2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)素養(yǎng)提升第7章立體幾何第4講空間直線平面垂直的判定與性質(zhì)

直線與平面平行、垂直判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用1.(多選題)(2024·云南大理統(tǒng)測)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝eq\r(2)，P為線段BC1上的動點，則下列說法正確的是(ABD)A．B1D⊥A1PB．DP∥平面AB1D1C．三棱錐P－ACD1的體積為定值eq\r(2)D．A1P＋PC的最小值為eq\r(3)＋1[解析]由正方體性質(zhì)易知B1D⊥平面A1BC1，又A1P?平面A1BC1，∴B1D⊥A1P，故A正確；由平面BDC1∥平面AB1D1，DP?平面BDC1，∴DP∥平面AB1D1，故B正確；∵AD1∥BC1，AD1?平面ACD1，BC1?平面ACD1，∴BC1∥平面ACD1，∴點P到平面ACD1的距離等于點B到平面ACD1的距離，∴VP－ACD1＝VB－ACD1＝VD1－ACB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3)，故C錯誤；將平面A1BC1和平面BCC1沿直線BC1展開為一個平面，如圖：△A1BC1是正三角形，△BCC1是等腰直角三角形，且BC1＝2，BC＝eq\r(2)，∠A1C1C＝105°，A1C2＝A1Ceq\o\al(2,1)＋CCeq\o\al(2,1)－2·A1C1·CC1·cos∠A1C1C＝4＋2－2×2×eq\r(2)×eq\f(\r(2)－\r(6),4)＝4＋2eq\r(3)，∴A1C＝eq\r(3)＋1，即A1P＋PC的最小值為eq\r(3)＋1，故D正確．故選ABD.2.(2024·江蘇揚(yáng)州高郵期初測試(節(jié)選))如圖，在多面體ABCDE中，AB⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD，其中△ECD是邊長為2的正三角形，△BCD是以∠BDC為直角的等腰三角形．證明：AB∥平面CDE.[證明]取CD的中點F，連接EF，由EC＝ED知EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD，∴EF⊥平面BCD.又∵AB⊥平面BCD，∴AB∥EF.∵AB?平面ECD，EF?平面ECD.∴AB∥平面CDE.名師點撥：空間兩點“路徑”最短問題通常“展平”化為兩點間距離問題．【變式訓(xùn)練】(2024·陜西漢中模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M，N分別為AC，A1B的中點，則下列說法中不正確的是(D)A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．MN與CC1所成角為45°D．MN⊥平面ACD1[解析]連接BD，A1D，則M為BD的中點，又N為BA1的中點，∴MN∥A1D，從而MN∥平面ADD1A1，A正確；又AB⊥平面ADD1A1，∴AB⊥A1D，從而AB⊥MN，B正確；∠AA1D＝45°為MN與CC1所