廣東省六校重點中學2024屆高三最后一模數(shù)學試題含解析

廣東省六校重點中學2024屆高三最后一模數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設i為虛數(shù)單位，若復數(shù)，則復數(shù)z等于()A． B． C． D．02．設集合，集合，則=（）A． B． C． D．R3．已知.給出下列判斷：①若，且，則；②存在使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關于軸對稱；③若在上恰有7個零點，則的取值范圍為；④若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.其中，判斷正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．在平面直角坐標系中，已知點，，若動點滿足，則的取值范圍是（）A． B．C． D．5．我國宋代數(shù)學家秦九韶（1202-1261）在《數(shù)書九章》（1247）一書中提出“三斜求積術”，即：以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.其實質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長，，求三角形面積，即.若的面積，，，則等于（）A． B． C．或 D．或6．如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是（）A．該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B．與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長C．該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個D．去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元7．中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是A． B． C． D．8．設分別為的三邊的中點，則（）A． B． C． D．9．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點，在橢圓上，其中，，若，，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B．C． D．10．已知i為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．11．若，則的虛部是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若方程恰有兩個不同實根，則正數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________.14．函數(shù)過定點________.15．“六藝”源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”．某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為________．16．已知，那么______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且曲線的左焦點在直線上.（Ⅰ）求的極坐標方程和曲線的參數(shù)方程；（Ⅱ）求曲線的內(nèi)接矩形的周長的最大值.18．（12分）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且、、成等比數(shù)列，.設數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）令，證明：.19．（12分）設，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知某種細菌的適宜生長溫度為12℃~27℃，為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量（單位：個）隨溫度（單位：℃）變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：溫度/℃14161820222426繁殖數(shù)量/個2530385066120218對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如表所示：20784.11123.8159020.5其中，.（1）請繪出關于的散點圖，并根據(jù)散點圖判斷與哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量關于溫度的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表格數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程（結果精確到0.1）；（3）當溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預報值為多少？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計分別為，，參考數(shù)據(jù)：.21．（12分）已知數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為，，求數(shù)列的前n項和．22．（10分）設，，其中．（1）當時，求的值；（2）對，證明：恒為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)復數(shù)除法的運算法則，即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)運算，屬于基礎題.2、D【解析】試題分析：由題，，，選D考點：集合的運算3、B【解析】

對函數(shù)化簡可得，進而結合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點、對稱性及平移變換，對四個命題逐個分析，可選出答案.【詳解】因為，所以周期.對于①，因為，所以，即，故①錯誤；對于②，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為，其圖象關于軸對稱，則，解得，故對任意整數(shù)，，所以②錯誤；對于③，令，可得，則，因為，所以在上第1個零點，且，所以第7個零點，若存在第8個零點，則，所以，即，解得，故③正確；對于④，因為，且，所以，解得，又，所以，故④正確.故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點、對稱性，考查學生的計算求解能力與推理能力，屬于中檔題.4、D【解析】

設出的坐標為，依據(jù)題目條件，求出點的軌跡方程，寫出點的參數(shù)方程，則，根據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍，可求得結果.【詳解】設，則∵，∴∴∴為點的軌跡方程∴點的參數(shù)方程為（為參數(shù)）則由向量的坐標表達式有：又∵∴故選：D【點睛】考查學生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的能力，熟練掌握代數(shù)式轉換，能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積，屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有：①直接法；②定義法；③相關點法；④參數(shù)法；⑤待定系數(shù)法5、C【解析】

將，，，代入，解得，再分類討論，利用余弦弦定理求，再用平方關系求解.【詳解】已知，，，代入，得，即，解得，當時，由余弦弦定理得：，.當時，由余弦弦定理得：，.故選：C【點睛】本題主要考查余弦定理和平方關系，還考查了對數(shù)學史的理解能力，屬于基礎題.6、D【解析】

根據(jù)折線圖、柱形圖的性質(zhì)，對選項逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項均正確，該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個.故C項正確；.故D項不正確.故選：D.【點睛】本題考查折線圖、柱形圖的識別，考查學生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.7、A【解析】

詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進去的，即俯視圖中應有一不可見的長方形，且俯視圖應為對稱圖形故俯視圖為故選A.點睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學生的空間想象能力，屬于基礎題。8、B【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關系如下圖所示:,故選:B【點睛】本題考查了向量加法的線性運算,屬于基礎題.9、C【解析】

根據(jù)可得四邊形為矩形,設,,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設,,由,,知,因為,在橢圓上,,所以四邊形為矩形,；由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選：C【點睛】本題主要考查了橢圓的定義運用以及構造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.10、A【解析】

根據(jù)復數(shù)乘除運算法則，即可求解.【詳解】.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)運算，屬于基礎題題.11、D【解析】

通過復數(shù)的乘除運算法則化簡求解復數(shù)為：的形式，即可得到復數(shù)的虛部.【詳解】由題可知，所以的虛部是1.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的基本概念，屬于基礎題.12、D【解析】

當時，函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個不同實根，即函數(shù)和有圖像兩個交點，計算，，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當時，，故函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：方程，即，即函數(shù)和有兩個交點.，，故，，，，.根據(jù)圖像知：.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，結合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，如圖所示：結合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積為.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求簡單組合體的體積應用問題，是基礎題．14、【解析】

令，，與參數(shù)無關，即可得到定點.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，函數(shù)值與參數(shù)無關，所有過定點.故答案為：【點睛】此題考查函數(shù)的定點問題，關鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關，熟記常見函數(shù)的定點可以節(jié)省解題時間.15、【解析】

分步排課，首先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個元素與其它兩個元素合起來全排列，同時它們內(nèi)部也全排列．【詳解】第一步：先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，有種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為．故答案為：1．【點睛】本題考查排列的應用，排列組合問題中，遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法．16、【解析】

由已知利用誘導公式可求，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系即可求解.【詳解】∵，∴，，∴.故答案為：.【點睛】本小題主要考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系式，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）曲線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))；的極坐標方程為；（Ⅱ）16.【解析】

(

I

)直接利用轉換關系，把參數(shù)方程、極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換；(

II

)利用三角函數(shù)關系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，即可求出結果.【詳解】(Ⅰ)由題意：曲線的直角坐標方程為：，所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，因為直線的直角坐標方程為：，又因曲線的左焦點為，將其代入中，得到，所以的極坐標方程為.（Ⅱ）設橢圓的內(nèi)接矩形的頂點為，，，，所以橢圓的內(nèi)接矩形的周長為：，所以當時，即時，橢圓的內(nèi)接矩形的周長取得最大值16.【點睛】本題考查了曲線的參數(shù)方程，極坐標方程與普通方程間的互化，三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，極徑的應用，考查學生的求解運算能力和轉化能力，屬于基礎題型.18、（1）,（2）證明見解析【解析】

（1）利用首項和公差構成方程組，從而求解出的通項公式；由的通項公式求解出的表達式，根據(jù)以及，求解出的通項公式；（2）利用錯位相減法求解出的前項和，根據(jù)不等關系證明即可.【詳解】（1）設首項為，公差為.由題意，得，解得，∴，∴，∴當時，∴，.當時，滿足上式.∴（2），令數(shù)列的前項和為.兩式相減得∴恒成立，得證.【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應用，難度一般.（1）當用求解的通項公式時，一定要注意驗證是否成立；（2）當一個數(shù)列符合等差乘以等比的形式，優(yōu)先考慮采用錯位相減法進行求和，同時注意對于錯位的理解.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解析】

（1），令，解不等式即可；（2），令得，即，且的最小值為，令，結合即可解決.【詳解】（1），當時，，遞增，當時，，遞減.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），，，設的根為，即有可得，，當時，，遞減，當時，，遞增.，所以，①當；②當時，設，遞增，，所以.綜上，.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問題，這里要強調(diào)一點，處理恒成立問題時，通常是構造函數(shù)，將問題轉化為函數(shù)的極值或最值來處理.20、（1）作圖見解析；更適合（2）（3）預報值為245【解析】

（1）由散點圖即可得到答案；（2）把兩邊取自然對數(shù)，得，由計算得到，再將代入可得，最終求得，即；（3）將代入中計算即可.【詳解】解：（1）繪出關于的散點圖，如圖所示：由散點圖可知，更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量關于的回歸方程類型；（2）把兩邊取自然對數(shù)，得，即，由.∴，則關于的回歸方程為；（3）當時，計算可得；即溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預報值為245.【點睛】本題考查求非線性回歸方程及其應用的問題，考查學生數(shù)據(jù)處理能力