一課時練習）在復平面內，設為坐標原點，點所對應的復數(shù)分別為，且的輻角主值分別為，模長均為1.若的重心對應的復數(shù)為，求.【答案】【分析】根據(jù)題意，寫出復數(shù)的三角形式，由重心坐標的計算公式，可得重心對應的復數(shù)的形式，結合題目已知條件，即可求解.【詳解】由題意，可知.∵的重心對應的復數(shù)為，∴，即，∴，∴，∴.【點睛】本題綜合考查復數(shù)的三角形式的理解和認知，屬三角形式中的中檔題.注意本題中還涉及和差化積公式.例6．（2020·全國高一課時練習）設復數(shù)在復平面上對應向量，將向量繞原點O按順時針方向旋轉后得到向量，對應復數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把復數(shù)化為三角形式，再根據(jù)題中的條件求出復數(shù)，利用復數(shù)相等的條件得到和的值，求出.【詳解】因為，所以，設，，，則，即，，，故.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義及復數(shù)的綜合運算，較難.解答時要注意將、化為三角形式然后再計算.【鞏固訓練】1．（2020·全國高一課時練習）在復平面內，把與復數(shù)對應的向量繞原點按順時針方向旋轉，求與所得向量對應的復數(shù)（用代數(shù)形式表示）.【答案】【分析】根據(jù)復數(shù)除法的意義，進行計算即可.【詳解】與所得向量對應的復數(shù)為.【點睛】本題考查復數(shù)的除法的意義，屬基礎題.2．（2020·全國高一課時練習）在復平面內，把與復數(shù)對應的向量繞原點按逆時針方向旋轉45°，所得向量對應的復數(shù)為，求復數(shù)（用代數(shù)形式表示）.【答案】【分析】把與復數(shù)對應的向量繞原點按逆時針方向旋轉45°得到，再把三角形式轉化為代數(shù)形式運算，整理為的形式.【詳解】由題意得.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉化及其運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.總結規(guī)律：兩個復數(shù)z1，z2相乘時，先分別畫出與z1，z2對應的向量，，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉角θ2如果θ2＜0，就要把繞點O按順時針方向旋轉角|θ2|，再把它的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，得到向量，表示的復數(shù)就是積z1z2.5.三角形式下復數(shù)的乘方與開方【鞏固訓練】1．（2020·全國）復數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復數(shù)的