324527792、微專題：任意角的正弦 余弦 正切 余切-講義-2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第二冊(cè)

【學(xué)生版】微專題：任意角的正弦余弦正切余切1、任意角α的正弦、余弦、正切、余切對(duì)于任意角α來(lái)說(shuō)，設(shè)P(x，y)是α終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，，稱為角α的正弦，記作sinα；稱為角α的余弦，記作cosα，因此sinα＝，cosα＝;當(dāng)角α的終邊不在y軸上時(shí)，稱為角α的正切，記作tanα，即tanα＝，稱為角α的正切，記作cotα，即cot＝；角α的正弦、余弦、正切、余切都稱為α的三角函數(shù)；還有正割（）、余割（α）；【注意】（1），其中，，；其中，（2）正弦、余弦、正切、余切在各象限的符號(hào)口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”；2、單位圓與三角函數(shù)線（1）一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)滿足x2＋y2＝1的點(diǎn)組成的集合稱為單位圓；（2）正弦線、余弦線與正切線如果角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為.正弦線與余弦線：過(guò)角α終邊與單位圓的交點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，當(dāng)eq\o(OM,\s\up6(→))的方向與x軸的正方向相同時(shí)，表示cosα是正數(shù)，且cosα＝，當(dāng)eq\o(OM,\s\up6(→))的方向與x軸的正方向相反時(shí)，表示cosα是負(fù)數(shù)，且cosα＝－，稱為角α的余弦線，類似地，eq\o(MP,\s\up6(→))可以直觀的表示sinα，稱為角α的正弦線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線【典例】考點(diǎn)1、三角比數(shù)的定義例1、已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求：的值?！咎崾尽俊敬鸢浮俊窘馕觥俊菊f(shuō)明】考點(diǎn)2、三角比的符號(hào)例2、已知，，判斷的符號(hào)考點(diǎn)3、單位圓例3、已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，則sinα·tanα等于()A．－eq\f(\r(3),3)B．±eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(3,2)D．±eq\f(3,2)【提示】【答案】【解析】方法1、方法2、【說(shuō)明】考點(diǎn)4、用三角函數(shù)線證明三角不等式例4、若，證明：（1）；（2）；考點(diǎn)5、用三角函數(shù)線解三角不等式例5、滿足的角的集合為【歸納】1、任意角的正弦、余弦、正切與余切（1）一般地，設(shè)角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，則；（2）在任意角的三角比的定義中，應(yīng)該明確：是一個(gè)任意角，其范圍是使比值有意義的實(shí)數(shù)集（弧度制）；（3）三角比是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和所在中邊上的位置無(wú)關(guān)，而由角的終邊位置決定；（4）要明確是一個(gè)整體，不是與的乘積，它是“正弦比”的一個(gè)記號(hào)，就如表示自變量為x的函數(shù)一樣，離開(kāi)自變量的“”、“”、“”、“”比值沒(méi)有意義的；2、對(duì)任意角的正弦、余弦、正切與余切的理解（1）正弦、余弦、正切與余切的限制條件三角函數(shù)定義域RR（2）正弦、余弦、正切與余切的符號(hào)規(guī)則根據(jù)三角比的定義以及單位圓上點(diǎn)的位置（在哪個(gè)象限）可得正弦、余弦、正切、余切在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)的符號(hào)規(guī)律概括為下面口訣：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思為：第一象限各三角函數(shù)值均為正；第二象限只有正弦值為正，其余均為負(fù)；第三象限只有正切值為正，其余均為負(fù)；第四象限只有余弦值為正，其余均為負(fù)；（3）單位圓與三角函數(shù)線定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)．設(shè)角α終邊與單位圓交于P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三角函數(shù)線可以看作是三角比的幾何表示：正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線；【即時(shí)練習(xí)】1、已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)2、(2018·北京)在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊，若tanα<cosα<sinα，則P所在的圓弧是()A.B.C.D.3、已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－4)，則sinα＋eq\f(1,cosα)等于4、設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是第象限角；5、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\f(4,5)，則cosα＝________.6、已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是7、已知點(diǎn)M在角θ終邊的反向延長(zhǎng)線上，且|OM|＝2，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為8、利用單位圓中的三角函數(shù)線確定滿足的角的取值范圍為9、若角θ的終邊過(guò)點(diǎn)P(－4a,3a)(a≠0)．（1）求sinθ＋cosθ的值；（2）試判斷cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號(hào)．10、將圖（1）中所示的摩天輪抽象成圖（2）所示的平面圖形，然后以摩天輪轉(zhuǎn)輪中心為原點(diǎn)，以水平線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P到底面的高OT為（m），點(diǎn)P為轉(zhuǎn)輪邊緣上任意一點(diǎn)，轉(zhuǎn)輪半徑OP為r（m）記以O(shè)P為終邊的角為，點(diǎn)P離底面的高度為h（m），試用表示【教師版】微專題：任意角的正弦余弦正切余切1、任意角α的正弦、余弦、正切、余切對(duì)于任意角α來(lái)說(shuō)，設(shè)P(x，y)是α終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，，稱為角α的正弦，記作sinα；稱為角α的余弦，記作cosα，因此sinα＝，cosα＝;當(dāng)角α的終邊不在y軸上時(shí)，稱為角α的正切，記作tanα，即tanα＝，稱為角α的正切，記作cotα，即cot＝；角α的正弦、余弦、正切、余切都稱為α的三角函數(shù)；還有正割（）、余割（α）；【注意】（1），其中，，；其中，（2）正弦、余弦、正切、余切在各象限的符號(hào)口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”；2、單位圓與三角函數(shù)線（1）一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)滿足x2＋y2＝1的點(diǎn)組成的集合稱為單位圓；（2）正弦線、余弦線與正切線如果角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為.正弦線與余弦線：過(guò)角α終邊與單位圓的交點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，當(dāng)eq\o(OM,\s\up6(→))的方向與x軸的正方向相同時(shí)，表示cosα是正數(shù)，且cosα＝，當(dāng)eq\o(OM,\s\up6(→))的方向與x軸的正方向相反時(shí)，表示cosα是負(fù)數(shù)，且cosα＝－，稱為角α的余弦線，類似地，eq\o(MP,\s\up6(→))可以直觀的表示sinα，稱為角α的正弦線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線【典例】考點(diǎn)1、三角比數(shù)的定義例1、已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求：的值?！咎崾尽坑扇潜鹊亩x求得：、；【答案】或；【解析】若，，，點(diǎn)在第四象限；；所以，,，則；若，，，點(diǎn)在第二象限；.所以，，，則；【說(shuō)明】本題主要為了利用三角比，得先求；由此，“遇到問(wèn)題，引出討論”，因的符號(hào)不確定，所以要對(duì)字母進(jìn)行討論；分：當(dāng)，點(diǎn)在第四象限，當(dāng)，點(diǎn)在第二象限；屬“依據(jù)三角比定義求解”的必須步驟；【注意問(wèn)題】①對(duì)于不同象限的角，求其三角函數(shù)值時(shí)，要分象限進(jìn)行討論；②終邊在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何象限；考點(diǎn)2、三角比的符號(hào)例2、已知，，判斷的符號(hào)【提示】注意：三角比的符號(hào)與終邊相同角的表示之間的溝通；【解析】因?yàn)?，，，所以，是第二象限角，；則；當(dāng)，，是第一象限角，；當(dāng)，，是第三象限角，，所以，必為正數(shù)；【說(shuō)明】本題說(shuō)明三角比的符號(hào)與象限角以及象限角的研究過(guò)程、方法有密切聯(lián)系；往往與分類討論、數(shù)形結(jié)合進(jìn)行交匯；考點(diǎn)3、單位圓例3、已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，則sinα·tanα等于()A．－eq\f(\r(3),3)B．±eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(3,2)D．±eq\f(3,2)【提示】注意：三角比只與終邊有關(guān)以及題設(shè)中的“單位圓”；【答案】C；【解析】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由OP2＝eq\f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq\f(3,4)，y＝±eq\f(\r(3),2).方法1、當(dāng)y＝eq\f(\r(3),2)時(shí)，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，此時(shí)，sinα·tanα＝－eq\f(3,2)；當(dāng)y＝－eq\f(\r(3),2)時(shí)，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\r(3)，此時(shí)，sinα·tanα＝－eq\f(3,2)；所以，sinα·tanα＝－eq\f(3,2)；方法2、由三角函數(shù)定義知，cosα＝－eq\f(1,2)，sinα＝y(tǒng)，所以sinαtanα＝sinαeq\f(sinα,cosα)＝eq\f(sin2α,cosα)＝eq\f(y2,－\f(1,2))＝eq\f(\f(3,4),－\f(1,2))＝－eq\f(3,2)；【說(shuō)明】本題考查了利用單位圓，挖掘隱含條件“OP2＝eq\f(1,4)＋y2＝1”；同時(shí)，說(shuō)明：對(duì)于三角若干種三角比的求值、化簡(jiǎn)題，有時(shí)“先化簡(jiǎn)后求值”、“用好三角比的定義”，可以更簡(jiǎn)潔明了；考點(diǎn)4、用三角函數(shù)線證明三角不等式例4、若，證明：（1）；（2）；【提示】注意：結(jié)合三角函數(shù)線的幾何意義；【證明】如圖，設(shè)角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作圓的切線交OP的延長(zhǎng)線于T，過(guò)P作PM⊥OA于M，連接AP，則（1）在Rt△POM中，sinα＝MP，cosα＝OM，OP＝1，因?yàn)?，在Rt△POM中，MP+OM＞OP，所以，sinα+cosα＞1；（2）在Rt△AOT中，tanα＝AT，又根據(jù)弧度制的定義，有eq\o\ac(AP,\s\up10(︵))＝α·OP＝α.根據(jù)圖形，得S△POA<S扇形POA<S△AOT，即eq\f(1,2)OA·MP<eq\f(1,2)eq\o\ac(AP,\s\up10(︵))·OA<eq\f(1,2)OA·AT，所以MP<eq\o\ac(AP,\s\up10(︵))<AT，即0<sinα<α<tanα；【說(shuō)明】通過(guò)本題說(shuō)明：對(duì)于涉及多種三角比或單位為弧度的角之間關(guān)系時(shí)；用好三角函數(shù)線既可將解決的問(wèn)題統(tǒng)一與等價(jià)轉(zhuǎn)化；考點(diǎn)5、用三角函數(shù)線解三角不等式例5、滿足的角的集合為【提示】注意：在單位圓中用三角函數(shù)線直觀表示；【答案】；【解析】作直線交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為；【說(shuō)明】通過(guò)本例說(shuō)明：用好三角函數(shù)線可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合“直觀”解三角方程與三角不等式；特別注意：利用三角函數(shù)線解三角不等式時(shí)要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性正確寫出角的范圍；【歸納】1、任意角的正弦、余弦、正切與余切（1）一般地，設(shè)角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，則；（2）在任意角的三角比的定義中，應(yīng)該明確：是一個(gè)任意角，其范圍是使比值有意義的實(shí)數(shù)集（弧度制）；（3）三角比是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和所在中邊上的位置無(wú)關(guān)，而由角的終邊位置決定；（4）要明確是一個(gè)整體，不是與的乘積，它是“正弦比”的一個(gè)記號(hào)，就如表示自變量為x的函數(shù)一樣，離開(kāi)自變量的“”、“”、“”、“”比值沒(méi)有意義的；2、對(duì)任意角的正弦、余弦、正切與余切的理解（1）正弦、余弦、正切與余切的限制條件三角函數(shù)定義域RR（2）正弦、余弦、正切與余切的符號(hào)規(guī)則根據(jù)三角比的定義以及單位圓上點(diǎn)的位置（在哪個(gè)象限）可得正弦、余弦、正切、余切在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)的符號(hào)規(guī)律概括為下面口訣：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思為：第一象限各三角函數(shù)值均為正；第二象限只有正弦值為正，其余均為負(fù)；第三象限只有正切值為正，其余均為負(fù)；第四象限只有余弦值為正，其余均為負(fù)；（3）單位圓與三角函數(shù)線定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)．設(shè)角α終邊與單位圓交于P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三角函數(shù)線可以看作是三角比的幾何表示：正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線；【即時(shí)練習(xí)】1、已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)【答案】C；【解析】由題意得點(diǎn)P(－8m，－3)，r＝eq\r(64m2＋9)，所以cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，所以m＝eq\f(1,2).2、(2018·北京)在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊，若tanα<cosα<sinα，則P所在的圓弧是()A.B.C.D.【答案】C；【解析】方法1、由題意知，四段弧是單位圓上的第一、二、三象限的弧，在上，tanα>sinα，不滿足；在上，tanα>sinα，不滿足；在上，sinα>0，cosα<0，tanα<0，且cosα>tanα，滿足；在上，tanα>0，sinα<0，cosα<0，不滿足，故選C；方法2、設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)?，tanα<cosα<sinα，利用三角函數(shù)的定義可得eq\f(y,x)<x<y，所以－1<x<0，0<y<1，所以P所在的圓弧是eq\o(EF,\s\up8(︵))，故選C.3、已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－4)，則sinα＋eq\f(1,cosα)等于【答案】eq\f(13,15)；【解析】因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－4)，所以sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，所以sinα＋eq\f(1,cosα)＝－eq\f(4,5)＋eq\f(5,3)＝eq\f(13,15)；.4、設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是第象限角；【答案】二；【解析】由θ是第三象限角知，eq\f(θ,2)為第二或第四象限角，因?yàn)閑q\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，所以coseq\f(θ,2)<0，綜上可知，eq\f(θ,2)為第二象限角．5、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\f(4,5)，則cosα＝________.【答案】－eq\f(3,5)；【解析】因?yàn)锳點(diǎn)縱坐標(biāo)yA＝eq\f(4,5)，且A點(diǎn)在第二象限，又因?yàn)閳AO為單位圓，所以A點(diǎn)橫坐標(biāo)xA＝－eq\f(3,5)，由三角函數(shù)的定義可得cosα＝－eq\f(3,5)；6、已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】(－2，3]【解析】因?yàn)閏osα≤0，sinα>0，所以，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上．所以，∴；7、已知點(diǎn)M在角θ終邊的反向延長(zhǎng)線上，且|OM|＝2，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為【答案】(－2cosθ，－2sinθ)【解析】由任意角的三角函數(shù)定義，可知角θ的終邊上的點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(2cosθ，2sinθ)，其中|OM′|＝2.因?yàn)閨OM|＝2，所以點(diǎn)M和點(diǎn)M′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－2cosθ，－2sinθ)．8、利用單位圓中的三角函數(shù)線確定滿足的角的取值范圍為【答案】或9、若角θ的終邊過(guò)點(diǎn)P(－4a,3a)(a≠0)．（1）求sinθ＋cosθ的值；（2）試判斷cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號(hào)．【解析】因?yàn)榻铅鹊慕K邊過(guò)點(diǎn)P(－4a,3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，當(dāng)a>0時(shí)，r＝5a，sinθ＋cosθ＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(1,5)；當(dāng)a<0時(shí)，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝eq\f(1,5)；綜上，sinθ＋cosθ＝±eq\f(1,5).（2）當(dāng)a>0時(shí)，sinθ＝eq\f(3,