人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教案1 1 .3 多邊形及其內(nèi)角和

11.3多邊形及其內(nèi)角和

【教學(xué)目標(biāo)】

知識與能力

1.了解多邊形的內(nèi)角、外角等概念.

2.能通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，并會應(yīng)用它們進(jìn)行

有關(guān)計(jì)算.

過程與方法

在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，逐步

養(yǎng)成數(shù)學(xué)推理的習(xí)慣.

情感態(tài)度與價(jià)值觀

體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，增強(qiáng)克服困難的勇氣和信心.

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和與多邊形的外角和公式是重點(diǎn)；

難點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和定理的推導(dǎo)是難點(diǎn).

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

［問題情境］

觀察下列圖案，由下面的圖案,你抽象出什么幾何圖形？

由上面圖案抽象出的幾何圖形:

從上面圖案可抽象出三角形、四邊形、六邊形、八邊形等，這些圖形

都是多邊形,那什么是多邊形？它具有哪些性質(zhì)？現(xiàn)在我們就來探究這個(gè)問

題.

二、探究歸納

活動一:類比三角形的定義，你能說出什么叫四邊形、五邊形、多邊形嗎？

【問題】（1）三角形是平面內(nèi)由一條不在同一直線上的線段首尾順次相

接組成的圖形.

⑵四邊形是平面內(nèi)由條不在同一直線上的線段首尾順次相接組成

的圖形.

⑶五邊形是平面內(nèi)由條不在同一直線上的線段首尾順次相接組成

的圖形.

點(diǎn)撥：

⑴三角形:在平面內(nèi)，由三條不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成

的圖形.

⑵四邊形:在平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的

封閉圖形叫做四邊形.

⑶五邊形：在平面內(nèi)，由不在同一直線上的五條線段首尾順次相接組成的

封閉圖形叫做五邊形.

（4）多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊

形.

（5）n邊形:如果一個(gè)多邊形由n條線段組成,那么這個(gè)多邊形就

叫做n邊形.（一個(gè)多邊形由幾條線段組成,就叫做幾邊形.）

如圖中五邊形可記為五邊形ABCDE,或五邊形AEDCB.

注意：多邊形的定義要注意“在同一平面內(nèi)”這一前提條件，強(qiáng)調(diào)不要漏

掉.

活動二：你能類比三角形的組成要素，說一說下面圖形各部分的名稱是什

么嗎？

【問題】（1）五邊形、六邊形分別有多少個(gè)內(nèi)角？多少個(gè)外角？

答:五邊形有5個(gè)內(nèi)角，10個(gè)（5對）外角；六邊形有6個(gè)內(nèi)角，12個(gè)（6對）外

角.

（2）n邊形有多少個(gè)內(nèi)角？多少個(gè)外角？

答:n邊形有n個(gè)內(nèi)角，2n個(gè)（n對）外角.

點(diǎn)撥：多邊形的有關(guān)概念:

⑴多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角，叫做多邊形的內(nèi)角.

⑵多邊形的外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角，叫做多邊形

的外角.

活動三:多邊形的對角線

【問題】如圖，從五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A出發(fā)共有幾條對角線?你能畫出

五邊形ABCDE的所有對角線嗎？

答案：

點(diǎn)撥：多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形

的對角線.

【問題】探索多邊形的對角線的條數(shù)：

多邊形的邊數(shù)3456???n

從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)

0123n-3

的對角線數(shù)

n(n-3)

對角線總數(shù)0259

2

點(diǎn)撥:n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)對角線有63）條,n邊形共有卓條對角

活動四：凸多邊形及正多邊形

【問題】我們現(xiàn)在研究的是如圖（1）所示的多邊形，是凸多邊形；如圖⑵

所示的多邊形，是凹多邊形,但不在現(xiàn)在研究的范圍中.這兩種多邊形的區(qū)

別是什么？

點(diǎn)撥：凸多邊形與凹多邊形的有關(guān)概念:在圖⑴中，畫出四邊形ABCD的任

何一條邊所在的直線，整個(gè)圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的四邊形叫

做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；而圖⑵就不滿足上述凸多邊形

的特征，因?yàn)槲覀儺婥D所在直線,整個(gè)多邊形不都在這條直線的同一側(cè),我

們稱它為凹多邊形.本節(jié)我們只討論凸多邊形.

【問題】想一想：觀察圖中的多邊形，它們的邊、角有什么特點(diǎn)?猜想滿足

什么條件的多邊形是正多邊形？

△□OOO

點(diǎn)撥：正多邊形的概念：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊

形.

活動五:探索四邊形的內(nèi)角和

【問題】

1.任意畫一個(gè)四邊形，四邊形的內(nèi)角和是多少?你又是怎樣得出的？（度量、

拼角、轉(zhuǎn)化）

2.在四邊形內(nèi)角和的探索過程中，用到了幾種方法,你認(rèn)為哪種方法好?請

講述你的理由.（將四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形求內(nèi)角和）

連接AC,把四邊形分割成兩個(gè)三角形：四邊形內(nèi)角和等于180°X2=360°

點(diǎn)撥：（1）連接對角線將四邊形分割成兩個(gè)三角形.

⑵利用三角形的內(nèi)角和是180。，證明四邊形內(nèi)角和等于360°.

活動六:探索五、六邊形及n邊形的內(nèi)角和

【問題】

1.探索五邊形的內(nèi)角和

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和的求法，你能否求出五邊形的內(nèi)角和呢？學(xué)生可能有

以下幾種方法：

圖I圖2圖3

方法一:如圖1,連接AD,AC,五邊形的內(nèi)角和為:3X180°=540°.

方法二:如圖2,連接AC,則五邊形內(nèi)角和為:360。+180°=540°.

方法三:如圖3,在AB上任取一點(diǎn)F,連接FC,FD,FE,則五邊形的內(nèi)角和為:

4X180°-180°=540°.

圖4圖5圖6

方法四：如圖4,在五邊形內(nèi)任取一點(diǎn)0,連接0A,OB,0C,0D,0E,則五邊形內(nèi)

角和為：5>180°-360°=540°.

方法五:如圖5,在AB上任取一點(diǎn)F,連接FD,則五邊形的內(nèi)角和為:

2X360°-180°=540°.

方法六:如圖6,在五邊形外任取一點(diǎn)0,連接0A,OB,0C,0D,0E,則五邊形內(nèi)

角和為：4X180°-180°=540°.

點(diǎn)撥：縱觀以上各種證明思路，其共同點(diǎn)是通過圖形分割，把五邊形問題轉(zhuǎn)

化為熟悉的三角形、四邊形問題來解決.

2.探索六邊形的內(nèi)角和

被分得三角形個(gè)數(shù)6-2=4

六邊形的內(nèi)角和(6-2)X180°

3.探究n邊形的內(nèi)角和

小組合作，完成下面的表格，從表格中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(課件出示正確

結(jié)果)

從一個(gè)頂點(diǎn)

多邊形分割成的多邊形的

圖形引出的對角

邊數(shù)三角形個(gè)數(shù)內(nèi)角和

線條數(shù)

三角形

(n=3)△

四邊形

(n=4)

五邊形O

(n=5)

六邊形

(n=6)O

n邊形O

點(diǎn)撥：1.從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作(n-3)條對角線,它們將n邊形

分為(n-2)個(gè)三角形，這(n-2)個(gè)三角形的內(nèi)角和就是n邊形的內(nèi)角和,

所以,n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)X180°.

2.n邊形內(nèi)角和等于(n-2)-180°.

3.我們也可以利用下列不同的方法分割多邊形,得到n邊形的內(nèi)角和公式:

以上我們探究了n邊形的內(nèi)角和，知道了n邊形內(nèi)角和等于(n-2)-180°.

那n邊形外角和是多少呢?下面我們一起來探討.

活動七:探索四邊形、五邊形、六邊形及n邊形的外角和

【問題】

1.什么是多邊形的外角？

(類似地,在多邊形中找出多邊形的一邊與另一邊的延長線的夾角，叫做多

邊形的外角).

D

ABF

2.探索四邊形、五邊形、六邊形的外角和：

⑴探索四邊形的外角和：

由NBAD+N1=180°,ZABC+Z2=180°,

ZBCD+Z3=180°,ZADC+Z4=180°,

得NBAD+Z1+ZABC+Z2+ZBCD+Z3+ZADC+Z4=180°X4.

由NBAD+NABC+NBCD+NADC=180°義2,得

Z1+Z2+Z3+Z4=180°X4-180°X2=360°.

⑵類似地，可得五、六邊形的外角和也是360°.

點(diǎn)撥：四、五、六邊形的外角和都等于360°.

3.探索n邊形的外角和：

(l)n邊形外角和的證明方法：

因?yàn)閚邊形的每個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，它們的和是180°,所以

n邊形內(nèi)角和加外角和等于n-180°，所以，n邊形的外角和

為：n?180°-(n-2)?

180°=360°.任意多邊形的外角和等于360°.

⑵我們也可以這樣理解多邊形外角和等于360°:

如圖，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā),沿多邊形的各邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)

A,然后轉(zhuǎn)向出發(fā)的方向.在行程中轉(zhuǎn)過的各個(gè)角的和，就是多邊形的外角

和.由于走了一周，所轉(zhuǎn)過的各個(gè)角的和等于一個(gè)周角，所以多邊形外角和

等于360°.

點(diǎn)撥:n邊形的外角和等于360。.所以我們說多邊形的外角和與它的邊數(shù)

無關(guān).

前面我們探究了三角形的三邊關(guān)系，初步了解了三邊關(guān)系的應(yīng)用及技巧，

同學(xué)們到底學(xué)習(xí)的如何呢?請看下面的例題.

活動八:例題講解

【例1】過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線,把多邊形分成10個(gè)三角形,

則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是()

A.10B.11C.12D.13

解析:選C.過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線將一個(gè)多邊形分成(n-2)個(gè)三

角形,所以「2=10,解得n=12,即這個(gè)多邊形是十二邊形,故選C.

總結(jié):過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對角線有(n-3)條,把多邊形分成(n-2)個(gè)三角

形.

【例2】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍,它是幾邊形？

分析:一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，而外角和是360度,則

內(nèi)角和是3X360度,n邊形的內(nèi)角和可以表示成(n-2)X180°的形式,邊數(shù)

是n,就得到方程,從而求出邊數(shù).

解：設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，根據(jù)題意，可列方程

(n-2)X1800=3X360°.

解得n=8.

答:它是八邊形.

總結(jié):利用多邊形內(nèi)角和公式尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解.

［例3］如果一個(gè)四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角有什么關(guān)系？

已知：四邊形ABCD的NA+NC=180°.求：NB與ND的關(guān)系.

分析:本題要求NB與ND的關(guān)系，由于已知NA+NC=180°,所以可以從四

邊形的內(nèi)角和入手，就可得到完滿的答案.

解:因?yàn)镹A+NB+NC+ND=(4-2)X180°=360°,

又NA+NC=180°,

所以NB+ND=360°-(ZA+ZC)=180°.

這就是說,如果四邊形一組對角互補(bǔ),那么另一組對角也互補(bǔ).

【例4】若多邊形所有內(nèi)角與它的一個(gè)外角的和為600°,求這個(gè)多邊形的

邊數(shù)及內(nèi)角和.

分析：由已知可知,600°是多加了一個(gè)外角后的內(nèi)角和，減去多加的角就

應(yīng)是180°的整數(shù)倍，因此600°4-180°=3……60°,因此n-2=3,所以n=5,

這個(gè)多邊形為五邊形，邊數(shù)是5,代入多邊形內(nèi)角和公式即可求出內(nèi)角和.

因?yàn)槎嗉恿艘粋€(gè)角，并且多加的角是余數(shù)60°,也可以用600°減去余數(shù)

60°得到內(nèi)角和度數(shù).

解：由題意，得600°4-180°=3.......60°,

所以n-2=3,n=5.

所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是5.

所以這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：180°X(5-2)=540°.

答:這個(gè)多邊形的邊數(shù)是5,內(nèi)角和是540。.

[例5]一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后,變?yōu)槭呅?則原來的多邊形的邊數(shù)為

()

A.9或11B.10或11

C.10或12D.9或10或11

解析:選D.因截法不同，所以有三種可能,①當(dāng)截線不過任何一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)一，

截完后邊數(shù)會增加1,因此原來多邊形應(yīng)為九邊形;②當(dāng)截線過一個(gè)頂點(diǎn)時(shí),

截完后邊數(shù)不變，所以這種情況下原來的多邊形為十邊形；③當(dāng)截線過兩

個(gè)頂點(diǎn)時(shí),邊數(shù)比原來減少1,所以原來就是十一邊形,所以原來的多邊形

的邊數(shù)為9或10或11.

總結(jié):在多邊形問題中，有一類問題是將多邊形截去一個(gè)角后，探討多邊形

邊數(shù)變化的問題.在這類問題中，因截法不同，會出現(xiàn)不同的變化，⑴當(dāng)截

線不過任何一個(gè)頂點(diǎn)，多邊形的邊數(shù)增加1.

⑵當(dāng)截線過一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，多邊形的邊數(shù)不變.

⑶當(dāng)截線過兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，多邊形的邊數(shù)減少1.

三、交流反思

1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握探索的步驟:觀察一一歸納一一猜想一一證明.

2.通過本節(jié)課探索出多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.

四、檢測反饋

1.正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是150°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為()

A.10B.11C.12D.13

2.如圖所示,王華從A點(diǎn)出發(fā),沿直線前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)24°,再沿直線前進(jìn)

10米,又向左轉(zhuǎn)24°,…，照這樣走下去,他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí),一共

走的路程是

（）

A.140米B.150米C,160米D.240米

3.將一矩形紙片沿一條直線剪成兩個(gè)多邊形，那么這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角之

和不可能是（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

4.若一個(gè)多邊形的外角和與它的內(nèi)角和相等，則這個(gè)多邊形是（）

A.三角形B.四邊形

C.五邊形D.六邊形

5.若多邊形的每一個(gè)內(nèi)角均為135°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

6.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

7.畫出圖（1）中的六邊形ABCDEF的所有對角線.

8.如圖（2）,0為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),連接0A,OB,0C,0D可以得幾個(gè)三角形?

它與邊數(shù)有何關(guān)系？

9.如圖⑶,0在五邊形ABCDE的AB上，連接OC,0D,0E,可以得到幾個(gè)三角

形?它與邊數(shù)有何關(guān)系？

10.如圖(4),過A作六邊