大學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)的極限

類似于數(shù)列極限，如果在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可以無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，那么這個(gè)確定的常數(shù)就叫做函數(shù)在該變化過(guò)程中的極限。對(duì)于數(shù)列極限故很自然地函數(shù)的極限又如：當(dāng)時(shí)，，記作相似地

或定義1

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么小），總存在正數(shù)δ,使得當(dāng)x

滿足不等式0<|x－x0|<δ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式，|f(x)－A|<ε那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記作

語(yǔ)言表述當(dāng)時(shí)有則自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限1）表示時(shí)有無(wú)極限與有無(wú)定義沒(méi)有關(guān)系.2）任意給定后，才能找到，依賴于，且越小，越小.3）不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.注xOy函數(shù)極限的幾何解釋如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限為A,以任意給定一正數(shù)ε,作兩條平行于x軸的直線y=A+ε和y=A-ε,存在點(diǎn)x0的δ鄰域(x0-δ,x0+δ),當(dāng)x在鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi),但x≠x0時(shí),曲線y=f(x)上的點(diǎn)(x,f(x))都落在兩條平行線之間。證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義.例1證明要使只要取當(dāng)時(shí),就有例2證明(C為常數(shù))證要使成立,例3證明證取當(dāng)時(shí),成立,可任取一當(dāng)時(shí)要使

左極限

left-handlimit

右極限

right-handlimitx

僅從x0

的左側(cè)趨于x0

，記作或x

僅從x0

的右側(cè)趨于x0

，記作或左極限與右極限考慮符號(hào)函數(shù)現(xiàn)在考慮x從左右兩個(gè)方向趨于0時(shí)f(x)的極限右極限左極限yxo1-1從右邊趨于0從左邊趨于0

左右極限不相等證明函數(shù)極限不存在的方法是:(1)證明左極限與右極限至少有一個(gè)不存在(2)或證明左極限和右極限均存在,但不相等例題yxo

自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義.如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。?，總存在正數(shù)X，使得當(dāng)x滿足不等式|x|>X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)－A|<ε,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限即

的方式有兩種可能：（且無(wú)限增大）（且無(wú)限增大）注且若或不存在,則不存在.若,則不存在.幾何意義yxO-XX如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)極限為A，以任意給定一正數(shù)ε,作兩條平行于x軸的直線y=A-ε和y=A+ε,則總存在一個(gè)正數(shù)X，使得當(dāng)x<－X或x>X時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖形位于這兩條直線之間.yxoy=arctan

x觀察y=arctanx的圖像從圖像容易看出結(jié)果xyoy=1/x所以yxoyxo

考慮函數(shù)f(x)=ax,分a>1,,0<a<1兩種情形下，分別求

x→+∞,x→－∞，x→∞時(shí)f(x)的極限。所以，都不存在。函數(shù)極限的性質(zhì)唯一性函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在，則極限必唯一.局部有界性如果存在，則函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有界。局部保號(hào)性設(shè)（1）若（或），則，使得有（或）（2）若存在點(diǎn)的去心鄰域，使得，有（或），則推論:如果，且當(dāng)時(shí)，則，即

如果函數(shù)f(x)在某個(gè)極限過(guò)程中的極限為零，那么就稱f(x)是此極限過(guò)程的無(wú)窮?。浚o(wú)窮小舉例

無(wú)窮小是以零為極限的變量（函數(shù)），不是絕對(duì)值很小的固定數(shù)。但0可以作為無(wú)窮小的唯一一個(gè)常數(shù).都是無(wú)窮小量是無(wú)窮小量是無(wú)窮小量與與無(wú)窮小不能說(shuō)函數(shù)

f(x)是無(wú)窮小,應(yīng)該說(shuō)在什么情況下的無(wú)窮小.即無(wú)窮小與自變量的變化過(guò)程有關(guān).如時(shí)是無(wú)窮小，但時(shí)，則不是無(wú)窮小。

無(wú)窮小的性質(zhì)定理1

極限與無(wú)窮小的關(guān)系即其中兩個(gè)無(wú)窮小的和或差，仍是無(wú)窮小。有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小。有界變量與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。例如，因?yàn)樗酝?/p>

如果函數(shù)f(x)在某個(gè)極限過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值可以無(wú)限增大，那么就稱f(x)是此極限過(guò)程的無(wú)窮大（量）。

只有一種趨勢(shì)包括兩種趨勢(shì)

如無(wú)窮大觀察函數(shù)y=1/x的圖像

再考察函數(shù)y=lnx

注意：無(wú)窮大不是很大的數(shù)，而是表示函數(shù)的絕對(duì)值可以無(wú)限增大，反映函數(shù)值的一種變化趨勢(shì)。xyoy=1/xyxoy=lnx無(wú)窮小和無(wú)窮大的關(guān)系

在同一極限過(guò)程中，無(wú)窮小與無(wú)窮大之間是通過(guò)取倒數(shù)互相轉(zhuǎn)化。即在自變量的同一變化過(guò)程中，如果f(x)為無(wú)窮大，則

為無(wú)窮??；反之，如果f(x)為無(wú)窮小，且無(wú)窮小和無(wú)窮大的運(yùn)算法則

以下A表示有極限的函數(shù)，K表示有界函數(shù)，C代表常數(shù)結(jié)果不定，稱為未定式極限的四則運(yùn)算法則注：設(shè)有數(shù)列和.如果則1)2)3)當(dāng)且時(shí),例２求解這里分母的極限不為零,故小結(jié):例１求解例３求解例４求解例５求解例６求解例７求解

因式分解消除零因子有理化消除零因子消除零因子例９求解思考由題設(shè)知，分子必須是x的零次多項(xiàng)式解答由x→0

得3x→0

即u→0重要極限Ⅰ的應(yīng)用舉例重要極限Ⅰ(6)

例重要極限Ⅱ的應(yīng)用舉例公式特點(diǎn)：定義無(wú)窮小的比較