2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（乙卷）數(shù)學（理科）

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(乙卷)數(shù)學(理科)

1.設全集。=｛1,2,3,4,5｝，集合加滿足令加=｛1,3｝，貝女)

A.2eA/B.3dMC.D.5^M

2.已知z=l-2i,且z+應+Z?=O,其中〃，匕為實數(shù)，貝!J()

A.a=l,b=—2B.a=—1,b=2

C.a=l,b=2D.a=—lfb=—2

3.已知向量Q,匕滿足|5|=1,|5|=百，|5一2石|=3,則無5=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人

造行星.為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛包｝?=1+工，

%

,,1,1

仇=1+-------「，4+---------i—…，依此類推，其中a-eN*(左=1,2,…).則()

a】H----a1H---------

%a2+^-

a3

A.bx<b5B.b3<bsC.b6<b2D.%<偽

5.設歹為拋物線C：V=4x的焦點，點A在C上，點3(3,0),若|AF|gBF|,則|AB|=

()

A.2B.2V2C.3D.3衣

6.執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的〃=()(?、

〔開始J

/，_________

入：。=1,6=1,「=1/

7.在正方體ABCD—中，E,尸分別為AB,8c的中點，則()

A.平面B[EF!"平面BDD[B.平面B｝EF，平面A.BD

C.平面4EE〃平面4ACD.平面耳石尸〃平面AG。

8.已知等比數(shù)列｛”“｝的前3項和為168,(Y2-<a5=42,則牝=()

A.14B.12C.6D.3

9.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點均在球。的球面上，則當該四

棱錐的體積最大時，其高為()

A-IB-I*

10.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、

丙比賽獲勝的概率分別為Pi，P2,2，且P3>>Pl>。記該棋手連勝兩盤的概率為P，

則()

A.0與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關B.該棋手在第二盤與甲比賽，0最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，0最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，0最大

11.雙曲線C的兩個焦點為"，F(xiàn)2,以C的實軸為直徑的圓記為D,過耳作。的切線與C

3

交于N兩點，且cosN427工=m，則C的圖心率為()

A±B.17D.姮

2222

12.已知函數(shù)/(九)，g(x)的定義域均為H,且/(%)+g(2-％)=5,g(%)-/(x-4)=7,

22

若丁=8。)的圖像關于直線x=2對稱，g(2)=4,則次)=()

k=\

A.-21B.-22C.-23D.-24

13.從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為.

14.過四點(0,0),(4,0),(-1,1)，(4,2)中的三點的一個圓的方程為.

15.記函數(shù)/>0)=85(0￥+0)(69>0,0<0〈萬)的最小正周期為丁，f(T)=-,X=~

29

為/(x)的零點，則co的最小值為.

16.已知犬=%和X=々分別是函數(shù)/(X)=2優(yōu)->。且。w1)的極小值點和極大值點,

若為<%，則a的取值范圍是

17.記AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知sinCsin(A—3)=sin/?sin(C—A).

(1)證明:2a2=Z?2+c2;

25

(2)若a=5,cosA=一，求AABC的周長.

31

18.如圖，四面體ABCO中A￡>，CE>,AD=CD,ZADB^ZBDC,E為AC中點.

(1)證明：平面班平面ACD;

(2)設45=5￡>=2,NACfi=60°,點F在上，當AAFC的面積最小時，求CF與平

面ABD所成角的正弦值.

19.某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積

量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：加之)和材積量(加3),

得到如下數(shù)據(jù)：

樣本數(shù)號i12345678910總和

根部橫截面積為0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量%0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計算得=0.038,￡城=1.6158,=0.2474.

i=\i=\i=l

⑴估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量：

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)(精確到0.01);

(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總

和為186機2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種

樹木的總材積量的估計值.

鼻(劭一矽做-5)

附：相關系數(shù),=J：-*,Jl.896al.377.

Jz(須一矽2XX汕一可2

-3

20.已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸，y軸，且過A(O,-2),兩點

(1)求E的方程；

(2)設過點P(l,—2)的直線交E于M,N兩點，過M且平行于x的直線與線段AB交于點T,

點〃滿足近=而，證明：直線"N過定點.

21.2知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+oveT.

⑴當a=1時，求曲線/(%)在點(0,/(O))處的切線方程：

(2)若/(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個零點，求”的取值范圍.

22.在直角坐標系xOy中，曲線C的方程為(支善為件為參數(shù)).以坐標原點為極點，

I"一

JT

x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線/的極坐標方程為夕sin(6+§)+m=0.

(1)寫出/的直角坐標方程：

(2)若/與C有公共點，求“2的取值范圍.

333

23.已知abc為正數(shù)，且。5+人”+。5=1,證明：

b+ca+ca+b*2y/abc

答案和解析

L【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了元素與集合的關系，補集的運算，屬于基礎題.

【解答】

解：因為全集。={1,2,3,4,5},2河={1,3},

所以"={2,4,5},

所以2e〃，A選項正確.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查共朝復數(shù)和復數(shù)相等，屬于基礎題.

根據(jù)題干表示彳，再出列出復數(shù)相等的等式，即可求解a,b.

【解答】

解：由題設，z—l~2i,z=l+2z,代入有a+>+l+(2a-2)i=0,

故a=1,b——2.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查向量數(shù)量積運算.

【解答】

解：由題設，|1一25|=3,得|萬F-4萬?B+4|5『=9,代入\b\=s/3,

有4G-B=4,故1-5=1

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查社會生活中的數(shù)列的比較大小，考查運算推導能力，屬于基礎題.

利用遞推關系進行大小的比較.

【解答】

L11—>—二，故4〉仇；同理可得仇<&，

解：由已知4=1H—，b=1-\------—

q2q+工

"Q]H------

a2a2

瓦>4,又因為一>-----------,故4<白，于是得>b2>b3>b4>b5>b6>by>...,排除

a2+------j-

〃3----

包

A

—>------二----，故2<僅，排除C而4>為>4，排除B.

%

CI3I???

?6

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，屬基礎題.

【解答】

解：易知拋物線C：y2=4%的焦點為尸(1,0),于是有I3戶1=2,故IA廠1=2,注意到拋物線通

徑2。=4,

通徑為拋物線最短的焦點弦，分析知AF必為半焦點弦，于是有AFLx軸，

于是有IAB|=A/22+22=272.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查程序框圖，屬于基礎題.

【解答】

A231

解：第一次循環(huán)：Z?=l+lx2=3,a—3—1—2,n—1+1—2,|——21=|(―)2—21=—>0.01

儲24

A273

第二次循環(huán)：》=3+2x2=7,a=7—2=5,〃=2+1=3,|—-2|=|(-)2-2|=—>0.01

a525

第三次循環(huán)，6=7+2x5=17,。=17—5=12,〃=3+1=4,

I—7-21=|(―)2-21=—<0.01

/'12144

故輸出〃=4

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了面面垂直的判斷，面面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.

【解答】

解：對于A選項：在正方體ABC。-A4GA中，因為EP分別為AB，BC的中點，易知

EF±BD,從而叮，平面BQ。，又因為EFu平面,所以平面耳，平面BQQ,

所以A選項正確；

對于8選項：因為平面ABDc平面BDD[=BD,由上述過程易知平面BXEF，平面

A^BD不成立；

對于C選項的直線A4t與直線BXE必相交，故平面B、EF〃面AXAC有公共

點，從而C的錯誤；

對于。選項：連接AC,做，BC,易知平面A4c〃平面AC。，

又因為平面AByC與平面B[EF有公共點B「故平面ABXC與平面BXEF

不平行，所以。選項錯誤.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查等比數(shù)列前〃項和中的基本量計算，屬于基礎題.

根據(jù)題干列出等式求得q與夕，進而求出線.

【解答】

解：設等比數(shù)列伍〃｝首項％,公比q.

,Jq+%+%=168/M(l+q+O=168k(l+^+/)=168

由題意，＜，即＜，即〈,

%-4=42城1——=42[qq(l-q)(l+q+q-)=42

解得，4=g，%=96,所以a6=ai/=3.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查圓錐體積，最值計算.

【解答】

解：考慮與四棱錐的底面形狀無關，不失一般性，假設底面是

邊長為。的正方形，底面所在圓面的半徑為廣，則廠=2。，

2

所以該四棱錐的高/z=Jl-；,所以體積

V=￥/一色,設dnWOVtVR，

4i2_，＞0,

當0<t<一,(l)單調(diào)遞增，

3

4

單調(diào)遞減，所以當f=2時,V取最大，此時/?=

3

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查相互獨立事件的概率乘法公式的計算，屬于中檔題.

根據(jù)題意計算出與，?，/，然后作差比較大小.

【解答】

解：設棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為琦，在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為

?，在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為均由題意

扁=PjP2（l—P3）+P3（l—P2）］=PlP2+P1P3-2p、p2P3,

?=［Pl（1-0）+。3（1-Pl）1=P1P2+P2P3-2Plp2P3,

舄=P31B（1-P2）+0-Pl）1=P1P3+P2P3-2Plp2P3，

所以舄一辱=-，）＞0，七一%=口（。3-P2）＞。，

所以扁最大.

11.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的性質(zhì)及直線與圓相切的性質(zhì)，屬于中檔題.

【解答】

解：由題意，點N在雙曲線右支.記切點為點A,連接AD,則跖V,\AD\^a,

又=則|刀耳|二而-a?=b.過點F］作F?B工MN交直線MN于點B,連接gN,

則鳥又點。為大耳中點，貝i||￡5|二2|ZM|=2a,|用四=2|由川=3.

344

由cosN耳N/^=M，得sinN耳NB=m，tanZFiNF2=—

所以四N|=~|金,網(wǎng)|=9|士

2sin/片N82tanZT^A^2

tk\FlN\=\FlB\+\BN\=2b+~,由雙曲線定義，|片N|—|￡N|=2a,

則2b—a=2a,即？=』，所以e=J1+與=、值?=史.(此題是否有另外一解，待官方公

a2Va-V42

布)

12.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的對稱性，周期性，屬于拔高題.

【解答】

解：若y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱，則g(2-?=g(2+x),因為

f(x)+g(2-x)=5,所以/(-%)+g(2+x)=5,故/(-%)=/(%),/(九)為偶函數(shù).由

g(2)=4，”0)+g(2)=5,得/(0)=1.由g(%)—"%—4)=7,得g(2—%)=f(-x-2)+7,

代入/(%)+g(2—JV)=5,Wf(x)+f(—x—2)=—2>/(九)關于點(—1,—1)中心對稱，所以

『(1)=/(-1)=-1.由/(%)+/(_%_2)=—2,/(-%)=/(%),得/(%)+/(%+2)=-2,所

以/(%+2)+/(九+4)=—2,故/(%+4)=/(%),/(%)周期為4.由7(0)+〃2)=—2,得

22

/(2)=—3,又/(3)=*—1)=/⑴=—1,所以￡/伏)=6〃1)+6/(2)+5/(3)+5/(4)=

k=\

11x(-1)+5x1+6x(-3)=-24.

3

13.【答案】—

10

【解析】

【分析】

本題考查了古典概型及其計算，屬于基礎題.

【解答】

解：設“甲、乙都入選”為事件A,則尸(A)=￡=3?

14.【答案】(x—2)2+(y—3)2=13或(x—+(y—I)?=5或(x—gy+(y_g)2=■^或

(一，+(一)、愛

【解析】

【分析】

本題主要考查求圓的標準方程，屬于基礎題.

圓過其中三點共有四種情況，解題關鍵是三點中的兩條中垂線的交點為圓心，圓心到任一點的距

離為半徑，每種情況逐一求解即可.

【解答】

解：設點A(O,O),5(4,0),C(-l,l),0(4,2).

(1)若圓過A、B、C三圓圓心在直線x=2,設圓心坐標為(2,a),

則4+〃=9+(a—Ifna=3,r="+q2=岳，所以圓的方程為。―2尸+(y—3了=13;

(2)若圓過A、B、。三點，同⑴設圓心坐標為(2,a),

則4+/=4+(a—2>=。=1,r="=日所以圓的方程為口―2尸+(y—1猿=5;

(3)若圓過A、C、D三點、,則線段AC的中垂線方程為y=x+l,線段AD的中垂線方程

為y=-2尤+5,聯(lián)立得,一彳"r=樽鏢=手，所以圓的方程為

4

3

(4)若圓過3、C、。三點，則線段3。的中垂線方程為y=l,

8

x——

線段8C中垂線方程為y=5%—7,聯(lián)立得45j《-4)+7

"=1

所以圓的方程(x—|)+(y—I)?=詈.

15.【答案】3

【解析】

【分析】

本題考查由余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎題.

由故)=/(。)=日求得。，再由丐)=。求得0=3+然口”即可求最小直

【解答】

解：/(T)=/(0)=cos^=—,且0<0<%，故o=工，

26

/(g)=cos(ga)+^)=0=>^co+^=^-+k兀*￡Z)=0=3+9k(kGZ),

又G>0,故g的最小值為3.

16.【答案】@1)

【解析】

【分析】

本題考查利用導數(shù)的極值求解參數(shù)，考查轉(zhuǎn)化能力與運算求解能力，屬于較難題.

求導，轉(zhuǎn)化為r(%)=2(axIna-ex)至少要有兩個零點九=玉和1=/，構(gòu)造函數(shù)九(①)=f[x｝，

分類討論，判斷單調(diào)性，進而求解范圍.

【解答】

解：ff(x)=2(優(yōu)Ina-ex)至少要有兩個零點九=不和%=%，

構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)=2(axlna-ex),對其求導，h!(x)=2a?(Ina)2-2e，

⑴若。>1,則力㈤在L上單調(diào)遞增,此時若/(%0)=0,則廣(%)在(-oo,%0)上單調(diào)遞減，

在(九0,+oo)上單調(diào)遞增，此時若有%=玉和%=%分別是函數(shù)/(%)=2優(yōu)一cd(口>。且aw1)的

極小值點和極大值點，則%>%，不符合題意，

(2)若Ovavl,則VQ)在H上單調(diào)遞減，止匕時若〃(％)=0,則/(%)在(—8,%)上單調(diào)遞增，

在+8)上單調(diào)遞減，令〃(%)=0,則*=一號，此時若有尤=%和Xu%分別是函數(shù)

(Ina)~

/(%)=2優(yōu)一分2(々>。且QW1)的極小值點和極大值點，且玉<42，則需滿足/'(%)>0，即

a

f(xo)=2(a°lna—exo)=2—的o)>0,/v,xQ]na>l,

故me=ln粉>1,所以aeQj).

17.【答案】解：(1)證明：已知sinCsin(A—3)=sin3sin(C—A)

可化簡為sinCsinAcosB—sinCeosAsinB=sinBsinCeosA—sinBcosCsinA,

由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,即accosB=2Z?ccosA-abcosC,

2,2r2>2,22?2,z22

由余弦定理可得ac-——-------=2bc--------——-——ab--------,即證2儲=加+/,

lac2bclab

,Z?2+c2-a250-252525

⑵由(1)可知k+。2=2a2=50,cosA=---------------=-------=----二——,

2bc2bc2bc31

2bc=31,b2+c2+2bc=(Z?+c)2=81,

:.b+c=9,.\a+b+c=14,AABC的周長為14.

【解析】本題考查正余弦定理，屬中檔題目.

⑴利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理角化邊，化簡得證;

(2)由余弦定理求出a+b即可得出三角形的周長.

18.【答案】解：(1).AD^CD,NADB=NBDC且BD為公共邊：.AADB與ABDC全等,

AB—BC.

又「E為AC中點且AO=CD,:.DE±AC,同理

又；DEcBE=E,且均含于平面BED,二AC_L平面5石1).

又ACu平面ACD,.?.平面BXD_L平面ACD.

(2)在AABC中，AB=2,ZACB=60°,AB=BC:.AC=2,BE=也.

在AACD中，，ADLCD,AD=CD,AC=2,E為AC中點，:.DE±AC,DEW.

又：BD=2,:.DE2+BE-=BDT,即DEL5E

r.直線AC、直線￡D、直線EB兩兩互相垂直.

由點尸在2。上且~408與4應>。全等，AF=FC,

由于E為AC中點二所，AC

當AAFC的面積最小時.?.石戶，

在RtAD￡B中，?：BE=6,DE=1:.EF^―,BF=)

22

如圖，以點￡為坐標原點，直線AC、EB、ED分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系.

3

C(-1,0,0)、A(l,0,0),5(0,73,0),￡>(0,0.1)、F(0,^-,-)

麗=(0,-8,1)、AZ)=(-1,0,1),BC=(-l,-73,0)

,CF^BF-BC^-BD-BC=(1,-,-)

444

設平面ABD的法向量為m=(x,y,z)

可得<___.設y=1.?.沅=(v3,l,V3)

AD-m=0

設而與爐所成的角為a,CF與平面AB。所成角的為。

;。lII而利詢Ir4g

4J3

所以CF與平面ABO所成角的正弦值為」.

【解析】本題考查面面垂直的判定，及線面角的求解，屬于中檔題.

19.【答案】解：（1）設這種樹木平均一棵的根部橫截面積為無，平均一棵的材積量為9,

則無=——=0.06,y=—=0.39.

10-10

￡工斯一位豆

0.2474-10x0.06x0.39

（2）r=i=1=

V0.038-10x0.06V1.6158-10x0.392

W孕-同）（『-時）

0.01340.01340.0134…

=---------------------=------------------=-----------=097?

V0.002x0.09480.01x71.8960.01377

vJaQ

(3)設從根部面積總和為X,總材積量為匕則一=二，=—xl86=1209(m3).

Yy0.6

【解析】本題考查了用樣本估計總體，樣本的相關系數(shù)，屬于中檔題.

x2v23

20.【答案】解：⑴設￡的方程為二+3=1,將A(0,-2),5(3,—1)兩點代入得

a2b22

4T

第一1尤2V2

”,解得/=3,加=4,故E的方程為一+乙=1.

91?34

■+記=1

32

⑵由A(0,—2),仇一,—1)可得直線AB:y=—x—2

23

22,f7

①若過P(l,—2)的直線的斜率不存在，直線為x=l.代入：+(=1,可得”(1,三)，

N(l-,將丁=手代入A3:y=gx—2,可得T(布+3,,由近=而,

2"

得〃(2庭+5,易求得此時直線EN：y=(2-)x-2.過點(0,—2)；

3

②若過P(l,—2)的直線的斜率存在，設依―y—(左+2)=0,河(石,乂)，N5,%)。

rkx-y-pf+2)=0

聯(lián)立,x2?「得(3k2+4)尤2_6kQ+k)x+3k(k+4)=0,

,6M2+財—8(2+拈)

護+譏+一*=鼬旗2+/4船’且石%+5=許—24左(*)

故有《34

岫(4+拈)

6*2=嫄+4加一3F+4

y=x3

聯(lián)立2，可得T(W*+3,yJ,H(3%+6-石，%),

y=—x-22

3

2

可求得此時HN:y-y2=——皂'——(x-%9)

一3乂+6-%%一

將(0,—2)代入整理得2(石+x2)-6(y；+%)+%%+%%-3yly2-12=0

將(*)式代入，得24左+12k°+96+48左一24k-48-48左+24k2-36k2-48=0,

顯然成立.

綜上，可得直線罰V過定點(。，-2).

【解析】本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，屬于較難題.

(1)根據(jù)點在橢圓上，坐標滿足橢圓方程，求出橢圓的標準方程；

(2)分類討論過點尸的直線斜率是否存在，再根據(jù)題干依次表示出T,N坐標，表示出直線方

程，判斷直線過定點即可.

21.【答案】解：(1)當。=1時，尤=0,尸(x)=2,又尤=0時，

C+1

"0)=0,

所以曲線f(x)在點(0"(0))處的切線方程為y-0=2。-0),即y=2x.

(2)令g(x)=exln(x+1)+ax(x>-1)=exf(x),有g(shù)(0)=0,

/(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個零點，也即g(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個零

點，

則g<x)=e'[ln(x+1)H——]+a,

1+x

(I)若a..—1時，則g，(x)=e*[ln(x+1)H———]+a

1+x

令3(H)=皿H+I)+K^,”㈤飛：])十口㈤分別在(—i,o)和(o,+8)單調(diào)遞減和單調(diào)遞

增，易知當x=0時，w(a?)取得最小值1,

所以,[ln(x+1)+

1+x

當%>0時,-1>0,于是g(%)在(0,+8)遞增,且(尤)><?(0)=0與(?(%)在(0,+8)上有一個

零點矛盾.

(II)若av—1時，令G(x)=g\x)貝ij

21

G'(?=產(chǎn)[ln(x+1)+------——楨=exh(x)