第1章 矢量分析

工欲善其事，必先利其器

-----論語(yǔ)第1章矢量分析VectorAnalysis1、矢量代數(shù)2、曲面坐標(biāo)系及矢量微分元3、矢量場(chǎng)的散度和散度定理4、矢量場(chǎng)的旋度和斯托克斯定理5、標(biāo)量場(chǎng)的梯度和格林定理6、Helmholtz定理主要內(nèi)容重點(diǎn)矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的旋度標(biāo)量場(chǎng)的梯度亥姆霍茲定理§1.1矢量代數(shù)VectorAlgebra

矢量和標(biāo)量的定義矢量表示法矢量的運(yùn)算法則一、矢量和標(biāo)量的定義1.標(biāo)量：只有大小，沒(méi)有方向的物理量。2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、電場(chǎng)等如：溫度T、長(zhǎng)度L等二、矢量表示法a)矢量的寫(xiě)法所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。在符號(hào)上加短橫線：、矢量表示為：b)矢量的分量表示式及圖示法

模的計(jì)算：

單位矢量：

方向角與方向余弦：例1：在直角坐標(biāo)系中，

x方向的大小為6的矢量如何表示？圖示法：

分量表示三、矢量的運(yùn)算法則1.加法:

矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。a.滿(mǎn)足交換律：b.滿(mǎn)足結(jié)合律：2.減法：換成加法運(yùn)算逆矢量：

和的模相等，方向相反，互為逆矢量。推論：任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。直角坐標(biāo)系下矢量的加減法:

直角坐標(biāo)系中兩個(gè)矢量加法運(yùn)算：

直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：

3.乘法：（1）標(biāo)量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a.標(biāo)量積（點(diǎn)積）b.矢量積（叉積）（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a.標(biāo)量積（點(diǎn)積）

兩矢量的點(diǎn)積含義：

一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。標(biāo)量積的推論推論1：滿(mǎn)足交換律推論2：滿(mǎn)足分配律推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。結(jié)論:兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即有兩矢量點(diǎn)積：即

b.矢量積（叉積）含義：兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。所在平面的右手螺旋法向矢量積的推論推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。分量運(yùn)算：即

在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo（3）三重積三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標(biāo)量與矢量相乘。標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。a.標(biāo)量三重積

法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。定義：含義：

標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積。注意：先后輪換次序。推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：b.矢量三重積：a)標(biāo)量三重積

b)矢量三重積稱(chēng)為“BACK—CAB”法則

總結(jié)：三重積

例2：求：中的標(biāo)量a、b、c。解：則：設(shè)例3：

已知求：確定垂直于、所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面?！?.6曲面坐標(biāo)系

(CurvilinearCoordinateSystems)

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái)確定。

在電磁場(chǎng)理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：

直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。

三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱(chēng)為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱(chēng)為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱(chēng)為坐標(biāo)變量。主要內(nèi)容一、三種曲面坐標(biāo)系及其微分元表示二、三種坐標(biāo)的變換三、場(chǎng)論運(yùn)算矢量微分元：線元、面元

體元例：其中：和稱(chēng)為微分元。一、三種曲面坐標(biāo)系及其微分元表示1.直角坐標(biāo)系線元：在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。面元：體元：

與三個(gè)單位矢量相垂直的三個(gè)面元2、圓柱坐標(biāo)系增加量不變量位移量長(zhǎng)度增量

、z

、z

、3、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系1.直角坐標(biāo)系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元

odzdydx2.圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系（半平面）（圓柱面）（平面）體積元面元矢量3.球坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系（半平面）（圓錐面）（球面）體積元線元矢量二、三種坐標(biāo)的變換圖1.6-3三種坐標(biāo)間的變換圖1.6-4

00001表1.6-1直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)單位矢量的變換

表1.6-2柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)單位矢量的變換

00010圖1.6-5

利用圖1.6-4可得出表1.6-1關(guān)系，利用圖1.6-5可得出表1.6-2關(guān)系，由二者又可得出表1.6-3。0同樣可用于矢量分量：Ex.由表1.6－3第一列，Ex.由表1.6－3第一行，這些表的作用與矩陣變換相似。表1.6-3直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)單位矢量的變換

作業(yè)：1.1-31.1-51.2-11.2-3§1.2矢量場(chǎng)的通量、散度、散度定理

FluxandDivergenceofaVectorField,DivergenceTheorem矢量場(chǎng)的通量散度，哈密頓算子散度定理場(chǎng)的基本概念1.什么是場(chǎng)？重力場(chǎng)、溫度場(chǎng)、電磁場(chǎng)、……

a.從數(shù)學(xué)角度：場(chǎng)是給定區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)數(shù)值的集合，這些數(shù)值規(guī)定了該區(qū)域內(nèi)一個(gè)特定量的特性。比如：T

是溫度場(chǎng)中的物理量，T就是溫度場(chǎng)

b.從物理角度：場(chǎng)是遍及一個(gè)被界定的或無(wú)限擴(kuò)展的空間內(nèi)的，能夠產(chǎn)生某種物理效應(yīng)的特殊的物質(zhì)，場(chǎng)是具有能量的。2.場(chǎng)的分類(lèi)

a.按物理量的性質(zhì)分：

標(biāo)量場(chǎng)：描述場(chǎng)的物理量是標(biāo)量。

矢量場(chǎng)：描述場(chǎng)的物理量是矢量。

b.按場(chǎng)量與時(shí)間的關(guān)系分：

靜態(tài)場(chǎng)：場(chǎng)量不隨時(shí)間發(fā)生變化的場(chǎng)。

動(dòng)態(tài)場(chǎng)：場(chǎng)量隨時(shí)間的變化而變化的場(chǎng)。動(dòng)態(tài)場(chǎng)也稱(chēng)為時(shí)變場(chǎng)。例如流體空間中的流速分布等可以用矢量場(chǎng)來(lái)表示。標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)的定義例如物理系統(tǒng)中的溫度、壓力、密度等可以用標(biāo)量場(chǎng)來(lái)表示。矢量場(chǎng)（vectorfield）：在指定的時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個(gè)矢量唯一地描述，則該矢量函數(shù)定出矢量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)（scalarfield）：在指定的時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個(gè)標(biāo)量唯一地描述，則該標(biāo)量函數(shù)定出標(biāo)量場(chǎng)。場(chǎng)的"場(chǎng)圖"表示

對(duì)矢量場(chǎng)，用一些有向曲線來(lái)形象表示矢量在空間的分布，稱(chēng)為力線或流線。力線上任意點(diǎn)的切線方向必定與該點(diǎn)的矢量方向相同。

對(duì)標(biāo)量場(chǎng)，用等值面圖表示?？臻g內(nèi)標(biāo)量值相等的點(diǎn)集合形成的曲面稱(chēng)為等值面；例如氣象圖上的等壓線，地圖上的等高線等。

一、矢量場(chǎng)的通量1.矢線（場(chǎng)線）：

在矢量場(chǎng)中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場(chǎng)矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱(chēng)為矢線。2.通量：定義：如果在該矢量場(chǎng)中取一曲面S，通過(guò)該曲面的矢線量稱(chēng)為通量。表達(dá)式：若曲面為閉合曲面：意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。（標(biāo)量）矢量線OM

（2）封閉面：取為封閉面的外法線方向（1）開(kāi)曲面：沿封閉曲線的繞行方向按右手螺旋的拇指方向討論：a.

如果閉合曲面上的總通量

說(shuō)明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。b.

如果閉合曲面上的總通量

說(shuō)明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱(chēng)溝。c.

如果閉合曲面上的總通量說(shuō)明穿入的通量等于穿出的通量。通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義二、散度，哈密頓算子通量反映了封閉面中源的總特性，但沒(méi)有反映源的分布特性;若要進(jìn)一步描述源的分布特性，則要引入散度;a)散度(divergence)定義:（標(biāo)量）

散度是矢量通過(guò)包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。b）散度的物理意義

散度是通過(guò)某點(diǎn)處單位體積的通量（通量體密度）；

它反映了在該點(diǎn)的通量源強(qiáng)度；（A點(diǎn)）（B點(diǎn)）（C點(diǎn)）電偶極子的電力線和等位線同理，穿過(guò)左面向外流出的通量為圖1.2-3直角坐標(biāo)表示式的推導(dǎo)得故穿過(guò)左右兩面的通量為取決于的y分量沿y向的變化率穿過(guò)右邊向外流出的通量：c)散度的分量表示式計(jì)算穿過(guò)包圍點(diǎn)P(x,y,z)的無(wú)窮小體積的通量：穿過(guò)六面體的總通量:故(1.2-4)※

對(duì)應(yīng)于標(biāo)量的導(dǎo)數(shù),由一維推廣至三維;※的散度是的三維分量沿各自方向的變化率之和，即取決于各分量的縱向變化率。d)哈密頓算子比較上式與式(1.2-4)知:

兼有矢量和微分運(yùn)算雙重功能:先按矢量規(guī)則展開(kāi),再做微分運(yùn)算：(1.2-4)注意：e)常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系f)散度的運(yùn)算規(guī)則散度的有關(guān)公式：三、散度定理矢量散度的體積分

該矢量的封閉面積分

矢量場(chǎng)的散度代表其通量的體密度,因此從散度的定義出發(fā)，散度的體積分等于穿過(guò)包圍該體積封閉面的總通量:[證]

散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。物理含義：

穿過(guò)一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。點(diǎn)電荷q在離其r處產(chǎn)生的電通密度為：其中，模求：任意點(diǎn)處電通密度的散度，并求穿出以r為半徑的球面的電通量

[解]例1這說(shuō)明在此球面上所穿過(guò)的電通量的源正是點(diǎn)電荷q。同理可見(jiàn)，除了點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)外，空間各點(diǎn)的電通密度散度均為0，它是管形場(chǎng)。故球面s上任意點(diǎn)的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算然后利用散度定理計(jì)算面積分：[解]首先求出的散度：例2§1.3環(huán)量、旋度、Stokes定理

CirculationandCurlofaVectorField,Stokes’sTheorem

矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源

例如：流速場(chǎng)。

不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類(lèi)不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。

如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過(guò)閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。

內(nèi)容環(huán)量旋度Stokes定理

方向規(guī)定為使所包圍面積在其左側(cè)，如圖1.3-1所示.一、環(huán)量的概念圖1.3-1矢量場(chǎng)的環(huán)量

矢量沿某封閉曲線的線積分，定義為沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量):應(yīng)用：圖1.3-2電流I的磁通密度*電流會(huì)產(chǎn)生環(huán)繞它的磁場(chǎng)，沿圓周的線積分就是其環(huán)量：可見(jiàn)，電流就是旋渦源。

矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。

二、矢量場(chǎng)的旋度a)矢量場(chǎng)的旋度定義環(huán)量面密度(環(huán)量強(qiáng)度):稱(chēng)為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向

的環(huán)流面密度。特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向

有關(guān)。

過(guò)點(diǎn)M作一微小曲面

S，它的邊界曲線記為l，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)

S

0時(shí)，極限（標(biāo)量）

面元是有方向的，在給定點(diǎn)處，上述極限值對(duì)于不同的面元是不同的。（矢量）大小：旋度為矢量

在給定點(diǎn)處的最大環(huán)量面密度。方向：面元的取向使環(huán)量面密度最大時(shí)，該面元的方向

.旋度定義物理意義：旋渦源密度矢量討論：反映在該處的旋渦源強(qiáng)度。稱(chēng)該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，又稱(chēng)為保守場(chǎng)。稱(chēng)該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)；能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱(chēng)為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。b)分量表示式故由教材p.13－14的推導(dǎo)得

的三個(gè)坐標(biāo)分量都取決于其另兩個(gè)坐標(biāo)分量在與各自正交的方向上的變化率。簡(jiǎn)言之，的旋度取決于各分量的橫向變化率。利用哈密頓算子，有C)旋度運(yùn)算

圓柱坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系

直角坐標(biāo)系d)旋度運(yùn)算規(guī)則：（“旋無(wú)散”

）矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零[證]

例：證明：三、斯托克斯（Stokes）定理矢量旋度的面積分

該矢量的線積分

[證]見(jiàn)教材p.15

矢量場(chǎng)的旋度代表其單位面積的環(huán)量，因此旋度的面積分即為包圍此面積的閉曲線上的環(huán)量：

斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，在電磁理論中也有廣泛的應(yīng)用。物理含義：

一個(gè)矢量場(chǎng)旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分。[解]

根據(jù)旋度的公式得所以結(jié)論：靜止點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。

求任意點(diǎn)處（）電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度例1

自由空間的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度而,兩邊同時(shí)進(jìn)行體積分，左邊利用散度定理后得于是得

式中S為包圍體積V的封閉面證明下述矢量Stokes定理由于是任意常矢量，所以例2[證]：設(shè)為任意常矢量，那么根據(jù)運(yùn)算規(guī)則3有：

§1.4方向?qū)?shù)、梯度、Green定理

(DirectionalDerivativeandGradientofaScalarField,Green’sTheorem)方向?qū)?shù)概念標(biāo)量場(chǎng)的梯度Green定理一、標(biāo)量場(chǎng)的等值面

等值面:

標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿(mǎn)場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。

等值面的特點(diǎn)：意義:

形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。標(biāo)量場(chǎng)的等值線(面)二、方向?qū)?shù)空間變化率，稱(chēng)為方向?qū)?shù)。為最大的方向?qū)?shù)。標(biāo)量場(chǎng)的場(chǎng)函數(shù)為設(shè)矢量在上的投影等于在該方向上的方向?qū)?shù)。則方向?qū)?shù)二、方向?qū)?shù)定義：標(biāo)量場(chǎng)中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)，其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線方向。數(shù)學(xué)表達(dá)式：三、標(biāo)量場(chǎng)的梯度式中g(shù)rad

是英文字母

gradient的縮寫(xiě)。三、梯度

的模是在給定點(diǎn)上的最大方向?qū)?shù)其方向就是具有該最大方向?qū)?shù)的方向，也就是的變化率最大的方向。則即梯度:等值面對(duì)等值面上的任意方向，即結(jié)論：梯度的方向就是等值面的法線方向：

四、梯度運(yùn)算規(guī)則“梯無(wú)旋”試證明運(yùn)算規(guī)則[證]所以等式成立例五、Green定理將Green第一定理中的兩個(gè)函數(shù)交換位置，則有Green第二定理以Green第一定理減去上式，得Green第一定理利用散度定理得Green函數(shù)的應(yīng)用格林定理廣泛地用于電磁理論。將體積V中場(chǎng)的求解問(wèn)題變換為邊界S上場(chǎng)的求解問(wèn)題。已知其中一個(gè)場(chǎng)的分布，就可以用Green定理求解另一場(chǎng)的分布特性。電偶極子相距為l的兩點(diǎn)電荷和的靜電場(chǎng)，設(shè)，且電位求電場(chǎng)強(qiáng)度[解]利用球坐標(biāo)的梯度公式得到例梯度、散度或旋度梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算，它們表示場(chǎng)在某點(diǎn)附近的變化特性，場(chǎng)中各點(diǎn)的梯度、散度或旋度可能不同。梯度、散度及旋度描述的是場(chǎng)的點(diǎn)特性或稱(chēng)為微分特性。函數(shù)的連續(xù)性是可微的必要條件。因此在場(chǎng)量發(fā)生不連續(xù)處，也就不存在前面定義的梯度、散度或旋度。

重要的場(chǎng)論公式1.兩個(gè)零恒等式任何標(biāo)量場(chǎng)梯度的旋度恒為零。任何矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零。在圓柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：2.拉普拉斯算子在直角坐標(biāo)系中：3.常用的矢量恒等式§1.5亥姆霍茲定理

Helmholtz’sTheorem一、散度和旋度的比較定義

意義分量式

取決于場(chǎng)分量的縱向變化率

取決于場(chǎng)分量的橫向變化率

散度旋度最大環(huán)量面密度（矢量）

通量體密度（標(biāo)量）

旋渦源強(qiáng)度的量度

通量源強(qiáng)度的量度

表1-1散度與旋度的比較矢量場(chǎng)的散度唯一地確定場(chǎng)中任一點(diǎn)的通量源強(qiáng)度；場(chǎng)的旋度唯一地確定場(chǎng)中任一點(diǎn)的旋渦源強(qiáng)度.如果已知矢量場(chǎng)的散度和旋度,則兩種源都已知,因而能唯一地確定這個(gè)矢量場(chǎng).從分量式上可以看出，散度取決于場(chǎng)分量的縱向變化率，而旋度取決于場(chǎng)的橫向變化率；因而，散度和旋度完整地描述了場(chǎng)的分布特性。

亥姆霍茲定理亥姆霍茲的論著：《力的守恒》、《生物光學(xué)手冊(cè)》、《音色感覺(jué)》、《音樂(lè)理論的生理基礎(chǔ)》1.若已知某矢量的散度、旋度及邊界處值，則該矢量唯一確定2.任一矢量可表達(dá)為一標(biāo)量函數(shù)的梯度和一矢量函數(shù)的旋度之和二、亥姆霍茲定理及推論Helmholtz定理令兩邊取散度和旋度，得所以所以所以可令

說(shuō)明已知散度和旋度的矢量是唯一的。所以于是這是拉普拉斯方程，已知滿(mǎn)足拉普拉斯方程的函數(shù)不會(huì)出現(xiàn)極值，而是在無(wú)限空間上取值的函數(shù)，因此只能是一個(gè)常數(shù):則條件：若矢量場(chǎng)在無(wú)限空間處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有限區(qū)域中結(jié)論：①矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定。

②表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和：[證]假設(shè)在無(wú)限空間中有二矢量函數(shù)和，它們具有相同的散度和旋度

因此，一個(gè)矢量場(chǎng)可表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度和一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度之和，即

結(jié)論：研究一個(gè)矢量場(chǎng)必須從它的旋度和它的散度著手，矢量場(chǎng)的旋度和散度滿(mǎn)足的方程決定了矢量場(chǎng)的基本特性。

一個(gè)既有散度又有旋度的一般矢量場(chǎng)可以表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)(有散度)和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)(有旋度)之和：

推論：1.梯無(wú)旋，