天津市河西區(qū)達標名校2024年高三第三次測評數(shù)學試卷含解析

天津市河西區(qū)達標名校2024年高三第三次測評數(shù)學試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若關于的方程恰好有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．若的內角滿足，則的值為（）A． B． C． D．3．已知，則（）A．5 B． C．13 D．4．已知集合A，則集合（）A． B． C． D．5．若與互為共軛復數(shù)，則（）A．0 B．3 C．－1 D．46．的展開式中的系數(shù)為()A．－30 B．－40 C．40 D．507．三國時代吳國數(shù)學家趙爽所注《周髀算經》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用，化簡，得.設勾股形中勾股比為，若向弦圖內隨機拋擲顆圖釘（大小忽略不計），則落在黃色圖形內的圖釘數(shù)大約為（）A． B． C． D．8．已知整數(shù)滿足，記點的坐標為，則點滿足的概率為（）A． B． C． D．9．三棱錐的各個頂點都在求的表面上，且是等邊三角形，底面，，，若點在線段上，且，則過點的平面截球所得截面的最小面積為（）A． B． C． D．10．函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位11．函數(shù)的圖象大致是()A． B．C． D．12．已知雙曲線的一個焦點為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標準方程為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓，直線與圓交于兩點，，若，則弦的長度的最大值為___________.14．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為________.15．一個房間的地面是由12個正方形所組成，如圖所示.今想用長方形瓷磚鋪滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩塊相鄰的正方形，即或，則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有_______種.16．若x，y均為正數(shù)，且，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，直線和直線的極坐標方程分別是（）和（），其中（）.（1）寫出曲線的直角坐標方程；（2）設直線和直線分別與曲線交于除極點的另外點，，求的面積最小值.18．（12分）已知數(shù)列和，前項和為，且，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．19．（12分）已知函數(shù).（1）當時.①求函數(shù)在處的切線方程；②定義其中，求；（2）當時，設，(為自然對數(shù)的底數(shù))，若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.20．（12分）如圖，在平面四邊形中，，，.（1）求；（2）求四邊形面積的最大值.21．（12分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情，在數(shù)學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為（），M為該曲線上的任意一點.（1）當時，求M點的極坐標；（2）將射線OM繞原點O逆時針旋轉與該曲線相交于點N，求的最大值.22．（10分）已知函數(shù)，．（1）若，，求實數(shù)的值．（2）若，，求正實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

討論，，三種情況，求導得到單調區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據圖像得到答案.【詳解】當時，，故，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，且；當時，；當時，，，函數(shù)單調遞減；如圖所示畫出函數(shù)圖像，則，故.故選：.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.2、A【解析】

由，得到，得出，再結合三角函數(shù)的基本關系式，即可求解.【詳解】由題意，角滿足，則，又由角A是三角形的內角，所以，所以，因為，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質，以及三角函數(shù)的基本關系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題，著重考查了推理與計算能力.3、C【解析】

先化簡復數(shù)，再求，最后求即可.【詳解】解：，，故選：C【點睛】考查復數(shù)的運算，是基礎題.4、A【解析】

化簡集合,，按交集定義，即可求解.【詳解】集合，，則.故選:A.【點睛】本題考查集合間的運算，屬于基礎題.5、C【解析】

計算，由共軛復數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復數(shù)概念得：，.故選：C【點睛】本題主要考查了復數(shù)的運算，共軛復數(shù)的概念.6、C【解析】

先寫出的通項公式，再根據的產生過程，即可求得.【詳解】對二項式，其通項公式為的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)與的系數(shù)之和.令，可得的系數(shù)為；令，可得的系數(shù)為；故的展開式中的系數(shù)為.故選：C.【點睛】本題考查二項展開式中某一項系數(shù)的求解，關鍵是對通項公式的熟練使用，屬基礎題.7、A【解析】分析：設三角形的直角邊分別為1，，利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內的概率即可得出結論.解析：設三角形的直角邊分別為1，，則弦為2，故而大正方形的面積為4，小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內的概率為.落在黃色圖形內的圖釘數(shù)大約為.故選：A.點睛：應用幾何概型求概率的方法建立相應的幾何概型，將試驗構成的總區(qū)域和所求事件構成的區(qū)域轉化為幾何圖形，并加以度量．(1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關的幾何概型，只需把這個變量放在數(shù)軸上即可；(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序實數(shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關的幾何概型；(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標系即可建立與體積有關的幾何概型．8、D【解析】

列出所有圓內的整數(shù)點共有37個，滿足條件的有7個，相除得到概率.【詳解】因為是整數(shù)，所以所有滿足條件的點是位于圓（含邊界）內的整數(shù)點，滿足條件的整數(shù)點有共37個，滿足的整數(shù)點有7個，則所求概率為.故選：.【點睛】本題考查了古典概率的計算，意在考查學生的應用能力.9、A【解析】

由題意畫出圖形，求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑，再求出外接球球心到D的距離，利用勾股定理求得過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑，則答案可求.【詳解】如圖，設三角形ABC外接圓的圓心為G，則外接圓半徑AG=,設三棱錐S-ABC的外接球的球心為O，則外接球的半徑R=取SA中點E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1,所以OD=.則過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過點D的平面截球O所得截面的最小面積為故選：A【點睛】本題考查三棱錐的外接球問題，還考查了求截面的最小面積，屬于較難題.10、A【解析】依題意有的周期為.而，故應左移.11、B【解析】

根據函數(shù)表達式,把分母設為新函數(shù),首先計算函數(shù)定義域,然后求導,根據導函數(shù)的正負判斷函數(shù)單調性,對應函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設，，則的定義域為.，當，，單增，當，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡化了運算,同學們還可以用特殊值法等方法進行判斷.12、B【解析】

根據焦點所在坐標軸和漸近線方程設出雙曲線的標準方程，結合焦點坐標求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點在軸上，∴可設雙曲線的方程為，一個焦點為，∴，∴，故的標準方程為.故選：B【點睛】此題考查根據雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

取的中點為M，由可得，可得M在上，當最小時，弦的長才最大.【詳解】設為的中點，，即，即，，.設，則，得.所以，.故答案為：【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的綜合應用，考查學生的邏輯推理、數(shù)形結合的思想，是一道有一定難度的題.14、3【解析】

作出可行域,可得當直線經過點時,取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域（如下圖陰影部分）,聯(lián)立,可求得點,當直線經過點時,.故答案為:3.【點睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結合的數(shù)學思想,屬于基礎題.15、11【解析】

將圖形中左側的兩列瓷磚的形狀先確定，再由此進行分類，在每一類里面又分按兩種形狀的瓷磚的數(shù)量進行分類，在其中會有相同元素的排列問題，需用到“縮倍法”.采用分類計數(shù)原理，求得總的方法數(shù).【詳解】（1）先貼如圖這塊瓷磚，然后再貼剩下的部分，按如下分類：5個：，3個，2個：，1個，4個：，（2）左側兩列如圖貼磚，然后貼剩下的部分：3個：，1個，2個：，綜上，一共有（種）.故答案為：11.【點睛】本題考查了分類計數(shù)原理，排列問題，其中涉及到相同元素的排列，用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.16、4【解析】

由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一：，當且僅當時取等.方法二：因為，所以，所以，當且僅當時取等.故答案為:.【點睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應用,考查學生對基本不等式的靈活使用,難度較易.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）16.【解析】

（1）將極坐標方程化為直角坐標方程即可；（2）利用極徑的幾何意義，聯(lián)立曲線，直線，直線的極坐標方程，得出，利用三角形面積公式，結合正弦函數(shù)的性質，得出的面積最小值.【詳解】（1）曲線：，即化為直角坐標方程為：；（2），即同理∴當且僅當，即（）時取等號即的面積最小值為16【點睛】本題主要考查了極坐標方程化直角坐標方程以及極坐標的應用，屬于中檔題.18、（1），；（2）.【解析】

（1）令求出的值，然后由，得出，然后檢驗是否符合在時的表達式，即可得出數(shù)列的通項公式，并設數(shù)列的公比為，根據題意列出和的方程組，解出這兩個量，然后利用等比數(shù)列的通項公式可求出；（2）求出數(shù)列的前項和，然后利用分組求和法可求出.【詳解】（1）當時，，當時，.也適合上式，所以，.設數(shù)列的公比為，則，由，兩式相除得，，解得，，；（2）設數(shù)列的前項和為，則，.【點睛】本題考查利用求，同時也考查了等比數(shù)列通項的計算，以及分組求和法的應用，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）①；②8079；（2）.【解析】

（1）①時，，，利用導數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線方程．②由，得，由此能求出的值．（2）根據若對任意給定的，，在區(qū)間，上總存在兩個不同的，使得成立，得到函數(shù)在區(qū)間，上不單調，從而求得的取值范圍．【詳解】（1）①∵，∴∴，∴，∵，所以切線方程為.②，.令，則,.因為①,所以②,由①+②得,所以.所以.（2），當時，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減∵，，所以，函數(shù)在上的值域為.因為，，故，，①此時，當變化時、的變化情況如下：—0+單調減最小值單調增∵，，∴對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的，使得成立，當且僅當滿足下列條件，即令，，，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減所以，對任意，有，即②對任意恒成立.由③式解得：④綜合①④可知，當時，對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使成立.【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義、應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、求函數(shù)最值問題，會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調性，會根據函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件．不等式恒成立常轉化為函數(shù)最值問題解決．20、（1）；（2）【解析】

（1）根據同角三角函數(shù)式可求得，結合正弦和角公式求得，即可求得，進而由三角函數(shù)（2）設根據余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，結合三角形面積公式可求得的最大值，即可求得四邊形面積的最大值.【詳解】（1），則由同角三角函數(shù)關系式可得，則，則，所以.（2）設在中由余弦定理可得，代入可得，由基本不等式可知，即，當且僅當時取等號，由三角形面積公式可得，所以四邊形面積的最大值為.【點睛】本題考查了正弦和角公式化簡三角函數(shù)式的應用，余弦定理及不等式式求最值的綜合應用，屬于中檔題.21、（1）點M的極坐標為或（2）【解析】

（1）令，由此求得的值，進而求得點的極坐標.（2）設出兩點的極坐標，利用勾股定理求得的表達式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設點M在極坐標系中的坐標，由，得，∵∴或，所以點M的極坐標為或（2）由題意可設，.由，得，.故時，的最大值為.【點睛】本小題主要考查極坐標的求法，考查極坐標下兩點間距離的計算以及距離最值的求法，屬于中檔題.22、（1）1（2）【解析】

（1）求得和，由，，得，令，令導數(shù)求得函數(shù)的單調性，利用，即可求解．（2）解法一：令，利用導數(shù)求得的單調性，轉化為，令（），利用導數(shù)得到的單調性，分類討論，即