函數(shù)的基本性質(zhì)講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

課題：函數(shù)的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性（一）、單調(diào)性1．定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）.2．如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.3．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟:利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：（1）任取x1，x2D，且x1<x2；（2）作差f(x1)－f(x2)；（3）變形（通常是因式分解和配方）；（4）定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；（5）下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）.4．最大值和最小值定義：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的xI，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；（2）存在x0I，使得f(x0)＝M．那么，我們稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大(小)值．幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的最大(小)值是其圖象上最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo).【要點(diǎn)詮釋】1．函數(shù)單調(diào)性中：（1）函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；（2）必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)<f(x2)（3）對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f(x0)、在公共定義域內(nèi)時(shí)有：①增函數(shù)增函數(shù)，新函數(shù)是增函數(shù)；②減函數(shù)減函數(shù)，新函數(shù)是減函數(shù)；③增函數(shù)減函數(shù)，新函數(shù)是增函數(shù)；④減函數(shù)增函數(shù)，新函數(shù)是減函數(shù).2．最值：函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值，則函數(shù)y＝f(x)的最值是圖象上最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)．【典型例題】【例1】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，0)和(0，＋∞)D．(－∞，0)(0，＋∞)【例2】函數(shù)f(x)(－2≤x≤2)的圖象如圖所示，則函數(shù)的最大值，最小值分別為()f(2)，f(－2)B．f，f(－1)C．f，D．f，f(0)【例3】求函數(shù)y＝x＋，x＞0的單調(diào)區(qū)間．【舉一反三】1．下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,2）上為增函數(shù)的是（）A．B．C．D．2．判斷并證明函數(shù)f(x)＝＋1在(0，＋∞)上的單調(diào)性.3．已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，yR，總有（1）求證：f(x)是R上的減函數(shù)；（2）求f(x)在上的最大值和最小值.知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)的奇偶性（一）、奇偶函數(shù)1．定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。（如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性。如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)）.2．利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：（1）首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；（3）作出相應(yīng)結(jié)論：①若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；②若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù).3．性質(zhì)：（1）圖象的對(duì)稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱；（2）設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：【奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇】【要點(diǎn)詮釋】1．函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；2．由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）.【典型例題】【例1】已知函數(shù)=，那么是()A．奇函數(shù)而非偶函數(shù)B．偶函數(shù)而非奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)【例2】若是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí),，則的解集是（）A．B．C．D．【例3】已知，其中為常數(shù)，試判斷f(x)的奇偶性并加以證明．【例4】已知函數(shù)在R是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，求的解析式.【舉一反三】1．奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象必定經(jīng)過點(diǎn)()A．(a，f(－a))B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a))D．2．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．33．設(shè)f(x)是定義在R上的一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)4．若函數(shù)為奇函數(shù)，則a＝()A．B．C．D．15．函數(shù)f(x)，xR，若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求證：f(x)為奇函數(shù).【課堂鞏固】1．下列函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)的是()①y＝2x②y＝x2＋2x－1③y＝|x＋2|④y＝|x|＋2A．①②B．①③C．②③④D．①②③④2．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2在[－5,5]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－5]B．[5，＋∞)C．[－5,5]D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)3．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5,5]上是偶函數(shù)，在區(qū)間[0,5]上是單調(diào)函數(shù)，且f(3)＜f(1)，則()A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(－1)C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＜f(－5)4．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)為奇函數(shù)，，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，則f(5)等于()A．0B．1C．D．55．已知函數(shù)f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，且f(x)的最小值為f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.6．已知函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋2在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，則a＝________，b＝________.7．利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù).【課后練習(xí)】正確率：1．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．2．下列函數(shù)中，在(0，2)上為增函數(shù)的是()A．y=3x+1B．y=|x+2|C．y=D．y=x24x+33．已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，x＞0時(shí)，f(x)＝1，則f(－2)＝()A．0B．1C．－1D．±14．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(2)＝0，則使得f(x)＜0的x的取值范圍是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)5．函數(shù)y=的遞增區(qū)間是()A．(∞，2)B．[5，2]C．[2，1]D．[1，+∞)6．已知函數(shù)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且，求函數(shù)f(x)的解析式．7．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，恒有