2020-2021學(xué)年鄂東南新高考聯(lián)盟高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年鄂東南新高考聯(lián)盟高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.設(shè)集合2={-2,—1,0,123,4,5},B={-2,0,1,2},則2C8=（）

A.{1,2}B.{-2,1,2}C.{0,1}D.{-2,0,1,2）

2.已知￡￡竺竺=2,則cos?。+s譏a?cosa的值是（）

cosa-sma

A.-|B.C.ID.I

3.八x）=’+a"x，（x>0,0<a<e）,則丫=/，。力的零點有（）

（cos%,（x<0）

A.0個B.1個C.2個D.無窮多個

71

4.命題p：--<a<1,命題q：/（%）=2、一嚏+Q在（1,2）上有零點，則p是]的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11

5.設(shè)％,yER,a>1,b>1,若a%=9=3,a+2b=6五,則嚏+亍的最大值是（）

A.；B.1C.|D.2

22

6,將函數(shù)叵|的圖象上所有的點向左平移0個單位，再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原

來的0倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象的函數(shù)解析式是（）

A.0B.□C.0D.0

7.若neZ,在①sin（mr+g）,②sin（2rar土g）,③sin[wr+（—1）其勺],④cos[2rar+（—1尸口中，

3336

與sin相等的是（）

A.①和②B.③和④C.①和④D.②和③

8,若對Vxe[1,2],使得/一aW0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.a>4B.a>1C.a>4D.a>1

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9,與2020。終邊相同的角是（）

A.-220°B,-140°C.140°D.220°

10.函數(shù)/（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/（x）=e~x（x-1）,下列結(jié)論正確的有（）

A.當(dāng)%<0時，/(%)=ex(x+1)

B.函數(shù)/(%)有且僅有2個零點

C.若zn<e~2,則方程/(%)=m在久>0上有解

D.V%i，外ER，|/(%2)一V2恒成立

11.已知函數(shù)f(%)=sinajx(sinajx+V3coso)x)(o)>0)的最小正周期為兀，則下列結(jié)論中正確的是

()

A./(%)</《)對一切16R恒成立

B.f(x)在區(qū)間(-弟-專上不單調(diào)

C.f(x)在區(qū)間上恰有1個零點

D.將函數(shù)/Q)的圖像向左平移看個單位長度，所得圖像關(guān)于原點對稱

12.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且存在零點的是()

32

A.y=x+xB.y=log2xC.y=2x—3D.y=x\x\

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.點P是圓，+丫2+2%-3=0上任意一點，則點P在第一象限的概率為.

14.設(shè)正數(shù)a,b滿足：a+4b=2,貝壯+￡的最小值為.

15.若函數(shù)/(2x+1)=6x+2,則函數(shù)/(x)=.

16.設(shè)函數(shù)y=f(%)是奇函數(shù)，若丁一2)+3(-1)-3=/(1)+/(2)+3,則/⑴+〃2)=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知p：一點：#熬事,普密箜顏，q：d-宴：牛1-瀛三順沏::*順.

(1)若p是q充分不必要條件，求實數(shù)雕的取值范圍；

(2)若“非p”是“非q”的充分不必要條件，求實數(shù)蹴的取值范圍.

18.如圖所示，在平面四邊形28CD中，AB=4,AD=2,/.DAB=60°,/.BCD=120°.

(1)當(dāng)BC=C。時，求ABC。的面積；

(2)設(shè)NCBD=。，記四邊形4BCD的周長為/(。)，求f(0)的方程，并

求出它的最大值.

B

19.已知函數(shù)ft礴=需一口.

(/)若，1鏟i=&,求需的值；

*lSft

(〃)若副砌I書喊整蟬?對于曲電44恒成立，求實數(shù)微的取值范圍.[

20.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x-》將/㈤的圖像向左平移嗎＜t＜兀)個單位長度，得到函數(shù)g(%)的

圖像.

(I)若9(%)的圖像關(guān)于點(一，0)對稱，求函數(shù)9(%)的解析式；

(n)在(I)的條件下，當(dāng)xe[—力時，求不等式g(x)〈遮的解集.

21.若方程％+y-6dx+y+3m=0表示兩條直線,求m的取值范圍，若僅表示一條直線，求根的

范圍.

22.已知函數(shù)/(%)=/+4%+3

(1)若g(%)=f(x)+ex為偶函數(shù)，求c

(2)利用單調(diào)性定義證明：函數(shù)/(%)在區(qū)間[-2,+8)上是增函數(shù).

參考答案及解析

L答案：D

解析：解：集合4={-2,—1,0,123,4,5},

B={-2,0,1,2},

?*AC\B={-2,0,1,2},

故選：D.

利用交集定義直接求解.

本題考查并集的求法，考查并集定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.答案：D

解析：解：由題意,cosa+sina

cosa-sina

???tana=-

a+sinacosa

由cos2a+sina?cosa=同時除以COS??

cos2a+sin2a

1+tana

得：cos2a+sina-cosa=

l+tan2ai+-

故選：D.

利用弦化切的思想，cosa+sina_2,可得：^+tana—2,求出汝九仇，由cos2q+sina?cosa=

cosa-sina1-tana

吟陋等同時除以cos2a,即可求解.

cos2a+sin2a

本題主要考察了同角三角函數(shù)關(guān)系式和萬能公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查.

3.答案：A

解析：解：當(dāng)％>0時，求導(dǎo)可得/(%)=：+am=在％[時有最小值，/(^)=a+aln\

又0<aVe,ln5>ln§=-1,所以/(*>0,即％>0時，/(%)>0,y=/[/(%)]>0,沒有零點.

當(dāng)％<0時，cosx6[—1,1],若cosx>0,則y=/[/(%)]>0,

若cos%G[-1,0],則同樣可得y=/[/(%)]>0,函數(shù)沒有零點.

故選：A.

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在％>0時的最小值，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，然后判斷％<0時，

函數(shù)的零點的個數(shù)，推出結(jié)果即可.

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，考查計算能力.

4.答案:B

解析：解：命題q：/(x)=2久—；+a在(1,2)上有零點，.??a=《—2*e1).

7

又命題p：―-<a<1,

則p是q的必要不充分條件.

故選：B.

命題q：/0)=2久—；+a在(1,2)上有零點，化為a=(—2,利用單調(diào)性可得其取值范圍，即可判

斷出關(guān)系.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中

檔題.

5.答案：D

解析：

1-1

本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查對數(shù)運(yùn)算，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，正確表示^+亍是關(guān)鍵.

1111

由產(chǎn)=?=3,求出x,y,進(jìn)而可表示i+亍，再利用基本不等式，即可求或+亍的最大值.

xy

解：；a>1,b>1,a=b=3,?.x=loga3,y=log63,

???=Iog3a,=log3b,

11

?1--+-=loga+logb=\ogab,

xy333

???a+2b=6V2>2,2ab,

??.ab<9(當(dāng)且僅當(dāng)Q=2b時，取等號)，

??，+；Wlog39=2,

即$+2的最大值為2；

xy

故選：D.

6.答案：D

解析：試題分析：將函數(shù)□的圖象上所有的點向左平移s個單位，得到□的圖像，再把所

得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的S倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的圖象的函數(shù)解析式是0

考點：三角函數(shù)伸縮平移變換

7.答案：B

解析：解：①sinQur+§=土sing=土產(chǎn),

@sin(2n7ri~)=±sin|=±苧；

@sin[n7r+(-1)"^)]=sin^=y

COS[2HTT+(―l)n^]=cos：=y-

所以③④滿足題意,

故選B

分別求出①②③④四個表達(dá)式的值，等于日的即可滿足要求.

本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡求值，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計算能力,常考題型.

8.答案：A

解析:

本題考查了不等式恒成立問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).構(gòu)造函數(shù)〃切=尤2a,則已知可化為

進(jìn)而解得實數(shù)a的取值范圍.

J—U

解：令=—

若Vxe[1,2]使得一aW0恒成立,

則7(1)<o

了(2)〈0'

即｛;二:北

解得a>4,

故選A.

9.答案：BD

解析:

本題考查終邊相同角的概念，是基礎(chǔ)題.

直接由2020。=5x360°+220°,2020°=6x3600-140。得答案.

解:???2020°=6X360°-140°,2020°=5X360°+220°,

.?.與2020。終邊相同的是一140?；?20。.

故選：BD.

10.答案：AD

解析：解：當(dāng)x>0時，f(x)=e~x(x-1),f'(x)=

—e~x(x—1)+e~x=e-x(2—x),

可得0<x<2時，f(x)>0,f(x)遞增，x>2時，

f'(x)<0,/(x)遞減，可得x=2處/(%)取得極大值e-2

x-?+oo,/(x)r0,畫出y=f(x)在x>0的圖象，

由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，可得/Q)在x<0的圖

象，且f(0)=0,

可得y=/(%)在R上的圖象.

當(dāng)x<0時，—x>0,/(%)=—/(—%)=—ex(—%—1)=ex(x+1),故A正確；

由圖象可得/(%)與x軸有三個交點，故3錯誤；

由x>0時，可得/(%)G(-1,e-2],可得方程/(x)=m在％>0上有解，則一1<mWe-2,故C錯誤;

由圖象可知，/(x)G(-1,1),貝！)上K1，小€凡|/(x2)-/(xi)|<1-(-1)=2,故。正確.

故選：AD.

求得x>0時，/(%)的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)性和極值，畫出％>0的圖象，由奇函數(shù)的特點作出y=/(x)在

R上的圖象，由x<0,-x>0,運(yùn)用奇函數(shù)的定義可得％<0時/(%)的解析式，可判斷4由圖象與

x軸的交點個數(shù)可判斷B；由x<0時/Q)的范圍，可判斷C；由/Xx)的值域可判斷D.

本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是奇偶性和單調(diào)性、對稱性的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能

力，屬于中檔題.

11.答案：AB

解析：解：,函數(shù)/(%)=si?i3x(s譏3X+V^cosax)=+4sin23x=sin(2<i)x—2)+(

的最小正周期為箸=n,.>,a)=l,/(%)=sin(2x-7)+7-

zCi)oZ

令x=5,求得/(%)=I為最大值，故有/Xx)對一切xeR恒成立，故A正確;

在區(qū)間(一弟―勺上，2x—e(一兀,—》函數(shù)/(%)沒有單調(diào)性，故8正確；

在區(qū)間《當(dāng)上，2萬—江弓,詈)，函數(shù)f(x)有2個零點,故C錯誤；

將函數(shù)/(X)的圖像向左平移專個單位長度，所得了=5也(2%+%)+》的圖像關(guān)于不原點對稱，故。錯

誤，

故選：AB.

由題意利用三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式，再利用整弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查三角恒等變換，整弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

12.答案：AD

解析：

本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，涉及函數(shù)零點的定義，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性和是否存在零點，綜合可得答案.

解：根據(jù)題意，依次分析選項，

4中，y==x3+x,其定義域為R,有/(-%)=-/Q),是奇函數(shù)，且存在零點0,符合題意；

B中，y=log2x,是對數(shù)函數(shù)，是非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

C中，y=2/—3,是二次函數(shù)，是偶函數(shù)，不符合題意；

。中，y==x|x|,其定義域為R,有g(shù)(-x)=-g(x),是奇函數(shù)，且存在零點0,符合題意.

故選：AD.

13.答案：

O

解析:

本題考查幾何概型，解題的關(guān)鍵是求解圓在第一象限的部分的弧長，屬于基礎(chǔ)題.

求出圓在第一象限的部分的弧長和圓的周長，利用幾何概型的公式即可求解概率.

解：如圖：圓/+y2+2%_3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程(久+I)2+y2=4,

圓心為人(一1,0)，半徑為2,

由圖易知AABC為等邊二角形，

則圓在第一象限部分的弧長為：gx2,

圓的周長為：4兀，

27r

所以圓上的任意一點P在第一象限的概率為：i=l

47r6

故答案為：

6

9

弟

省-

4.2

解析：解：??,正數(shù)Q,揖兩足a+4b=2,

11111

.■,-+-=-(?+4^(-+-)

=-5+竺+2)2氣5+2巴)=2，

2、ab，2、7aM2

當(dāng)且僅當(dāng)竺=W即a=:且6=孑寸取等號,

ab33

???所求的最小值為:

故答案為：I

由題意可得工+J=;(a+4h)(i+b=;(5+-+^),由基本不等式可得.

ab2'八ab，2'ab，

本題考查基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題.

15.答案：3x—1

解析：解：/(2x+1)=6%+2=3(2*+1)-1；

/(x)=3x—1.

故答案為：3%—1.

可將/(2x+1)=6x+2變成/(2x+1)=3(2%+1)-1,從而便可得到/(x)=3x—1.

考查函數(shù)解析式的概念，已知丹以切］解析式求fO)的解析式的方法，本題還可換元法求解.

16.答案：—3

解析：

本題主要考查用奇偶性來求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

先由函數(shù)y=/Q)是奇函數(shù),求得/(—2)=—“2),/(-I)=—/(I)代入/(—2)+/(—1)-3=先1)+

/(2)+3求解.

解：?函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)，

??.C),/(-1)=-/⑴，

又2)+/(-l)-3=/(l)+/(2)+3,

所以—/(2)-/(l)-3=/(l)+/(2)+3,

可解得f(l)+f(2)=-3,

故答案為：-3.

17.答案：(1)雕復(fù)額(2)御吱黑工獸

解析：試題分析：結(jié)合不等式的解法，先求出那，町成立的等價條件，利用那是敏的充分不必要條

件即可求解潞的取值范圍.

試題解析：承：翻：1-懶W察三X#微

(1)???泮是薯的充分不必要條件，

IK槽

???|：-軍喇是耦砌的真子集.二.，卜T建-X二

???實數(shù)蹴的取值范圍為.更矍

(2)???“7”是“W”的充分不必要條件，

???薯是部的充分不必要條件.

?誦

二」：1—颼更―鬣二酮潞蟄.實數(shù)雕的取值范圍為峋v

?口小；蹦三力虬

v?

考點：充分必要條件.

18.答案：解：(1)在A4BD中，AB=4,AD=2,ADAB=60°,

由余弦定理可得BD=^22+42-2X2X4X|=2A/3,

在ABCD中,乙BCD=120°,

.??當(dāng)BC=CD時，ZBDC=30°,

BDsinSOP2通

???由正弦定理可得BC=F20g

BCO的面積S=-xBCxCDxsinZ-BCD

=-x2x2x—=V3;

(2)在ABC。中，由正弦定理可得一不—而——1,

siwsin(W)一")sml2(>

解得DC=4sin6,BC=4s譏(60°-。)，

f(9)=AB+AD+BC+CD

=6+4sin6+4sin(60°—0)

=4sin9+2百cos。—2sin9+6

=4sin(0+60°)+6,

0°<0<60°,

???當(dāng)且僅當(dāng)。=30。時，sin(0+60。)有最大值1,

???/(。)的最大值為：10.

解析：本題考查了函數(shù)y=4s出(3X+R)的圖象與性質(zhì)，兩角和與差的三角函數(shù)公式，輔助角公式，

正余弦定理在解三角形計算中的綜合應(yīng)用和三角形面積公式，屬于中檔題.

(1)在AaBD中，由余弦定理可得BD,在△BCD中由正弦定理可得8C,由面積公式可得ABCD的面

積；

(2)在△BCD中，由正弦定理可得名—~市.叱、1,可得DC=4s譏。，BC=

siitdsin(W>-0)snil20

4sin(60°-0),利用兩角差的正弦函數(shù)公式和輔助角公式得/(6)=4sm(9+60°)+6,再利用函數(shù)

y=Asin(a)x+p)的最值可得/'(0)的最大值為10.

19.答案：(I)客=酗覲if。#陰］j.(口)-S.

解析：試題分析：(I)首先將原式化為保新_公蜜『一雙=:副.利用換元法解出警，，然后得到

■或：=1睡域R￥JSj；

(n)利用轉(zhuǎn)化化歸思想，將軟律i普邂H常理倒恒成立，轉(zhuǎn)化成渝柒)蕨唐-4M勵恒成立，

根據(jù)窗-工>?,得到曉書：i#嬲.蚓恒成立，通過分離參數(shù)得到微空T；鏟帶孽，只需，:摘畋-翁書霞］L，，

轉(zhuǎn)化成求二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題.

試題解析：(I)vf，二穴!*)=*，2分

由條件可知蜜一上，=雪，即皆急■1_騫蜜,-n=fl-

解得蟹'=n土點.

因為蜜飛通，二蜜'=工￥、區(qū)，

■1=啟摞Jn,十抵|6分

（口）因為蕾到一，所以宣蝌=譚-'：,.頻爛）=薩-^.

嫉1譚[|書哪1筒i曜?恒成立，即3柒-:書哪；起-'-|逆（聊恒成立，

""與‘盤./?'K,就￡

/d卡%]

即：蕾一」|譚帶工書前凹頌.又源歸苕刈，所以窗一’-器⑩，

k獻(xiàn)％"L1嘉

所以曉書：1#嬲河斛恒成立，即微逆-:箴^普小恒成立?9分

又旌4藁，，蹴網(wǎng)[T評書期二，即溷更T.12分

考點：1.指數(shù)方程；2.二次函數(shù)的性質(zhì)；3.“分離參數(shù)法”.

20.答案：解：（I）將函數(shù)/Q）=2s譏（2%—9的圖像向左平移[（三<t<兀）個單位長度，

得到函數(shù)9（嗎=2s加（2x+2t—9的圖像，

若g（x）的圖像關(guān)于點（一?0）對稱，則2x（—》+2t—g=/OT,keZ,

即1=處+巴，令k=l,可得t=