第3課時　不同函數(shù)增長的差異 高一數(shù)學(xué)

4.4

對數(shù)函數(shù)第3課時

不同函數(shù)增長的差異自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑思想方法

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)增長的差異1.在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=2x,y=2x的圖象,觀察圖象思考下列問題:(1)這兩個函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性是怎樣的?(2)當x趨于無窮大時,在這兩個函數(shù)中,哪一個函數(shù)的增長速度快?哪一個慢?提示:(1)都是單調(diào)遞增的.(2)函數(shù)y=2x增長速度快,函數(shù)y=2x增長速度慢.2.(1)一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長速度不同,即使k的值遠遠大于a的值,y=ax(a>1)的增長速度最終都會大大超過y=kx(k>0)的增長速度.(2)指數(shù)函數(shù)不像一次函數(shù)那樣按同一速度增長,而是越來越快,呈爆炸性增長.二、一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)增長的差異1.在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=2x,y=log2x的圖象,觀察圖象思考下列問題:(1)這兩個函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性是怎樣的?(2)當x趨于無窮大時,在這兩個函數(shù)中,哪一個函數(shù)的增長速度快?哪一個慢?提示:(1)都是單調(diào)遞增的.(2)函數(shù)y=2x增長速度快,函數(shù)y=log2x增長速度慢.2.一般地,雖然對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)都單調(diào)遞增,但它們的增長速度不同.隨著x的增大,一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長速度,而對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度越來越慢.不論a的值比k的值大多少,在一定范圍內(nèi),logax可能會大于kx,但由于logax的增長最終會慢于kx的增長,因此總會存在一個x0,當x>x0時,恒有l(wèi)ogax<kx.解析:指數(shù)函數(shù)的增長速度最快,故選C.答案:C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)函數(shù)y=x2比y=2x增長的速度更快些.(×)(2)當a>1,k>0時,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi),對任意的x,總有l(wèi)ogax<kx<ax成立.(×)(3)函數(shù)

減小的速度越來越慢.(√)(4)在指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)中,底數(shù)a越大,其增長速度越快.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

不同函數(shù)的增長特點及其應(yīng)用【例1】

下列函數(shù)中,增長速度最快的是(

)

A.y=1021x B.y=1021xC.y=log1021x D.y=1020x解析:在一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)中,增長速度最快的是指數(shù)函數(shù),又因為1

021>1

020,所以y=1

021x比y=1

020x的增長速度快,因此選B.答案:B反思感悟常見函數(shù)模型的增長特點(1)線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升,其增長速度不變;(2)指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快,形象地稱為“指數(shù)爆炸”;(3)對數(shù)函數(shù)模型y=logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩;(4)冪函數(shù)模型y=xn(n>0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間.探究二

函數(shù)模型的選擇【例2】

某大型超市為了滿足顧客對商品的購物需求,對超市的商品種類做了一定的調(diào)整,結(jié)果調(diào)整初期的利潤增長迅速,隨著時間的推移,增長速度越來越慢.如果建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該超市調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系,那么可選用(

)A.一次函數(shù) B.二次函數(shù)C.指數(shù)型函數(shù) D.對數(shù)型函數(shù)解析:在四個函數(shù)中,選項A中函數(shù)的增長速度不變,選項B,C中函數(shù)的增長速度越來越快,其中選項C中函數(shù)的增長速度比選項B中函數(shù)的增長速度更快,選項D中函數(shù)的增長速度越來越慢,故只有選項D符合題意答案:D反思感悟根據(jù)實際問題提供的兩個變量的數(shù)量關(guān)系可構(gòu)建和選擇正確的函數(shù)模型.同時,要注意利用函數(shù)圖象的直觀性來確定適合題意的函數(shù)模型.【變式訓(xùn)練1】

四個變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表所示:關(guān)于x呈指數(shù)增長的變量是

.

解析:以爆炸式增長的變量呈指數(shù)增長.從題中表格可以看出,四個變量y1,y2,y3,y4均是從2開始變化,且都是越來越大,但是增長速度不同,其中變量y2的增長速度最快,可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)增長.答案:y2探究三

函數(shù)不同增長特點在實際問題中的應(yīng)用【例3】

某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,最近幾年,該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長.記2018年為第1年,且前4年中,第x年與年產(chǎn)量f(x)(單位:萬件)之間的關(guān)系如下表所示:(1)找出你認為最適合的函數(shù)模型,并說明理由,然后選取表中你認為最適合的數(shù)據(jù)并求出相應(yīng)的解析式;(2)因企業(yè)經(jīng)營不善,2023年的實際年產(chǎn)量比預(yù)計減少了30%,試根據(jù)所建立的函數(shù)模型,確定2023年的實際年產(chǎn)量.反思感悟1.求解此類問題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出相關(guān)的函數(shù)模型,即借助數(shù)據(jù)信息,得到相關(guān)方程,進而求出待定參數(shù).2.函數(shù)模型的選擇與數(shù)據(jù)的擬合是數(shù)學(xué)建模中最核心的內(nèi)容,解題的關(guān)鍵在于通過對已知數(shù)據(jù)的分析,得出重要信息,根據(jù)解題積累的經(jīng)驗,從已有的各類型函數(shù)中選擇模擬,進行數(shù)據(jù)的擬合.【變式訓(xùn)練2】

通過市場調(diào)查,得到某紀念章的市場價y(單位:元)與上市時間x(單位:天)的關(guān)系如下:(1)根據(jù)上表,從下列函數(shù)中選取一個恰當?shù)暮瘮?shù)描述該紀念章的市場價y與上市時間x的關(guān)系:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c(a≠0);③y=alogbx(b>0,且b≠1);(2)利用你所選取的函數(shù),求該紀念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格.解:(1)由題表可得,隨著x的值的增大,y的值先減小后增大,而所給的三個函數(shù)中,y=ax+b和y=alogbx(b>0,且b≠1)顯然都是單調(diào)函數(shù),不滿足題意,故選取函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)最恰當.當x=20時,y取得最小值,ymin=26.故該紀念章市場價最低時的上市天數(shù)為20,最低價格為26元.思想方法數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)增長差異中的應(yīng)用【典例】

已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖所示,設(shè)這兩個函數(shù)的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應(yīng)的函數(shù);(2)比較f(6),g(6),f(4021),g(4021)的大小.審題視角:(1)觀察曲線的增長特點,對照指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特點確定曲線對應(yīng)的函數(shù);(2)結(jié)合題中函數(shù)的圖象,確定6,2019與x1,x2的大小關(guān)系,根據(jù)函數(shù)的增長特點比較這四個函數(shù)值的大小.解:(1)從題中圖象可以看出,當x越來越大時,曲線C2對應(yīng)的函數(shù)比曲線C1對應(yīng)的函數(shù)增長得更快,因此C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x.(2)因為f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,因此x1<6<x2,2021>x2.從題中圖象上可以看出,當x1<x<x2時,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6);當x>x2時,f(x)>g(x),所以