2025版高考數(shù)學一輪總復習考點突破第3章導數(shù)及其應用第1講導數(shù)的概念及運算考點2導數(shù)的幾何意義

導數(shù)的幾何意義角度1求切線方程1．已知f(x)＝(x＋1)ex，函數(shù)f(x)的圖象在x＝0處的切線方程為_2x－y＋1＝0__.[解析]由f(x)＝(x＋1)ex得f′(x)＝ex＋(x＋1)ex，所以在x＝0處的切線的斜率為f′(0)＝e0＋(0＋1)e0＝2，又f(0)＝1，故切點坐標為(0,1)，所以所求的切線方程為y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.2．(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y＝ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為y＝eq\f(1,e)xy＝－eq\f(1,e)x.[解析]先求當x>0時，曲線y＝lnx過原點的切線方程，設切點坐標為(x0，y0)，則由y′＝eq\f(1,x)，得切線斜率為eq\f(1,x0)，又切線的斜率為eq\f(y0,x0)，所以eq\f(1,x0)＝eq\f(y0,x0)，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切線斜率為eq\f(1,e)，切線方程為y＝eq\f(1,e)x.同理可求得當x<0時的切線方程為y＝－eq\f(1,e)x.綜上可知，兩條切線方程為y＝eq\f(1,e)x，y＝－eq\f(1,e)x.名師點撥：求曲線的切線方程的兩種類型1．在求曲線的切線方程時，注意兩個“說法”：求曲線在點P(x0，y0)處的切線方程和求曲線過點P(x0，y0)的切線方程，在點P處的切線，一定是以點P為切點，過點P的切線，不論點P在不在曲線上，點P不一定是切點．2．在點P處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．求過點P的曲線的切線方程的步驟為：第一步：設出切點坐標P′(x1，f(x1))；第二步：寫出過P′(x1，f(x1))的切線方程為y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程，求出x1；第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點P(x0，y0)的切線方程．注：也可利用f′(x1)＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝k切求切點坐標(x1，y1)，有幾組解就有幾條切線．角度2求切點坐標已知曲線y＝eq\f(x2,2)－3lnx的一條切線的斜率為2，則切點的橫坐標為(A)A．3 B．2C．1 D．eq\f(1,2)[解析]設切點坐標為(x0，y0)，且x0>0，由y′＝x－eq\f(3,x)，得切線斜率k＝x0－eq\f(3,x0)＝2，∴x0＝3.故選A．名師點撥：求切點坐標的方法已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導數(shù)，然后讓導數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標，將橫坐標代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標．角度3導數(shù)的幾何意義如圖，y＝f(x)是可導函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)－3f′(3)＝(A)A．1 B．0C．2 D．4[解析]將點(3,1)代入直線y＝kx＋2的方程得3k＋2＝1，得k＝－eq\f(1,3)，所以f′(3)＝k＝－eq\f(1,3)，由于點(3,1)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，則f(3)＝1，對函數(shù)g(x)＝xf(x)求導得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)－3f′(3)＝f(3)＝1，故選A．角度4求參數(shù)的值(或范圍)(2022·全國新高考卷Ⅰ)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是(－∞，－4)∪(0，＋∞).[解析]導數(shù)的幾何意義(理性思維、數(shù)學探索)因為y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.設切點為A(x0，(x0＋a)ex0)，O為坐標原點，依題意得，切線斜率kOA＝y(tǒng)′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝eq\f(x0＋aex0,x0)化簡，得xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0.因為曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，所以關于x0的方程xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0有兩個不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范圍是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．【變式訓練】1．(角度1)(2019·全國卷Ⅱ，5分)曲線y＝2sinx＋cosx在點(π，－1)處的切線方程為(C)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0[解析]依題意得y′＝2cosx－sinx，y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝π))＝(2cosx－sinx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝π))＝2cosπ－sinπ＝－2，因此所求的切線方程為y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故選C．2.(角度2)曲線y＝f(x)在點P(－1，f(－1))處的切線l如圖所示，則f′(－1)＋f(－1)＝(C)A．2 B．1C．－2 D．－1[解析]因為切線l過點(－2,0)和(0，－2)，所以f′(－1)＝eq\f(0＋2,－2－0)＝－1，所以切線l的方程為y＝－x－2，令x＝－1，則y＝－1，即f(－1)＝－1，所以f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2，故選C．3．(角度3)(2022·貴陽模擬)設函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)為奇函數(shù)，且曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線與直線x＋y＝0垂直，則切點P(x0，f(x0))的坐標為(A)A．(0,0) B．(a,1)C．(1,1) D．(－1,2)[解析]∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，f′(x)＝3x2＋1，令3xeq\o\al(2,0)＋1＝1，得x0＝0，f(x0)＝0，∴切點P(x0，f(x0))的坐標為(0,0)．選A．4．(角度4)(2023·開封市第一次模擬考試)函數(shù)f(x)＝lnx＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是(B)A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]函