量子力學(xué)課件第八章

量子力學(xué)課件第八章§1全同粒子的特性§2全同粒子體系波函數(shù)泡利原理§3兩個電子的自旋波函數(shù)§4氦原子(微擾法)§5自洽場教學(xué)內(nèi)容返回第2頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（一）全同粒子和全同性原理

（二）波函數(shù)的對稱性質(zhì)

（三）波函數(shù)的對稱性不隨時間變化（四）Fermi子和Bose子§1全同粒子的特性返回第3頁,共66頁，2024年2月25日，星期天1全同粒子質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。2經(jīng)典粒子的可區(qū)分性經(jīng)典力學(xué)中，固有性質(zhì)完全相同的兩個粒子，是可以區(qū)分的。因為二粒子在運動中，有各自確定的軌道，在任意時刻都有確定的位置和速度?？膳袛嗄膫€是第一個粒子哪個是第二個粒子1212（一）全同粒子和全同性原理第4頁,共66頁，2024年2月25日，星期天3微觀粒子的不可區(qū)分性微觀粒子運動服從量子力學(xué)用波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū)粒子是不可區(qū)分的4全同性原理全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變。全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。第五條基本假設(shè)第5頁,共66頁，2024年2月25日，星期天1Hamilton算符的對稱性N個全同粒子組成的體系，其Hamilton量為：調(diào)換第i和第j粒子，體系Hamilton量不變。即：（二）波函數(shù)的對稱性質(zhì)表明，N個全同粒子組成的體系的Hamilton量具有交換對稱性，交換任意兩個粒子坐標（qi,qj)后不變。第6頁,共66頁，2024年2月25日，星期天2對稱和反對稱波函數(shù)考慮全同粒子體系的含時Schrodinger方程將方程中（qi,qj)調(diào)換，得：由于Hamilton量對于（qi,qj)調(diào)換不變第7頁,共66頁，2024年2月25日，星期天表明：（qi,qj)調(diào)換前后的波函數(shù)都是Schrodinger方程的解。根據(jù)全同性原理：描寫同一狀態(tài)。因此，二者相差一常數(shù)因子。第8頁,共66頁，2024年2月25日，星期天再做一次（qi,qj)調(diào)換對稱波函數(shù)第9頁,共66頁，2024年2月25日，星期天反對稱波函數(shù)引入粒子坐標交換算符第10頁,共66頁，2024年2月25日，星期天全同粒子體系波函數(shù)的這種對稱性不隨時間變化，即初始時刻是對稱的，以后時刻永遠是對稱的；初始時刻是反對稱的，以后時刻永遠是反對稱的。證明:方法I設(shè)全同粒子體系波函數(shù)

s在t時刻是對稱的，由體系哈密頓量是對稱的，所以H

s在t時刻也是對稱的。（三）波函數(shù)的對稱性不隨時間變化第11頁,共66頁，2024年2月25日，星期天在t+dt時刻，波函數(shù)變化為對稱對稱二對稱波函數(shù)之和仍是對稱的依次類推，在以后任何時刻，波函數(shù)都是對稱的。同理可證：t時刻是反對稱的波函數(shù)

a，在t以后任何時刻都是反對稱的。第12頁,共66頁，2024年2月25日，星期天方法II全同粒子體系哈密頓量是對稱的結(jié)論：描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，其對稱性不隨時間改變。如果體系在某一時刻處于對稱（或反對稱）態(tài)上，則它將永遠處于對稱（或反對稱）態(tài)上。第13頁,共66頁，2024年2月25日，星期天實驗表明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對稱性是完全確定的，而且該對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。（1）Bose子凡自旋為

整數(shù)倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換2個粒子總是對稱的，遵從Bose統(tǒng)計，故稱為Bose子如：

光子（s=1）；

介子（s=0）。（四）Fermi子和Bose子第14頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（2）Fermi子凡自旋為

半奇數(shù)倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換2個粒子總是反對稱的，遵從Fermi統(tǒng)計，故稱為Fermi子。例如：電子、質(zhì)子、中子（s=1/2）等粒子。第15頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（3）由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子如：

粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所討論的過程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類 全同粒子來處理。偶數(shù)個Fermi子組成奇數(shù)個Fermi子組成奇數(shù)個Fermi子組成第16頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（一）2個全同粒子波函數(shù)（二）N個全同粒子體系波函數(shù)（三）Pauli原理§2全同粒子體系波函數(shù) Pauli原理返回第17頁,共66頁，2024年2月25日，星期天I2個全同粒子Hamilton量II單粒子波函數(shù)（一）2個全同粒子波函數(shù)不考慮粒子間的相互作用第18頁,共66頁，2024年2月25日，星期天III交換簡并粒子1在i態(tài)，粒子2在j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：驗證：第19頁,共66頁，2024年2月25日，星期天粒子1在i態(tài)，粒子2在j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：粒子2在i態(tài)，粒子1在j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：第20頁,共66頁，2024年2月25日，星期天IV滿足對稱條件波函數(shù)的構(gòu)成全同粒子體系要滿足對稱性條件，而

(q1,q2)和

(q2,q1)僅當(dāng)i=j二態(tài)相同時，才是一個對稱波函數(shù)；當(dāng)i

j二態(tài)不同時，既不是對稱波函數(shù)，也不是反對稱波函數(shù)。所以

(q1,q2)和

(q2,q1)不能用來描寫全同粒子體系。構(gòu)造具有對稱性的波函數(shù)C為歸一化系數(shù)顯然

S(q1,q2)和

A(q1,q2)都是H的本征函數(shù)，本征值皆為：第21頁,共66頁，2024年2月25日，星期天V

S

和

A

的歸一化

若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的，則

(q1,q2)和

(q2,

q1)也是正交歸一化的證明：首先證明同理：第22頁,共66頁，2024年2月25日，星期天而同理：第23頁,共66頁，2024年2月25日，星期天然后考慮

S

和

A歸一化則歸一化的

S第24頁,共66頁，2024年2月25日，星期天歸一化的

S同理對

A有：上述討論是適用于二粒子間無相互作用的情況，當(dāng)粒子間有互作用時，但是下式仍然成立歸一化的

S

A依舊因H的對稱性第25頁,共66頁，2024年2月25日，星期天1Schrodinger方程的解上述對2個全同粒子的討論可以推廣到N個全同粒子體系，設(shè)粒子間無互作用，單粒子H0

不顯含時間，則體系單粒子本征方程：（二）N個全同粒子體系波函數(shù)第26頁,共66頁，2024年2月25日，星期天2Bose子體系和波函數(shù)對稱化2個Bose子體系，其對稱化波函數(shù)是：1，2粒子在i，j態(tài)中的一種排列N個Bose子體系，其對稱化波函數(shù)可類推是：N個粒子在i，j…k態(tài)中的一種排列歸一化系數(shù)對各種可能排列p求和nk

是單粒子態(tài)

k

上的粒子數(shù)第27頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例:N=3Bose子體系,，設(shè)有三個單粒子態(tài)分別記為

1、

2

、

3

，求：該體系對稱化的波函數(shù)。I。n1=n2=n3=1II。n1=3，n2=n3=0n2=3，n1=n3=0n3=3，n2=n1=0第28頁,共66頁，2024年2月25日，星期天III。n1=2，n2=1，n3=0。

另外還有5種可能的狀態(tài)，分別是：n1=1，n2=0，n3=2第29頁,共66頁，2024年2月25日，星期天n1=0，n2=1，n3=2n1=0，n2=2，n3=1n1=1，n2=2，n3=0n1=2，n2=0，n3=1第30頁,共66頁，2024年2月25日，星期天附注：關(guān)于重復(fù)組合問題從m個不同元素中每次取n個元素（元素可重復(fù)選?。┎还芘帕许樞驑?gòu)成一組稱為重復(fù)組合，記為：（m可大于、等于或小于n）重復(fù)組合與通常組合不同，其計算公式為：通常組合計算公式：第31頁,共66頁，2024年2月25日，星期天重復(fù)組合計算公式表明：從m個不同元素中每次取n個元素的重復(fù)組合的種數(shù)等于從（m+n-1）個不同元素中每次取n個元素的普通組合的種數(shù)。應(yīng)用重復(fù)組合，計算全同Bose子體系可能狀態(tài)總數(shù)是很方便的。如上例，求體系可能狀態(tài)總數(shù)的問題實質(zhì)上就是一個從3個狀態(tài)中每次取3個狀態(tài)的重復(fù)組合問題。通常組合計算公式：第32頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（3）Fermi子體系和波函數(shù)反對稱化2個Fermi子體系，其反對稱化波函數(shù)是：行列式的性質(zhì)保證了波函數(shù)反對稱化推廣到N個Fermi子體系：第33頁,共66頁，2024年2月25日，星期天兩點討論:I。行列式展開后，每一項都是單粒子波函數(shù)乘積形式，因而

A是本征方程H

=E

的解.II。交換任意兩個粒子，等價于行列式中相應(yīng)兩列對調(diào)，由行列式性質(zhì)可知，行列式要變號，故是反對稱化波函數(shù)。此行列式稱為Slater行列式。第34頁,共66頁，2024年2月25日，星期天1二Fermi子體系其反對稱化波函數(shù)為：若二粒子處于相同態(tài)，例如都處于i態(tài)，則寫成Slater行列式兩行相同，行列式為0（三）Pauli原理第35頁,共66頁，2024年2月25日，星期天如果N個單粒子態(tài)

i

j……

k

中有兩個相同，則行列式中有兩行相同，于是行列式為0，即上述討論表明，NFermi子體系中，不能有2個或2個以上Fermi子處于同一狀態(tài)，這一結(jié)論稱為Pauli不相容原理。波函數(shù)的反對稱化保證了全同F(xiàn)ermi子體系的這一重要性質(zhì)。2NFermi子體系第36頁,共66頁，2024年2月25日，星期天3無自旋—軌道相互作用情況在無自旋—軌道相互作用情況，或該作用很弱，從而可略時，體系總波函數(shù)可寫成空間波函數(shù)與自旋波函數(shù)乘積形式：若是Fermi子體系，則

應(yīng)是反對稱化的。兩種情況，反對稱化可分別由

和

的對稱性保證:I。

對稱，

反對稱；II。

反對稱，

對稱。若是Bose子體系，則

應(yīng)是對稱化的,可類似討論。第37頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（一）二電子自旋波函數(shù)的構(gòu)成（二）總自旋S2，SZ算符的本征函數(shù)（三）二電子自旋波函數(shù)的再解釋§3兩電子自旋波函數(shù)返回第38頁,共66頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)體系Hamilton量不含二電子自旋相互作用項時，二電子自旋波函數(shù)單電子自旋波函數(shù)可構(gòu)成4種相互獨立的二電子自旋波函數(shù)：由此又可構(gòu)成4組具有一定對稱性的二電子自旋波函數(shù)：（一）二電子自旋波函數(shù)的構(gòu)成第39頁,共66頁，2024年2月25日，星期天可構(gòu)成4種相互獨立二電子自旋波函數(shù)：由此又可構(gòu)成4組具有一定對稱性的二電子自旋波函數(shù)：對稱波函數(shù)反對稱波函數(shù)第40頁,共66頁，2024年2月25日，星期天1總自旋算符：（二）總自旋S2，SZ

算符的本征函數(shù)第41頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第42頁,共66頁，2024年2月25日，星期天2

S

A是S2SZ的本征函數(shù)：證明：第43頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第44頁,共66頁，2024年2月25日，星期天計算表明，

sI

是S2和SZ的本征函數(shù)，其本征值分別為2

2和

。相應(yīng)的自旋角動量量子數(shù)S=1，自旋磁量子數(shù)mZ=1第45頁,共66頁，2024年2月25日，星期天同理可求得：上述結(jié)果表明：自旋平行態(tài)自旋反平行態(tài)第46頁,共66頁，2024年2月25日，星期天二電子體系的波函數(shù)為：空間運動波函數(shù)為：反對稱波函數(shù)為:反對稱波函數(shù)為:第47頁,共66頁，2024年2月25日，星期天下面從兩個角動量耦合的觀點對二電子波函數(shù)作一解釋，以加深對此問題的理解。單電子自旋波函數(shù)（1）無耦合表象（2）耦合表象耦合表象基矢（三）二電子自旋波函數(shù)的再解釋第48頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（3）二表象基矢間的關(guān)系耦合表象基矢按無耦合表象基矢展開C—G系數(shù)第49頁,共66頁，2024年2月25日，星期天S=1,ms=1,0,-1ms=1第50頁,共66頁，2024年2月25日，星期天ms=0ms=-1第51頁,共66頁，2024年2月25日，星期天

S=0,ms=0第52頁,共66頁，2024年2月25日，星期天盡管氦原子在結(jié)構(gòu)上的簡單程度僅次于氫原子，但是對氦原子能級的解釋，Bohr理論遇到了嚴重的困難。其根本原因是在二電子情況下，必須考慮電子的自旋和Pauli不相容原理。（一）氦原子Hamilton量（二）微擾法下氦原子的能級和波函數(shù)

（三）討論§4氦原子（微擾法）返回第53頁,共66頁，2024年2月25日，星期天由于H中不含自旋變量，所以氦原子定態(tài)波函數(shù)可寫成空間坐標波函數(shù)和自旋波函數(shù)乘積形式：空間坐標波函數(shù)滿足定態(tài)Schrodinger方程（一）氦原子Hamilton量第54頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（1）零級和微擾Hamilton量H(0)

是2個類氫原子Hamilton量之和，有本征方程：有解：（二）微擾法下氦原子的能級和波函數(shù)第55頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（2）對稱和反對稱的零級本征函數(shù)對稱本征函數(shù)反對稱本征函數(shù)零級近似能量（3）基態(tài)能量的修正第56頁,共66頁，2024年2月25日，星期天基態(tài)0級近似波函數(shù)基態(tài)能量一級修正氦原子基態(tài)能量誤差為5.3%計算結(jié)果不好的原因是微擾項與其他勢相比并不算小。第57頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（4）激發(fā)態(tài)能量一級修正對激發(fā)態(tài)，設(shè)二電子處于不同能級（m

n）。KJJK所以，近似到一級修正本征能量第58頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（5）氦原子波函數(shù)由于電子是Fermi子，所以氦原子波函數(shù)必為反對稱波函數(shù)：

I——單態(tài)，稱為仲氦，基態(tài)是仲氦。

II——三重態(tài)，稱為正氦。第59頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（6）K、J的物理意義交換電荷密度直接能,靜電庫侖作用能量,>0交換能,也是靜電庫侖作用能量第一個電子處于

n(r1)態(tài)的電荷密度第二個電子處于

m(r2)態(tài)的電荷密度第60頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（1）交換能是量子力學(xué)效應(yīng)K、J都是由電子的庫侖作用而來，微擾能分為二部分，交換能的出現(xiàn)，本質(zhì)上講是由于描寫全同粒子體系的波函數(shù)必須具有某種對稱性的緣故。正是波函數(shù)的對稱化和反對稱化產(chǎn)生了交換能，所以，交換能的出現(xiàn)是量子力學(xué)中特有的結(jié)果。（三）討論第61頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（2）交換能（交換勢）J與交換密度

mn有關(guān)，所以交換勢的大小取決于m態(tài)和n態(tài)波函數(shù)

m、

n

的重疊程度。如果|

m|2

、|

n|2分別集中在空間不同區(qū)域，則交換勢就很小，交換效應(yīng)就不明顯。第62頁,