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2023-2024學(xué)年海北市重點(diǎn)中學(xué)高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列幾何體的三視圖中,恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是()A.正方體 B.球體C.圓錐 D.長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體2.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.一個(gè)正四棱錐形骨架的底邊邊長(zhǎng)為,高為,有一個(gè)球的表面與這個(gè)正四棱錐的每個(gè)邊都相切,則該球的表面積為()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.6.使得的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A. B. C. D.7.在中所對(duì)的邊分別是,若,則()A.37 B.13 C. D.8.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)()A. B. C.2 D.9.已知隨機(jī)變量滿足,,.若,則()A., B.,C., D.,10.設(shè)是虛數(shù)單位,,,則()A. B. C.1 D.211.如圖示,三棱錐的底面是等腰直角三角形,,且,,則與面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.12.已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立,則下列不等式中一定成立的是()A.、B.、C.、D.、二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)為側(cè)棱上任意一點(diǎn),則四棱錐的體積為__________.14.的展開式中,的系數(shù)為_______(用數(shù)字作答).15.已知,在方向上的投影為,則與的夾角為_________.16.已知函數(shù),曲線與直線相交,若存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為,則可取到的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為0.(1)試用含有的式子表示,并討論的單調(diào)性;(2)對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn),,如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn),使得在點(diǎn)處的切線,則稱存在“跟隨切線”.特別地,當(dāng)時(shí),又稱存在“中值跟隨切線”.試問(wèn):函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.18.(12分)已知等差數(shù)列的公差,且,,成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)在本題中,我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù):①的定義域和值域都是;②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).(1)若在區(qū)間上是閉函數(shù),求常數(shù)的值;(2)找出所有形如的函數(shù)(都是常數(shù)),使其在區(qū)間上是閉函數(shù).20.(12分)在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,且.(1)求角的大??;(2)若,的面積為,求及的值.21.(12分)已知,,.(1)求的最小值;(2)若對(duì)任意,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)若,求的取值范圍;(2)若,對(duì),不等式恒成立,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.【詳解】正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形,球的三個(gè)三視圖都是相等的圓,圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓,另外兩個(gè)是全等的等腰三角形,長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查基本幾何體的三視圖,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.2、C【解析】
結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調(diào),不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn),由此求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】依題意,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第一象限.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
根據(jù)正四棱錐底邊邊長(zhǎng)為,高為,得到底面的中心到各棱的距離都是1,從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示:因?yàn)檎睦忮F底邊邊長(zhǎng)為,高為,所以,到的距離為,同理到的距離為1,所以為球的球心,所以球的半徑為:1,所以球的表面積為.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積,還考查了空間想象的能力,屬于中檔題.5、A【解析】
先利用最高點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A,再根據(jù)求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結(jié)合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問(wèn)題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問(wèn)題要注意結(jié)合五點(diǎn)法作圖求解.屬于中檔題.6、B【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為,若展開式中有常數(shù)項(xiàng),則,解得,當(dāng)r取2時(shí),n的最小值為5,故選B【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.7、D【解析】
直接根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解:∵,∴,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得:,再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量滿足,,.所以服從二項(xiàng)分布,由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得:,因?yàn)?,所以,由二次函?shù)的性質(zhì)可得:,在上單調(diào)遞減,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.10、C【解析】
由,可得,通過(guò)等號(hào)左右實(shí)部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解:,,解得:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對(duì)于復(fù)數(shù)的運(yùn)算類問(wèn)題,易錯(cuò)點(diǎn)是把當(dāng)成進(jìn)行運(yùn)算.11、A【解析】
首先找出與面所成角,根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且,是等邊三角形,設(shè)中點(diǎn)為,連接,,可知,,同時(shí)易知,,所以面,故即為與面所成角,有,故.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
設(shè),利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件,得到,得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增,得到,進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意,設(shè),則,又由,所以,即函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,變形可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用,以及利用單調(diào)性比較大小,其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于中檔試題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依題意得,再求點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【詳解】解:正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,則,點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到直線的距離所以,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查椎體的體積公式,考查運(yùn)算能力,是基礎(chǔ)題.14、60【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng),即可求得的系數(shù).【詳解】因?yàn)?,所以,則所求項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:60【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用,指定項(xiàng)系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由向量投影的定義可求得兩向量夾角的余弦值,從而得角的大?。驹斀狻吭诜较蛏系耐队盀?,即夾角為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角,掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵.16、4【解析】
由于曲線與直線相交,存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為,所以函數(shù)的周期,可得到的取值范圍,再由解出的兩類不同的值,然后列方程求出,再結(jié)合的取值范圍可得的最大值.【詳解】,可得,由,則或,即或,由題意得,所以,則或,所以可取到的最大值為4.故答案為:4【點(diǎn)睛】此題考查正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用及三角方程的求解,熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),單調(diào)性見(jiàn)解析;(2)不存在,理由見(jiàn)解析【解析】
(1)由題意得,即可得;求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)、、、分類討論,分別求出、的解集即可得解;(2)假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),且,由題意得可得,令(),構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)后證明即可得解.【詳解】(1)由題可得函數(shù)的定義域?yàn)榍?,由,整理?.(?。┊?dāng)時(shí),易知,,時(shí).故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(ⅱ)當(dāng)時(shí),令,解得或,則①當(dāng),即時(shí),在上恒成立,則在上遞增.②當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.③當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),在及上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),在上遞增.當(dāng)時(shí),在及上單調(diào)遞增;在上遞減.(2)滿足條件的、不存在,理由如下:假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),且,則,又,由題可知,整理可得:,令(),構(gòu)造函數(shù)().則,所以在上單調(diào)遞增,從而,所以方程無(wú)解,即無(wú)解.綜上,滿足條件的A、B不存在.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)可構(gòu)造方程求得,由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果;(2)由(1)可得,可知為等比數(shù)列,利用分組求和法,結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)成等比數(shù)列,,即,,解得:,.(2)由(1)得:,,,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、分組求和法求解數(shù)列的前項(xiàng)和的問(wèn)題;關(guān)鍵是能夠根據(jù)通項(xiàng)公式證得數(shù)列為等比數(shù)列,進(jìn)而采用分組求和法,結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式求得結(jié)果.19、(1);(2).【解析】
(1)依據(jù)新定義,的定義域和值域都是,且在上單調(diào),建立方程求解;(2)依據(jù)新定義,討論的單調(diào)性,列出方程求解即可?!驹斀狻浚?)當(dāng)時(shí),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知,在區(qū)間上是增函數(shù),即有,解得;同理,當(dāng)時(shí),有,解得,綜上,。(2)若在上是閉函數(shù),則在上是單調(diào)函數(shù),①當(dāng)在上是單調(diào)增函數(shù),則,解得,檢驗(yàn)符合;②當(dāng)在上是單調(diào)減函數(shù),則,解得,在上不是單調(diào)函數(shù),不符合題意。故滿足在區(qū)間上是閉函數(shù)只有。【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),利用所學(xué)知識(shí)分析解決新定義問(wèn)題。20、(1)(2);【解析】
(1)由代入中計(jì)算即可;(2)由余弦定理可得,所以,由,變形即可得到答案.【詳解】(1)因?yàn)?,可得:,∴,或(舍),∵,?(2)由余弦定理,得所以,故,又,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.21、(1)2;(2).【解析】
(1)化簡(jiǎn)得,所以,展開后利用基本不等式求最小值即可;(2)由(1),原不等式可轉(zhuǎn)化為,討論去絕對(duì)值即可求得的取值范圍.【詳解】(1)∵,,∴,∴.∴.當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí),.(2)由(1)知,,對(duì)任意,都有,∴,即.①當(dāng)時(shí),有,解得;②當(dāng),時(shí),有,解得;③當(dāng)時(shí),有,解得;綜上,,∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用和求解含絕對(duì)值的不
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