上海徐教院附中高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

上海徐教院附中高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知x∈R，i為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則x的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2參考答案： C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】對(duì)已知式子分子分母同乘以i，可得（2﹣x）﹣i，由純虛數(shù)的定義可得其實(shí)部2﹣x=0，解之可得答案．【解答】解：==（x﹣2）i2﹣i=（2﹣x）﹣i由純虛數(shù)的定義可得2﹣x=0，故x=2故選C2.在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，則b等于（）A．4 B．4 C．4 D．參考答案：A【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】先根據(jù)已知求得∠A的值，從而由正弦定理即可求值．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=180°﹣60°﹣75°=45°∴由正弦定理可得：b===4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值和正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，若為銳角三角形，則一定成立的是A． B．C． D．參考答案：A略4.數(shù)80100除以9所得余數(shù)是（）A．0 B．8 C．﹣1 D．1參考答案：D【考點(diǎn)】同余方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題；二項(xiàng)式定理．【分析】利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)80100=（81﹣1）100=C100081100﹣C10018199+…﹣C1009981+1，即可得出．【解答】解：因?yàn)?0100=（81﹣1）100=C100081100﹣C10018199+…﹣C1009981+1．顯然展開(kāi)式中出最后一項(xiàng)不含81，其余各項(xiàng)都能被81整除，所以80100除以9所得余數(shù)是為1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和整除的方法，屬于基礎(chǔ)題．5.已知是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意，都有，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則、、的大小關(guān)系是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C6.已知拋物線與圓只有唯一的公共點(diǎn)，則拋物線C的準(zhǔn)線與圓C相交的弦長(zhǎng)為

A.

B.2

C.

D.4參考答案：C7.已知函數(shù)，將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（

） A． B． C．

D．參考答案：C8.設(shè)函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為f－1（x）,將y＝f（2x－3）的圖像向左平移兩個(gè)單位，再關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后所得到的函數(shù)的反函數(shù)是A.y＝

B.

y＝C.y＝

D.y＝參考答案：A9.如圖是函數(shù)y=f（x）求值的程序框圖，若輸出函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)椋瑒t輸入函數(shù)y=f（x）的定義域不可能為（）A． B． D．∪{2}參考答案：C【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】模擬程序的運(yùn)行過(guò)程知該程序的功能是求分段函數(shù)y=在某一區(qū)間上的值域問(wèn)題；對(duì)題目中的選項(xiàng)分析即可．【解答】解：模擬程序的運(yùn)行過(guò)程知，該程序的功能是求分段函數(shù)y=在某一區(qū)間上的值域問(wèn)題；x∈時(shí)，y=2﹣x∈=，滿足題意，A正確；x∈=（4，8]，x=2時(shí)，y=x2=4，∴x∈，滿足題意，B正確；x∈時(shí)，若x∈，則y=x2∈，不滿足題意，C錯(cuò)誤；同理x∈∪{2}時(shí)，y∈，滿足題意，D正確．故選：C．10.對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱(chēng)點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心，設(shè)函數(shù)g（x）=x3﹣x2+3x﹣，則g（）+g（）+…+g（）=（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016參考答案：B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；函數(shù)的值．【專(zhuān)題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】由題意對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)（，1）對(duì)稱(chēng)，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到結(jié)論．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，由g″（x0）=0得2x0﹣1=0解得x0=，而f（）=1，故函數(shù)g（x）關(guān)于點(diǎn)（，1）對(duì)稱(chēng)，∴g（x）+g（1﹣x）=2，故設(shè)g（）+g（）+…+g（）=m，則g（）+g（）+…+g（）=m，兩式相加得2×2014=2m，則m=2014．故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，利用條件求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是解決本題的關(guān)鍵．求和的過(guò)程中使用了倒序相加法．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則

．參考答案：－11試題分析：通過(guò)，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得，代入所求式可知答案－11．

12.設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．參考答案：考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).13.在中,,,,那么的長(zhǎng)度為

．參考答案：14.已知橢圓上一點(diǎn)P到其右焦點(diǎn)F2的距離為5，則點(diǎn)P到其左準(zhǔn)線的距離為

．

參考答案： 15.函數(shù)的定義域內(nèi)可導(dǎo)，若，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則的大小關(guān)系為

參考答案：16.在[0，1]上的最大值與最小值之和為a，則a的值為_(kāi)___________.參考答案：略17.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校200名學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行調(diào)查，將收集到的數(shù)據(jù)分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六組，并作出頻率分布直方圖（如圖）．將日均課外體育鍛煉時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生評(píng)價(jià)為“課外體育達(dá)標(biāo)”．（1）請(qǐng)根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的2×2列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？

課外體育不達(dá)標(biāo)課外體育達(dá)標(biāo)合計(jì)男603090女9020110合計(jì)15050200（2）現(xiàn)按照“課外體育達(dá)標(biāo)”與“課外體育不達(dá)標(biāo)”進(jìn)行分層抽樣，抽取12人，再?gòu)倪@12名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參加體育知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查，記“課外體育達(dá)標(biāo)”的人數(shù)為ξ，求ξ得分布列和數(shù)學(xué)期望．附參考公式與數(shù)據(jù)：K2=P（K2≥k0）0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（1）由題意得“課外體育達(dá)標(biāo)”人數(shù)為50，則不達(dá)標(biāo)人數(shù)為150，由此列聯(lián)表，求出K2=，從而得到在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下沒(méi)有理由認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)．（2）由題意得在不達(dá)標(biāo)學(xué)生中抽取的人數(shù)為9人，在達(dá)標(biāo)學(xué)生中抽取人數(shù)為3人，則ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由題意得“課外體育達(dá)標(biāo)”人數(shù)為：200×[（0.02+0.005）×10]=50，則不達(dá)標(biāo)人數(shù)為150，∴列聯(lián)表如下：

課外體育不達(dá)標(biāo)課外體育達(dá)標(biāo)合計(jì)男603090女9020110合計(jì)15050200∴K2==，∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下沒(méi)有理由認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)．（2）由題意得在不達(dá)標(biāo)學(xué)生中抽取的人數(shù)為：12×=9人，在達(dá)標(biāo)學(xué)生中抽取人數(shù)為：12×=3人，則ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列為：ξ0123PE（ξ）==．19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，數(shù)列滿足（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（Ⅱ）記，求。參考答案：解：(Ⅰ)所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列6分(Ⅱ)12分略20.（本小題滿分14分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且（）．求，；若，，（）是等比數(shù)列的前三項(xiàng)，設(shè)，求．參考答案：（1），；（2）.

從而得到公差d，即代入到和的公式中即可得到；第二問(wèn)，先利用等比中項(xiàng)解出k的值，而，，得到數(shù)列的第一項(xiàng)和公比，從而得到的通項(xiàng)公式，代入中，利用錯(cuò)位相減法求，計(jì)算過(guò)程中利用求和.試題解析：（1）．

，又，故；又，故，得；等差數(shù)列的公差．.……3分所以,

．.…………..5分等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為．所以．.…….………..9分．…………12分．．.………………14分考點(diǎn)：等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法.21.（13分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a，其中a∈N*，，集合A={x|x=an，n=1，2，3，…}．（I）若a=4，寫(xiě)出集合A中的所有的元素；（II）若a≤2014，且數(shù)列{an}中恰好存在連續(xù)的7項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，求a的所有可能取值構(gòu)成的集合；（III）求證：1∈A．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等比關(guān)系的確定．【專(zhuān)題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）由a1=a=4，利用遞推關(guān)系依次求出a2，a3，a5，a6，a7，發(fā)現(xiàn)a6以后的值與前6項(xiàng)中的值重復(fù)出現(xiàn)，由此可知集合A中共有6個(gè)元素；（Ⅱ）設(shè)出數(shù)列中的一項(xiàng)為ak，若ak是3的倍數(shù)，則有；若ak是被3除余1，由遞推關(guān)系得到；若ak被3除余2，由遞推關(guān)系得到．說(shuō)明構(gòu)成的連續(xù)7項(xiàng)成等比數(shù)列的公比為，結(jié)合數(shù)列遞推式得到ak符合的形式，再保證滿足ak≤2014即能求出答案；（Ⅲ）分ak被3除余1，ak被3除余2，ak被3除余0三種情況討論，借助于給出的遞推式得到數(shù)列{an}中必存在某一項(xiàng)am≤3，然后分別由am=1，am=2，am=3進(jìn)行推證，最終證得1∈A．【解答】（I）解：∵a1=a=4，∴a2=a1+1=5，a3=a2+1=6，，a5=a4+1=3，，a7=a6+1=2，…∴集合A的所有元素為：4，5，6，2，3，1；（II）解：不妨設(shè)數(shù)列中的一項(xiàng)為ak，如果ak是3的倍數(shù)，則；如果ak是被3除余1，則由遞推關(guān)系可得ak+2=ak+2，∴ak+2是3的倍數(shù)，∴；如果ak被3除余2，則由遞推關(guān)系可得ak+1=ak+1，∴ak+1是3的倍數(shù)，∴．∴該7項(xiàng)等比數(shù)列的公比為．又∵，∴這7項(xiàng)中前6項(xiàng)一定都是3的倍數(shù)，而第7項(xiàng)一定不是3的倍數(shù)（否則構(gòu)成等比數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)數(shù)會(huì)多于7項(xiàng)），設(shè)第7項(xiàng)為p，則p是被3除余1或余2的正整數(shù)，則可推得．∵36＜2014＜37，∴或．由遞推關(guān)系式可知，在該數(shù)列的前k﹣1項(xiàng)中，滿足小于2014的各項(xiàng)只有：ak﹣1=36﹣1，或2×36﹣1，ak﹣2=36﹣2，或2×36﹣2，∴首項(xiàng)a的所有可能取值的集合為：{36，2×36，36﹣1，2×36﹣1，36﹣2，2×36﹣2}．（III）證明：若ak被3除余1，則由已知可得ak+1=ak+1，；若ak被3除余2，則由已知可得ak+1=ak+1，，；若ak被3除余0，則由已知可得，；∴，∴∴對(duì)于數(shù)列{an}中的任意一項(xiàng)ak，“若ak＞3，則ak＞ak+3”．∵，∴ak﹣ak+3≥1