函數(shù)模型的應(yīng)用5種常見考法歸類（原卷版）

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用5種常見考法歸類1、幾類已知函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)型模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)2、應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程（1）審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．（2）建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．（3）求模——求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型．（4）還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題．3、指數(shù)函數(shù)模型問題的求解策略(1)對于人口增長、銀行復(fù)利、細(xì)胞分裂等增長率問題，在實(shí)際問題中?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型y＝N(1＋p)x(其中N是基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)和冪函數(shù)模型y＝a(1＋x)n(其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長率，n為時間)的形式．解題時，往往用到對數(shù)運(yùn)算，要注意與已知條件中給定的值對應(yīng)求解．(2)函數(shù)y＝c·akx(a，c，k為常數(shù))是一個應(yīng)用廣泛的函數(shù)模型，它在電學(xué)、生物學(xué)、人口學(xué)、氣象學(xué)等方面都有廣泛的應(yīng)用，解決這類給出指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用題的基本方法是待定系數(shù)法，即根據(jù)題意確定相關(guān)的系數(shù).4、對數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類型和求解策略(1)基本類型：有關(guān)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)實(shí)際問題求解．(2)求解策略：首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入解析式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義．5、建立擬合函數(shù)與預(yù)測的基本步驟考點(diǎn)一根據(jù)實(shí)際問題增長率選擇合適的函數(shù)模型考點(diǎn)二指數(shù)型函數(shù)模型考點(diǎn)三對數(shù)型函數(shù)模型考點(diǎn)四指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的增長差異考點(diǎn)五建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題考點(diǎn)一根據(jù)實(shí)際問題增長率選擇合適的函數(shù)模型1．（2023·高一單元測試）下表顯示出函數(shù)值隨自變量變化的一組數(shù)據(jù)，由此可判斷它最可能的函數(shù)模型為（

）x210123yA．一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型C．對數(shù)函數(shù)模型 D．指數(shù)函數(shù)模型2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若三個變量，，隨著變量xx分別呈函數(shù)模型：，，變化的變量依次是（）x13579115254565851055292452189196851771495A．，， B．，，C．，， D．，，3．（2023秋·高一單元測試）在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)運(yùn)用計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù):x123y0.240.512.023.988.02在以下四個函數(shù)模型（a，b為待定系數(shù)）中，最能反映x，y函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．4．（2023秋·高一課時練習(xí)）有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（）A． B．C． D．5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（

）A． B． C． D．6．（2023春·陜西西安·高二統(tǒng)考期中）某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴(yán)重，最近三年測得沙漠面積增加值分別為0.2萬公頃0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠面積增加數(shù)（萬公頃）關(guān)于年數(shù)（年）的函數(shù)關(guān)系較為接近的是（

）A． B．C． D．7．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考階段練習(xí)）小明在調(diào)查某班小學(xué)生每月的人均零花錢時，得到了下列一組數(shù)據(jù)：月份23456…元11…請從模型，模型中選擇一個合適的函數(shù)模型，并預(yù)測小學(xué)生零花錢首次超過300元的月份為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．8 B．9 C．10 D．118．（2023秋·高一課時練習(xí)）某同學(xué)高三階段12次數(shù)學(xué)考試的成績呈現(xiàn)前幾次與后幾次均連續(xù)上升，中間幾次連續(xù)下降的趨勢．現(xiàn)有三種函數(shù)模型：①，②，③(其中為正常數(shù)，且).若要較準(zhǔn)確反映數(shù)學(xué)成績與考試次序關(guān)系，應(yīng)選作為模擬函數(shù)(填序號)；若，則所選函數(shù)的解析式為．9．（2023秋·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）某廠家為增加某種商品的銷售量，決定投入廣告據(jù)市場調(diào)查，廣告投入費(fèi)用（單位：萬元）與增加的銷售量（單位：千件）滿足下列數(shù)據(jù)：增加的銷售量01245廣告投入費(fèi)用為了描述廣告投入費(fèi)用與增加的銷售量的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，，，，(1)選出你認(rèn)為最符合題意的函數(shù)模型，并說明理由；(2)根據(jù)你選擇的函數(shù)模型，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；你認(rèn)為增加的銷售量為多少時，每千件的廣告投入費(fèi)用最少？考點(diǎn)二指數(shù)型函數(shù)模型10．（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某地投資億元進(jìn)行基礎(chǔ)建設(shè)，年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟(jì)效益為億元，若該地投資基礎(chǔ)建設(shè)4年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟(jì)效益是投資額的2倍，且再過年，該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會經(jīng)濟(jì)效益是投資額的16倍，則（

）A．4 B．8 C．12 D．1611．【多選】（2023秋·甘肅天水·高三?？茧A段練習(xí)）壓縮袋（真空壓縮袋）也叫PE拉鏈復(fù)合袋．在我們的日常生活中，各類大小的壓縮袋不但能把衣柜解放出來，而且可以達(dá)到防潮、防蟲咬、清潔保存的效果．其中抽氣式壓縮袋是通過外接抽氣用具如抽氣泵或吸塵器，來進(jìn)行排氣的．現(xiàn)選用某種抽氣泵對裝有棉被的壓縮袋進(jìn)行排氣，已知該型號的抽氣泵每次可以抽出壓縮袋內(nèi)氣體的，則（

）（參考數(shù)據(jù)：?。〢．要使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來的，至少要抽5次B．要使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來的，至少要抽9次C．抽氣泵第4次抽出了最初壓縮袋內(nèi)氣體的D．抽3次可以使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來的12．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達(dá)200~400年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委、生態(tài)環(huán)境部等9部門聯(lián)合發(fā)布《關(guān)于扎實(shí)推進(jìn)污染物治理工作的通知》明確指出，2023年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時間年之間的關(guān)系為，其中為初始量，.該品牌塑料袋大約需要經(jīng)過（

）年，其殘留量為初始量的10%.（參考數(shù)據(jù)：，）A．20 B．16 C．12 D．713．（2024·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）楊梅是楊梅科楊梅屬常綠喬木植物，自古以來深受人們的喜愛，古詩《詠梅》就這樣贊美楊梅：“顆顆黑珠樹中藏，此物只在五月有．游人過此嘗一顆，滿嘴酸甜不思?xì)w．”根據(jù)楊梅單果的果型和顏色，可將其依次分為4個等級，其等級與其對應(yīng)等級的市場銷售單價（單位：元/千克）近似滿足函數(shù)關(guān)系式．若花同樣的錢買到的2級楊梅比4級楊梅多1倍，且1級楊梅的市場銷售單價為4元/千克，則4級楊梅的市場銷售單價最接近（

）） D．16元/千克14．（2023秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn)階段．已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c（t）（單位：mg/L）隨著時間t（單位：h）的變化用指數(shù)模型描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于1000mg/L時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，則該新藥對病人有療效的時長大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）15．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校聯(lián)考階段練習(xí)）教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣．按照國家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為0.15%．經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有0.25%的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)需要的時間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10考點(diǎn)三對數(shù)型函數(shù)模型16．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）北京時間2023年2月10日0時16分，經(jīng)過約7小時的出艙活動，神舟十五號航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務(wù)，出艙活動取得圓滿成功.載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪聲，用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級，其中大于0的常數(shù)是聽覺下限閾值，，聲壓的單位為帕.若人正常說話的聲壓約為，且火箭發(fā)射時的聲壓級比人正常說話時的聲壓級約大，則火箭發(fā)射時的聲壓約為（

）A． B． C． D．17．（2023秋·北京通州·高三潞河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）被譽(yù)為信息論之父的香農(nóng)提出了一個著名的公式：，其中C為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為；W為信道帶寬，單位為；，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；當(dāng)，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，則為（

）A． B． C． D．318．（2023秋·四川成都·高三四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）人們用分貝來劃分聲音的等級，聲音的等級（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足.一般兩人小聲交談時，聲音的等級約為，在有50人的課堂上講課時，老師聲音的等級約為，那么老師上課時聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時聲音強(qiáng)度的（

）A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍19．（2023秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學(xué)?？茧A段練習(xí)）習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)，發(fā)展航天事業(yè)，建設(shè)航天強(qiáng)國，是我們不懈追求的航天夢.我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號遙五運(yùn)載火箭把嫦娥五號探測器順利地送入預(yù)定軌道，開啟我國首次外太空采樣返回之旅.這為我國未來月球與行星探測奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系式是.若火箭的最大速度為，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值約為：（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．20．（2023秋·山東臨沂·高三?？计谥校┰谌缃襁@個5G時代，6G研究已方興未艾，2023年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京舉辦。會上傳出消息，未來6G速率有望達(dá)到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計(jì)6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時延達(dá)到亞毫秒級水平。香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比。若不改變帶寬，而將信噪比從9提升至53，則最大信息傳遞率會提升到原來的（

）參考數(shù)據(jù)：．21．【多選】（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）研究表明，地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為，則（

）A．震級為2級的地震釋放能量為焦耳B．釋放能量為焦耳的地震震級為3級C．9級地震釋放能量是8級地震釋放能量的10倍D．釋放能量之比為的兩場地震的震級相差2級22．【多選】（2023秋·江西·高三贛州市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）從到通信，網(wǎng)絡(luò)速度提升了40倍.其中，香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率取決于信道帶寬?信道內(nèi)信號的平均功率?信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.根據(jù)香農(nóng)公式，以下說法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．若不改變信噪比，而將信道帶寬增加一倍，則增加一倍B．若不改變信道帶寬和信道內(nèi)信號的平均功率，而將高斯噪聲功率降低為原來的一半，則增加一倍C．若不改變帶寬，而將信噪比從255提升至增加了D．若不改變帶寬，而將信噪比從999提升至大約增加了23．（2023秋·山西晉中·高三介休一中?？茧A段練習(xí)）大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)大西洋鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中M倍時，它的游速是.考點(diǎn)四指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的增長差異24．（2023秋·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中，增長速度最快的是（

）A． B．C． D．25．（2023秋·高一?？颊n時練習(xí)）下面對函數(shù)，與在區(qū)間上的衰減情況的敘述正確的是（

）A．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢B．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快C．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢D．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快26．【多選】（2023秋·高一單元測試）函數(shù)，，，在區(qū)間上（

）A．遞減速度越來越慢 B．遞減速度越來越慢C．遞減速度越來越慢 D．的遞減速度慢于遞減速度27．（2023秋·高一課時練習(xí)）當(dāng)時，試探究三個函數(shù)的增長差異，用“＞”把它們的大小關(guān)系連接起來為．28．（2023秋·全國·高一隨堂練習(xí)）三個變量隨自變量的變化情況如下表：則關(guān)于分別呈對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)變化的變量依次為，，.29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)校鼓勵學(xué)生課余時間積極參加體育鍛煉，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分y與當(dāng)天鍛煉時間x（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系，要求如下：（1）函數(shù)的圖象接近圖示；（2）每天運(yùn)動時間為0分鐘時，當(dāng)天得分為0分；（3）每天運(yùn)動時間為30分鐘時，當(dāng)天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：①；②；③.(1)請你從中選擇一個合適的函數(shù)模型并說明理由；(2)根據(jù)你對（1）的判斷以及所給信息完善你的模型并給出函數(shù)的解析式；(3)已知學(xué)校要求每天的分?jǐn)?shù)不少于4.5分，求每天至少運(yùn)動多少分鐘（結(jié)果保留整數(shù)）.30．（2023·高一課時練習(xí)）若，則使成立的的取值范圍是，使成立的的取值范圍是．考點(diǎn)五建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題31.（2023·高一課時練習(xí)）某大型家電商場，在一周內(nèi)，計(jì)劃銷售、兩種電器，已知這兩種電器每臺的進(jìn)價都是萬元，若廠家規(guī)定，一家商場進(jìn)貨的臺數(shù)不高于的臺數(shù)的倍，且進(jìn)貨至少臺，而銷售、的售價分別為元/臺和元/臺，若該家電商場每