解一元二次方程（公式法）（教學(xué)設(shè)計）-九年級數(shù)學(xué)上冊同步備課系列

21.2.2解一元二次方程（公式法）教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》九年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.2.2公式法第1課時，內(nèi)容包括：利用公式法解一元二次方程。2.內(nèi)容解析公式法是在前面學(xué)的配方法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，對于任意的一元二次方程，只要將方程化為一般形式，代入一元二次方程的求根公式即可求解，它是所有一元二次方程的通用解法，它為進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次方程的簡單應(yīng)用起到鋪墊作用?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：熟練使用公式法求解一元二次方程。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）會用公式法解一元二次方程。（2）理解用根的判別式判別根的情況。（3）通過推導(dǎo)求根公式的過程，加強(qiáng)推理能力的訓(xùn)練，進(jìn)一步發(fā)展邏輯思維能力，體驗類比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想。2.目標(biāo)解析本節(jié)課我們利用配方法求解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)，經(jīng)歷推導(dǎo)的過程，使學(xué)生理解當(dāng)一元二次方程中b2－4ac的結(jié)果不同，根的情況不同。進(jìn)一步得出當(dāng)Δ≥0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0）的實(shí)數(shù)根為x=?用公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是先將方程化為一般形式，然后將a、b、c的值代入求根公式計算即可。對于一元二次方程，公式法是解法中的通法，它的推導(dǎo)建立在配方法的基礎(chǔ)上。通過配方法推導(dǎo)一元二次方程求根公式的過程，進(jìn)一步讓學(xué)生體會解一元二次方程時降次的基本策略和轉(zhuǎn)化思想。達(dá)成1）目標(biāo)的標(biāo)志是：熟練運(yùn)用公式法解一元二次方程。達(dá)成2）目標(biāo)的標(biāo)志是：利用根的判別式判別根的情況，進(jìn)而通過根的情況計算方程中未知數(shù)的值或取值范圍。達(dá)成3）目標(biāo)的標(biāo)志是：過配方法推導(dǎo)一元二次方程求根公式的過程，體會了可以把一些問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握的知識、方法來解決問題的思想方法。三、教學(xué)問題診斷分析在推導(dǎo)一元二次方程求根公式過程中，先由具體方程變成抽象的方程引導(dǎo)學(xué)生從配方法入手，注意強(qiáng)調(diào)被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)。在(x+b2a)2=b2?4ac4a2中，因為a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值需分以下三種情況進(jìn)行討論：①b2－4ac＞0②b2－4ac=0,③b2－4ac<0，從而得出當(dāng)【注意】a、b、c的值代入求根公式時易遺漏前面的符號。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：1）正確推導(dǎo)出一元二次方程的求根公式。2）理解b2－4ac對一元二次方程根的影響。四、教學(xué)過程設(shè)計（一）復(fù)習(xí)舊知，引入新課【提問】簡述通過配方法解一元二次方程的步驟。師生活動：師生共同回顧配方法解一元二次方程的步驟，從而引出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容?！驹O(shè)計意圖】先回顧配方法解一元二次方程的步驟，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)利用配方法推導(dǎo)一元二次方程求根公式做好鋪墊。（二）探究新知【問題】用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)？師生活動：學(xué)生積極思考，教師板演。根據(jù)化簡后的結(jié)果，教師需提醒學(xué)生：因為a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值需分情況討論：(x+b2a)2=b1）若b2－4ac＞0，則b2?4ac4a2方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x12）若b2－4ac=0，則b2?4ac4a方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=﹣b2a3）若b2－4ac＜0，則b2而x取任何實(shí)數(shù)都不能使x+由此可知，一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式。通常用希臘字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.[總結(jié)]由前面的推導(dǎo)過程，可知：1）若△＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實(shí)根。2）若△=0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實(shí)根。3）若△＜0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）無實(shí)根?！驹O(shè)計意圖】通過教師板演配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0的過程，學(xué)生再次鞏固配方法求解一元二次方程的方法，引導(dǎo)學(xué)生回顧已有的知識，主動參與到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來。再通過分情況討論，讓學(xué)生理解如何通過根的判別式判別根的情況的方法。通過總結(jié)環(huán)節(jié)，引起學(xué)生的探究欲望和學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。師生活動：經(jīng)過前面的推導(dǎo)過程，教師歸納與小結(jié)一元二次方程求根公式與公式法的概念：當(dāng)Δ≥0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根為x=?b±b2?解一元二次方程時，把各系數(shù)直接代入求根公式，可以省略配方過程而直接求一元二次方程根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法?！驹O(shè)計意圖】學(xué)生通過觀察配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0的過程，讓學(xué)生理解一元二次方程求根公式是如何推導(dǎo)而得出的，從而理解利用公式法求解一元二次方程的方法。（三）典例分析例11）x2-4x-7=02）2x2-22x+1=03)5x2-3x=x+14)x2+17=8x師生活動：請學(xué)生板演，然后師生共同糾錯，使學(xué)生明確自己的錯誤與薄弱環(huán)節(jié)，在后續(xù)的解題過程中做到有的放矢，對癥下藥。【設(shè)計意圖】讓學(xué)生加深對公式法求解一元二次方程方法的掌握。（四）知識歸納【提問】簡述通過公式法解一元二次方程的步驟。1）將原方程化為一般形式，確定a、b、c的值【小技巧】若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計算。2）求出b2-4ac的值，根據(jù)b2-4ac值的情況確定一元二次方程是否有解。3）如果b2-4ac≥0,將a、b、c的值代入求根公式?！疽族e點(diǎn)】a、b、c的值代入求根公式時易遺漏前面的符號。4）最后求出原方程的解。【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生歸納公式法解一元二次方程的步驟及注意事項。使學(xué)生鞏固對課堂知識的理解和掌握，同時需重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：a、b、c的值代入求根公式時易遺漏前面的符號。（五）典例分析例2一元二次方程4x2?2x?1=0A．沒有實(shí)數(shù)根 B．只有一個實(shí)數(shù)根C．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根答案：∵△＝（-2）2-4×（-1）×4＝4+16=20＞0∴一元二次方程4x故答案為D．例3求本章引言中的問題，雕像下部高度x(m)滿足方程x2+2x-4=0答案：解：用公式法解方程得x=即x如果結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，那么x1≈1.24，x2≈－3.24（舍）所以雕像下部高度應(yīng)設(shè)計為約1.24m【針對訓(xùn)練】1．x=?7±A．2x2+7x+3=0C．2x2+7x?3=02下列一元二次方程中，有兩個不相等實(shí)數(shù)根的是（）A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=03．下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（

）．A．x2?2x=0 C．3x2?5x+2=04一元二次方程mx2+mx﹣12A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．2答案：1.C2.B3.D4.C【能力提升】1.關(guān)于x的一元二次方程x2?mx+2m?4=0．（1）求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個根小于1，求m的取值范圍．[解析]1)∵a=1,b=?m,c=2m?4，∴△=∵無論m取何值時，(m?4)2（2）解：∵△=(m?4)2≥0∴x∵此方程有一個根小于1，且x2=2≥1．∴m<3．2.關(guān)于x的方程x2?2x+2m?1=0有實(shí)數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時方程的根．[解析]解：∵關(guān)于x的方程x2-2x+2m-1=0有實(shí)數(shù)根，∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，解得：m≤1，∵m為正整數(shù)，∴m=1，∴此時二次方程為：x2-2x+1=0，則（x-1）2=0，解得：x1=x2=1．師生活動：學(xué)生思考，獨(dú)立完成，教師借助多媒體展示具體求解過程?！驹O(shè)計意圖】通過配套練習(xí)，使學(xué)生加強(qiáng)對利用判別式判斷根的情況、求根公式等問題的理解和解決方法。把研究的對象從具體數(shù)字抽象到字母表示的數(shù)字，體現(xiàn)從特殊到一般，從具體到抽象的思維過程，鞏固對公式法的認(rèn)識。（五）直擊中考1．(2020臨沂市中考)一元二次方程x2?4x?8=0A．x1=?2+23，x2=?2?2C．x1=2+22，x2=2?2答案：B2．(2022成都市中考）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2?6x+4=0【詳解】解：∵一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2?6x+4=0的兩個實(shí)數(shù)根，∴由公式法解一元二次方程x2?6x+4=0可得∴根據(jù)勾股定理可得直角三角形斜邊的長是(3+5故答案為：273．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）對于實(shí)數(shù)a，b定義新運(yùn)算：a※b=ab2?b，若關(guān)于x的方程1※A．k>?14 B．k<?14 C．k>?14且k≠0 [解析]解：∵1※x=k，∴x2?x=k，即x∵關(guān)于x的方程1※x=k有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴解得：k＞?14，故【設(shè)計意圖】通過對最近幾年的中考試題的