北師大版年八年級數(shù)學(xué)下冊《同步考點(diǎn)解讀專題訓(xùn)練》專題1.1等腰三角形(知識解讀)(原卷版+解析)

專題1.1等腰三角形（知識解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解等腰三角形的概念.2.探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理.3.探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性質(zhì)證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等.4.結(jié)合等腰三角形性質(zhì)的探索與證明過程，體會(huì)軸對稱在研究幾何問題中的作用?！局R點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)1等腰三角形的概念與性質(zhì)等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．2.等腰三角形的性質(zhì)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡稱“在同一個(gè)三角形中，等邊對等角”．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．知識點(diǎn)2等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個(gè)三角形中，等角對等邊.要點(diǎn)詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆．判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個(gè)三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因?yàn)檫€未判定它是一個(gè)等腰三角形．【典例分析】【考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)】【典例1】（東莞市）一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長為（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【變式1-1】（陸川縣期末）等腰三角形有兩條邊長為5cm和9cm，則該三角形的周長是（）A．18cm B．19cm C．23cm D．19cm或23cm【變式1-2】（秋?惠安縣期末）若等腰△ABC的周長為20，AB＝8，則該等腰三角形的腰長為（）A．8 B．6 C．4 D．8或6【變式1-3】（2021?海口）等腰三角形ABC的周長為20cm，AB＝8cm，則該等腰三角形的腰長為（）A．8cm B．6cm C．4cm D．8cm或6cm【典例2】（2019秋?崇川區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若∠BEC＝76°，則∠ABC＝（）A．70° B．71° C．74° D．76°【變式2-1】（2021秋?祥云縣期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．若AD＝3，BC＝5，則△BEC的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．13【變式2-2】（2021秋?浉河區(qū)期末）如圖，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B兩點(diǎn)為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，連接MN與AC相交于點(diǎn)D，連接BD，則△BDC的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．13【典例3】（2021秋?河西區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．【變式3-1】（2019秋?銅山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝CD，點(diǎn)D在BC上，且AD＝BD．（1）求證：∠ADB＝∠BAC；（2）求∠B的度數(shù)．【典例4】（2022秋?長沙期中）如圖，一條船上午8時(shí)從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北方向航行，上午10時(shí)到達(dá)海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海島B到燈塔C的距離；（2）若這條船到達(dá)海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，問還要經(jīng)過多長時(shí)間，小船與燈塔C的距離最短？【變式4】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）上午8時(shí)，一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向北航行，11時(shí)到達(dá)海島B處，從A、B望燈塔C，測得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求從海島B到燈塔C的距離．【考點(diǎn)2等腰三角形的判定】【典例5】（2020?河北模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式5-1】（2016秋?肥城市期末）如圖，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)（）A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式5-2】（宜賓期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，則圖中等腰三角形共有（）個(gè)．A．3 B．4 C．5 D．6【典例6】（蒙陰縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C為原點(diǎn)，AC所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【變式6-1】（2021秋?西工區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，﹣3），點(diǎn)P在x軸上，且使△AOP為等腰三角形，符合題意的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式6-2】（2019秋?河?xùn)|區(qū)期末）已知在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，A、B兩點(diǎn)在格點(diǎn)上，位置如圖，點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【考點(diǎn)3：等腰三角形的判定與性質(zhì)】【典例7】（蒼溪縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．（1）△BDO是等腰三角形嗎？請說明理由．（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周長．【變式7-1】（2021秋?集賢縣期末）已知：如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F．求證：（1）△DFC是等腰三角形；（2）EF＝BE+CF．【變式7-2】（2021秋?長垣市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A＝40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．【變式7-3】（2022春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，BE＝CF．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的長．專題1.1等腰三角形（知識解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解等腰三角形的概念.2.探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理.3.探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性質(zhì)證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等.4.結(jié)合等腰三角形性質(zhì)的探索與證明過程，體會(huì)軸對稱在研究幾何問題中的作用。【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)1等腰三角形的概念與性質(zhì)等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．2.等腰三角形的性質(zhì)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡稱“在同一個(gè)三角形中，等邊對等角”．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．知識點(diǎn)2等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個(gè)三角形中，等角對等邊.要點(diǎn)詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆．判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個(gè)三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因?yàn)檫€未判定它是一個(gè)等腰三角形．【典例分析】【考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)】【典例1】（東莞市）一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長為（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【答案】A【解答】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為7時(shí)，3+3＜7不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為3時(shí)，周長為3+7+7＝17．故這個(gè)等腰三角形的周長是17．故選：A．【變式1-1】（陸川縣期末）等腰三角形有兩條邊長為5cm和9cm，則該三角形的周長是（）A．18cm B．19cm C．23cm D．19cm或23cm【答案】D【解答】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5cm，底邊長為9cm時(shí)，∵5+5＞9，9﹣5＜5，∴能夠成三角形，∴三角形的周長＝5+5+9＝19cm；當(dāng)?shù)妊切蔚难L為9cm，底邊長為5cm時(shí)，∵9+5＞9，9﹣5＜5，∴能夠成三角形，∴三角形的周長＝9+9+5＝23cm；∴該三角形的周長是19cm或23cm．故選：D．【變式1-2】（秋?惠安縣期末）若等腰△ABC的周長為20，AB＝8，則該等腰三角形的腰長為（）A．8 B．6 C．4 D．8或6【答案】D【解答】解：（1）當(dāng)AB＝8為底邊時(shí)，BC為腰，由等腰三角形的性質(zhì)，得BC＝（20﹣AB）＝6；（2）當(dāng)AB＝8為腰時(shí)，①若BC為腰，則BC＝AB＝8；②若BC為底，則BC＝20﹣2AB＝4，綜上，該等腰三角形的腰長為8或6，故選：D．【變式1-3】（2021?海口）等腰三角形ABC的周長為20cm，AB＝8cm，則該等腰三角形的腰長為（）A．8cm B．6cm C．4cm D．8cm或6cm【答案】D【解答】解：（1）當(dāng)AB＝8cm為底邊時(shí)，BC為腰，由等腰三角形的性質(zhì)，得BC＝（20﹣AB）＝6cm；（2）當(dāng)AB＝8cm為腰時(shí)，①若BC為腰，則BC＝AB＝8cm；②若BC為底，則BC＝20﹣2AB＝4cm，故選：D．【典例2】（2019秋?崇川區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若∠BEC＝76°，則∠ABC＝（）A．70° B．71° C．74° D．76°【答案】B【解答】解：∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)E，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝∠BEC＝×76°＝38°，∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝＝71°；故選：B．【變式2-1】（2021秋?祥云縣期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．若AD＝3，BC＝5，則△BEC的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】C【解答】解：∵AB的垂直平分線DE分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，∴AE＝BE，∵AD＝3，∴AB＝6，∴AE+EC＝AC＝AB＝6，∵BC＝5，∴△EBC的周長＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；故選：C．【變式2-2】（2021秋?浉河區(qū)期末）如圖，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B兩點(diǎn)為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，連接MN與AC相交于點(diǎn)D，連接BD，則△BDC的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】D【解答】解：根據(jù)作圖過程可知：MN是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴△BDC的周長＝BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC＝AB+BC＝8+5＝13．故選：D．【典例3】（2021秋?河西區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．【解答】解：設(shè)∠A＝x．∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x；∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x，∴∠DBC＝x；∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．【變式3-1】（2019秋?銅山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝CD，點(diǎn)D在BC上，且AD＝BD．（1）求證：∠ADB＝∠BAC；（2）求∠B的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD＝BD∴∠B＝∠C，∠B＝∠1，∴∠C＝∠1，∵∠ADB＝∠2+∠C，∠BAC＝∠2+∠1∴∠ADB＝∠BAC；（2）∵AC＝CD，∴∠2＝∠ADC，又∵∠ADC＝∠B+∠1，∴∠2＝2∠B，在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C＝5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【典例4】（2022秋?長沙期中）如圖，一條船上午8時(shí)從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北方向航行，上午10時(shí)到達(dá)海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海島B到燈塔C的距離；（2）若這條船到達(dá)海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，問還要經(jīng)過多長時(shí)間，小船與燈塔C的距離最短？【解答】解：（1）由題意得：AB＝15×2＝30（海里）．∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．∴∠ACB＝∠NAC．∴AB＝BC＝30（海里）．∴從海島B到燈塔C的距離為30海里．（2）如圖，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P．∴根據(jù)垂線段最短，線段CP的長為小船與燈塔C的最短距離，∠BPC＝90°．又∵∠NBC＝60°，∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，∴（海里），∴AP＝AB+BP＝30+15＝45（海里）．∴航行的時(shí)間為45÷15＝3（時(shí)）．∴若這條船繼續(xù)向正北航行，上午11時(shí)小船與燈塔C的距離最短．【變式4】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）上午8時(shí)，一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向北航行，11時(shí)到達(dá)海島B處，從A、B望燈塔C，測得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求從海島B到燈塔C的距離．【解答】解：由題意得：AB＝（11﹣8）×15＝3×15＝45（海里），∵∠NBC是△ABC的一個(gè)外角，∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝40°，∴∠C＝∠NAC＝40°，∴AB＝BC＝45海里，∴從海島B到燈塔C的距離為45海里．【考點(diǎn)2等腰三角形的判定】【典例5】（2020?河北模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴△ABD為等腰三角形，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BDC為等腰三角形．故選：D．【變式5-1】（2016秋?肥城市期末）如圖，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)（）A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝＝72°，BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC＝36°，∵ED∥BC，∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°，∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE為等腰三角形，在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形，在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形，在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形，所以共有5個(gè)等腰三角形．故選：D．【變式5-2】（宜賓期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，則圖中等腰三角形共有（）個(gè)．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°，∵AD＝AE，∠DAE＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝72°，∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EAC，∴∠BAD＝∠EAC＝36°，∴∠BAE＝∠DAC＝72°，∴∠BAE＝∠BEA＝∠CDA＝∠CAD，∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC，∴△ABD，△AEC，△BAE，△ADC，△ABC，△ADE都是等腰三角形，故選：D．【典例6】（蒙陰縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C為原點(diǎn)，AC所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【解答】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點(diǎn)M1，M2，交BC有一點(diǎn)M3，（此時(shí)AB＝AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點(diǎn)M5，M4，交AC有一點(diǎn)M6（此時(shí)BM＝BA）．③AB的垂直平分線交AC一點(diǎn)M7（MA＝MB），交直線BC于點(diǎn)M8；∴符合條件的點(diǎn)有8個(gè)．故選：C．【變式6-1】（2021秋?西工區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，﹣3），點(diǎn)P在x軸上，且使△AOP為等腰三角形，符合題意的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】解：如圖所示：點(diǎn)P在x軸上，且使△AOP為等腰三角形，符合題意的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)共4個(gè)，故選：C．【變式6-2】（2019秋?河?xùn)|區(qū)期末）已知在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，A、B兩點(diǎn)在格點(diǎn)上，位置如圖，點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解答】解：①以AB為底邊，符合點(diǎn)C的有5個(gè)；②以AB為腰，符合點(diǎn)C的有4個(gè)．所以符合條件的點(diǎn)C共有9個(gè)．故選：C．【考點(diǎn)3：等腰三角形的判定與性質(zhì)】【典例7】（蒼溪縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．（1）△BDO是等腰三角形嗎？請說明理由．（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周長．【解答】解：（1）△BDO是等腰三角形．∵BO平分∠ABC，∴∠DBO＝∠CBO，∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB，∴∠DBO＝∠DOB，∴BD＝DO，∴△BDO是等腰三角形．（2）同理△CEO是等腰三角形，∵BD＝OD，CE＝OE，∴△ADE的周長＝AD+AE+ED＝AB+AC＝10+6＝16．【變式7-1】（2021秋?集賢縣期末）已知：如圖，△ABC中，BD平分∠A