河南名校2024年高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析

河南名校2024年高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．1777年，法國科學(xué)家蒲豐在宴請客人時(shí)，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若，則實(shí)數(shù)a的值為()A． B．3 C． D．4．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”．如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦至少有2個(gè)陽爻的概率是（）A． B． C． D．5．已知向量，夾角為，，，則()A．2 B．4 C． D．6．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的值分別為（）A．2，0 B．2， C．2， D．2，7．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小正值是（）A． B． C． D．8．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A． B． C． D．9．已知函數(shù)，對任意的，，當(dāng)時(shí)，，則下列判斷正確的是（）A． B．函數(shù)在上遞增C．函數(shù)的一條對稱軸是 D．函數(shù)的一個(gè)對稱中心是10．一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線的右支上，且其中一個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線的右頂點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象()A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度12．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲，乙兩隊(duì)參加關(guān)于“一帶一路”知識競賽，甲隊(duì)有編號為1，2，3的三名運(yùn)動員，乙隊(duì)有編號為1，2，3，4的四名運(yùn)動員，若兩隊(duì)各出一名隊(duì)員進(jìn)行比賽，則出場的兩名運(yùn)動員編號相同的概率為______.14．在長方體中，，，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是______.15．連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為____．16．已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為C上一點(diǎn)，PQ垂直l于點(diǎn)Q，M，N分別為PQ，PF的中點(diǎn)，MN與x軸相交于點(diǎn)R，若∠NRF=60°，則|FR|等于_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對應(yīng)的一個(gè)特征向量.18．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，，求的值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線上是否存在不同的兩點(diǎn)，（以上兩點(diǎn)坐標(biāo)均為極坐標(biāo)，，），使點(diǎn)、到的距離都為3？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線、的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線，分別交于、兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），定點(diǎn)，求的面積21．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過上一點(diǎn)（）作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別與交于，兩點(diǎn)，（1）證明：直線的斜率是－1；（2）若，，成等比數(shù)列，求直線的方程.22．（10分）在極坐標(biāo)系中，曲線的方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo)，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與交于，兩點(diǎn)．（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）設(shè)點(diǎn)；若、、成等比數(shù)列，求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

畫出可行域，根據(jù)可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，，三點(diǎn)所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，顯然原點(diǎn)到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值，此時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值，此時(shí).所以的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查線性規(guī)劃，兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識.2、D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計(jì)概率.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查利用頻率估計(jì)概率，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)題意，求得函數(shù)周期，利用周期性和函數(shù)值，即可求得.【詳解】由已知可知，，所以函數(shù)是一個(gè)以4為周期的周期函數(shù)，所以，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期的求解，涉及對數(shù)運(yùn)算，屬綜合基礎(chǔ)題.4、C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個(gè)陽爻的概率,再根據(jù)兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個(gè)陽爻”為事件.所有“重卦”共有種；“該重卦至少有2個(gè)陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個(gè)陽爻”,其中,沒有陽爻（即6個(gè)全部是陰爻）的情況有1種,只有1個(gè)陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個(gè)陽爻的概率是.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)模長計(jì)算公式和數(shù)量積運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由于，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，模長的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期，根據(jù)周期公式求出，求出，根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求出，即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查的是的圖像的運(yùn)用，在解答此類題目時(shí)一定要挖掘圖像中的條件，計(jì)算三角函數(shù)的周期、最值，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求出結(jié)果7、D【解析】

由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式，再利用誘導(dǎo)公式得到關(guān)于的方程，對賦值即可求解.【詳解】由題意知，函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后的解析式為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，有最小正值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握誘導(dǎo)公式和正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.8、A【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：其中，底面為直角三角形，，，高為.∴該幾何體的體積為故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡，然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期，從而得到，即可求出解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】，又，即，有且僅有滿足條件；又，則，，函數(shù)，對于A，，故A錯(cuò)誤；對于B，由，解得，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對于D，由，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

因?yàn)殡p曲線分左右支，所以，根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線可解得．【詳解】因?yàn)殡p曲線分左右支，所以，根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線方程得：，即，由得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．11、A【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像平移原則，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故要得到，只需將向左平移個(gè)單位長度.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化，屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入化簡可得.∴解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

出場運(yùn)動員編號相同的事件顯然有3種，計(jì)算出總的基本事件數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式求得答案.【詳解】甲隊(duì)有編號為1，2，3的三名運(yùn)動員，乙隊(duì)有編號為1，2，3，4的四名運(yùn)動員，出場的兩名運(yùn)動員編號相同的事件數(shù)為3，出現(xiàn)的基本事件總數(shù)，則出場的兩名運(yùn)動員編號相同的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求古典概率的概率問題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離【詳解】由題在長方體中，，，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，解得故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求點(diǎn)到平面的距離，通過在三棱錐中利用等體積法求解，關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點(diǎn).15、【解析】總事件數(shù)為，目標(biāo)事件：當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6，具體事件有，共8種；當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6，則第二顆骰子隨便都可以，則有種；所以目標(biāo)事件共20中，所以。16、2【解析】

由題意知：，，，.由∠NRF=60°，可得為等邊三角形，MF⊥PQ，可得F為HR的中點(diǎn)，即求.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，連接MF，QF.∵拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為C上一點(diǎn)∴，.∵M(jìn)，N分別為PQ，PF的中點(diǎn)，∴，∵PQ垂直l于點(diǎn)Q，∴PQ//OR，∵，∠NRF=60°，∴為等邊三角形，∴MF⊥PQ，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，∴F為HR的中點(diǎn)，∴，故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、另一個(gè)特征值為，對應(yīng)的一個(gè)特征向量【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3，可得，再回代到方程即可解出另一個(gè)特征值為，最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對應(yīng)的一個(gè)特征向量.【詳解】矩陣的特征多項(xiàng)式為：，是方程的一個(gè)根，，解得，即方程即，，可得另一個(gè)特征值為：，設(shè)對應(yīng)的一個(gè)特征向量為：則由，得得，令，則，所以矩陣另一個(gè)特征值為，對應(yīng)的一個(gè)特征向量【點(diǎn)睛】本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項(xiàng)式的計(jì)算形式，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）20【解析】

（1）利用即可得到答案；（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義，.【詳解】解：（1）由，得圓C的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得，即，設(shè)兩交點(diǎn)A，B所對應(yīng)的參數(shù)分別為，，從而，則.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.19、（1），（2）存在，【解析】

（1）先求得曲線的普通方程，利用伸縮變換的知識求得曲線的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式，求得直線的直角坐標(biāo)方程.（2）求得曲線的圓心和半徑，計(jì)算出圓心到直線的距離，結(jié)合圖像判斷出存在符合題意，并求得的值.【詳解】（1）曲線的普通方程為，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到曲線的直角坐標(biāo)方程為，其極坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線是以為圓心，為半徑的圓，圓心到直線的距離.∴由圖像可知，存在這樣的點(diǎn)，，則，且點(diǎn)到直線的距離，∴，∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查坐標(biāo)變換，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程化為普通方程，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.20、（1），；（2）.【解析】

（1）先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）先利用極坐標(biāo)求出弦長，再求高，最后求的面積．【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為：，因?yàn)榍€的普通方程為：，曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）由（1）得：點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，點(diǎn)到射線的距離為的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化，同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21、（1）見解析；（2）【解析】

（1）設(shè)，，由已知，得，代