電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算之1-西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院

1第一章 電磁場(chǎng)根本概念§1－1 Maxwell方程組〔一〕maxwell方程微分形式 積分形式全電流定律 ΗJD

Hdl

Dds 〔1-1〕t L

tS t電磁感應(yīng)定律 EB

Edl

Bds 〔1-2〕t tL S 高斯定律 D

dv 〔1-3〕S V磁通連續(xù)性原理 B0電流連續(xù)性方程

Bds0 (1-4)SJdsdv 〔1-5〕說明：

t S V t1〔環(huán)量與旋度，通量與散度之間的關(guān)系、復(fù)數(shù)形式〔可作為穩(wěn)態(tài)場(chǎng)計(jì)算散度、旋度的概念〔描述“點(diǎn)”上電磁場(chǎng)的性質(zhì)。2、方程〔1-1〔1-2〔1-〕是一組獨(dú)立方程，其它兩個(gè)方程可以由此推6〔B、H、E、D、J、是非定解方式，必需加本構(gòu)方程才為定解形式，對(duì)于簡(jiǎn)潔媒質(zhì)，本構(gòu)方程為DE BH JE (1-6)3、材料性質(zhì)材料是均勻的const，const ，const材料是非均勻： x,y,z，x,y,z，x,y,z材料是各向異性：材料參數(shù)用張量形式表示材料為非線性：材料參數(shù)是未知函數(shù)的函數(shù)dD

dB

dJ 〔1-7〕dE dH dE4、直接求解矢量偏微分方程不易：一般矢量方程要轉(zhuǎn)化為標(biāo)量方程才能求〔位函數(shù)簡(jiǎn)潔確定邊界條件，通過位函數(shù)與場(chǎng)量的關(guān)系E BA Hm得到場(chǎng)量?！?－2

A 〔1-8〕t偏微分方程的根本概念〔又分為描述不同物理現(xiàn)象的橢圓型方程、雙曲型方程、拋物型方程及其線性和非線性方程，電磁場(chǎng)問題多為偏微分方程問題。1未知函數(shù)是一元函數(shù)〔即一個(gè)變量的函數(shù)〕的微分方程〔組R、L、C串聯(lián)電路是兩階常系數(shù)非齊次微分方程，cCLd2ucd2t

RC cu ududt c sdu

〔1-9〕對(duì)于一個(gè)nn初始條件解出常數(shù)。2未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，如uux,yt。又分為線性和非線性偏達(dá)式表示。線性偏微分方程 u

設(shè)uu

x,y

ppu,x,y〔u

x,y,

E,x x

E ，y y,x

B,y

ABy

，則2uax2

b2uxy

c2uy2

f0 〔1-10〕fx,y,pdu

eu

rusx ypx,y的函數(shù)，則稱式(1-10)為線性微分方程。非線性微分方程性的微分方程，則都稱為非線性微分方程。如恒定磁場(chǎng)中的定解問題 xxyyzzJ A

如：在電磁場(chǎng)中，假設(shè)c，或媒質(zhì)不均勻時(shí)xyz，均為線性方程。假設(shè)B，或A，則為非線性方程。偏微分方程的分類分方程的不同類型所反映的物理現(xiàn)象。以二元函數(shù)為例，uux,y，y可以是時(shí)間變量t，那么偏微分方程的普遍形式為

a2ub

2u

c2u

f0 fx,y,pdu

rusx2

y2

x y最高階項(xiàng)稱為主部，主部打算著公式所代表的物理特性：2 2 acb2

0

x2

y2

，ac1，b0acb2

0 雙曲型方程，如22x2 y22

0，ac1，b0acb2

0

0，a1，bc0x2 t1、橢圓型方程如泊松方程、拉普拉斯方程

2

2

2

〔

a2

b2

z21 形象比照〕c2特點(diǎn)：全部二階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)同符號(hào)，描述的物理現(xiàn)象：件，沒有初始條件。2、雙曲型方程如波動(dòng)方程

x2

y2

z2

2ut2

0 無損耗，無鼓勵(lì)源〔

a2

y2z2b2

1 形象比照〕播過程，它具有對(duì)時(shí)間可逆的性質(zhì)〔用〔-t〕代入方程后，方程不變〕3、拋物型方程u 2u 2u 2u 如，熱傳導(dǎo)方程a—集中率或?qū)叵禂?shù)

a t

y2

2

f

x,y,z,tH E J渦流方程 2H

t，2E t，2J t〔與雙曲型方程z

x2y2a2 b2

形象比照〕不行逆的性質(zhì)。定解問題1、初值問題空間電磁波傳播問題等。2、邊值問題只有邊界條件，沒有初始條件的定解問題。如靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)、恒定磁場(chǎng)等問題。3瞬態(tài)電磁場(chǎng)問題等。4、解的穩(wěn)定性問題解是穩(wěn)定的。反之稱為不穩(wěn)定解。〔1次課〕§1－3定解問題=泛定方程+定解條件〔初始條件+邊界條件〕靜態(tài)、穩(wěn)態(tài)電磁場(chǎng)中的泛定方程1、靜電場(chǎng)方程靜電場(chǎng)的根本方程 D, E0泊松方程 三維方程

x

x

y

z

z假設(shè)ε是均勻、各向同性介質(zhì)，上式為靜電場(chǎng)方程是橢圓型方程，只有邊值問題。2穩(wěn)態(tài)〔直流〕電流場(chǎng)滿足的根本方程：

—橢圓型方程J0, E0 →E〔從電源正極動(dòng)身到電源負(fù)極終止電位滿足拉普拉斯方程 0 程假設(shè)是均勻、線性、各向同性介質(zhì)，上式為20產(chǎn)生該電流場(chǎng)的源往往需要借助邊界條件引入。3穩(wěn)態(tài)〔直流〕電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)滿足的根本方程HJ, B0, BH標(biāo)量磁位的泊松方程當(dāng)求解區(qū)域內(nèi)J0，那么H0，必定存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，使得Hm依據(jù)B0,BH，上式為拉普拉斯方程 0 —橢圓型方程m上述方程只能用于J0〔見雷銀照教材小。當(dāng)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)存在鐵磁質(zhì)時(shí)，開放后為非線性方程為：

mmx mm

zm0 x

y z 假設(shè)為線性，則為拉普拉斯方程：2 0m假設(shè)磁化強(qiáng)度M，那么代入B0，得到

BHM M0 0 m此時(shí)，媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為 。0

2m

M矢量磁位的泊松方程依據(jù)HJ, B0, BA，有雙旋度方程1AJ取庫倫標(biāo)準(zhǔn)A0，及矢量恒等式AA，得1AJ —矢量泊松方程 1A 1A 1Axxyy

J 假設(shè)為線性、均勻媒質(zhì) 2AJMJm磁矢位A的方程可以寫為真空中的泊松方程2A JJ 0 m交變電磁場(chǎng)中的泛定方程t

0〔下面分段沒有確定的分界限〕緩慢變化緩慢變化(f<10KHz)快速變化準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)電磁波MQS：HJ,B0,EB,D0tHJD,B0EQS：HJD,B0,E0,D0ttEB,D0t場(chǎng)求解時(shí)，電場(chǎng)可以用靜電場(chǎng)的方法求解，然后用上述公式求磁場(chǎng)。1〔拋物型方程〕無視位移電流，MQS場(chǎng)的方程為HJ,B0,EB, D0t由此得到的集中方程為〔對(duì)第一式再取旋度〕 非線性介質(zhì) 1A

AJt

tA 線性介質(zhì) J ， t0假設(shè)為正弦交變場(chǎng)，集中方程為2j ，2j0渦流損耗是引起導(dǎo)體發(fā)熱的主要緣由。2〔雙曲型方程〕一般不考慮非線性問題，由于假設(shè)在鐵磁材料中傳播電磁波，高頻下的渦流動(dòng)方程2H

H2H0t t22E

E2E0t t2取洛倫茲標(biāo)準(zhǔn)At

，則位函數(shù)滿足的波動(dòng)方程2A

At

t2

J 2 定解條件

2tt 2 1、初始條件〔柯西問題〕集中方程初始條件：波動(dòng)方程初始條件：

y,z,t

0tt0

fx,y,z,t1 0y,z,t

0tt0

fx,y,z,t 1 0

ux,y,z,t f2tt0

x,y,z,t0如：初始的速度、電流、電壓等。2、邊界條件第一類邊界條件〔Dirichlet狄利赫里條件〕ux,y,z,t1

gxy,z,t —強(qiáng)加邊界條件1例1 鐵磁體的磁場(chǎng)和電容器的電場(chǎng)〔二維〕圖1-1第一類邊界條件〔〕〔〕靜電問題A0。在距離電容器足夠遠(yuǎn)的地方，設(shè)等位線平行于邊界，可以假設(shè)0。關(guān)鍵問題是第一類邊界條件取得多遠(yuǎn)，才能保證計(jì)算精度。例2 電機(jī)的磁場(chǎng)1-〔〔b20%A=0。1-〔〔d界條件取在定子外徑，削減計(jì)算量。1-〔〔倍之處，如圖〔e〕所示?；蛘哂瞄_于邊界條件，如Kelvin-transformation邊界〔后面介紹，邊界可以小一些，如圖〔〕所示。(b)9(c) (d)(e) (f)1-2電機(jī)的磁場(chǎng)計(jì)算〔第一類邊界條件〕〔其次次課〕其次、三類邊界條件〔Neumann聶以曼條件〕ux,y,z,t gn 22

xy,z,t —自然邊界條件

q(xyz,t) —自然邊界條件 n 33〔A〕邊界上的法向?qū)?shù)，代表著幾種物理意義：邊界上的鼓勵(lì)源：面電荷分布或面電流分布面電荷分布

E2n n22

Dn2

g 22Ht

K, Bt

Ht

以平行平面場(chǎng)為例：AAz

, KKz10XOZHt

xy0y0區(qū)域場(chǎng)為零如電流方向相反的一對(duì)平行平板電流〔∵Bx

Azyz

A, B z〕y x那么 Bt

B Kx z

則B x

AzKy

—其次類非齊次邊界條件YOZHt

yx0區(qū)域那么 Bt

B Ky z

則B y

AzKx

—其次類非齊次邊界條件邊界為場(chǎng)分布的對(duì)稱線〔面〕 Am 0，nm

0 —其次類齊次邊界條件，自然邊界條件n一類邊界條件？〔AA可以設(shè)為參考位。對(duì)m

而言，是其次類邊界條件，B n

m0Ansoftn所以An

0，3。對(duì)m

條件， c。在Ansoft中稱為奇對(duì)稱。m②軸對(duì)稱場(chǎng)中磁場(chǎng)沿ρ軸對(duì)稱？〔如螺線管，磁力線垂直于對(duì)稱線，所以AA 0。如磁力線平行于對(duì)稱線，則rAc，是第一類邊界條件An z〔齊次其次類邊界條件〕？垂直呢〔第一類，可以設(shè)為參考位〕？4例31-3BAAAez z

，則有11BBex x

Bey

Azz

Ae zex x yBx

0，所以，在對(duì)稱邊界上A Az z0 1-3齊次其次類邊界條件zy n例4 線上電力線與之平行，即只有切向重量，等位線與之垂直，依據(jù)E Eex x

ey

Ee

EeyE

0，所以，在對(duì)稱邊界上

0。還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化，再利用x x n1-4(ｂ)所示，電力線與之垂直。在±100V0V(b)1-4對(duì)稱線邊界條件例5 計(jì)算E型、U型電磁鐵的磁場(chǎng)分布〔近似為二維場(chǎng)，AAz

,JJ 〕zA=0。E型電磁鐵，對(duì)稱軸為y軸，磁力線與y軸重合，是等磁位線。且電磁鐵左右兩局部中的電流方向相反，兩邊A值相等，符號(hào)相反，故yA=0，是第一類邊界條件。12yBΓyBΓ1OxΓΓ Γ 2Γ1 1BO x1-5E型、U型電磁鐵Uy軸，但磁力線與yyA線垂直〔BA線y軸上A0，在有限元法中，n這類邊界節(jié)點(diǎn)不需要處理，按內(nèi)部節(jié)點(diǎn)對(duì)待〔Ansys中是默認(rèn)值。假設(shè)這兩種電磁鐵的構(gòu)造還具有上下對(duì)稱的特點(diǎn)，那么，Bx軸垂直，B 0x軸上滿足其次類齊次邊界條件AA0。x n y6：U1-7〔三維x0,y0，z區(qū)間〔第一象限，三維邊界條件分為〔三個(gè)重量都應(yīng)有表達(dá)式〕1、無限遠(yuǎn)邊界條件無限遠(yuǎn)處B0，所以取三個(gè)截?cái)噙吔缑嫔希篈 A A 0x y z2、He 0邊界條件〔也可以是,0的邊界〕nUx0yoz上，只有磁場(chǎng)垂直于分界面，即只有B ，故A=0，且B B 0，依據(jù)BA，開放x y zA Ay z z y z z x x zyx

B AxAz B y z

A Ay x

〔1〕所以 A 0, Ay0, A 0zx x x第一式按強(qiáng)加邊界處理，后兩式是自然邊界條件，且為齊次，不需要特地處理。13圖1-7 U型電磁鐵邊界條件2、Be 0邊界條件〔也可以是的邊界〕n磁場(chǎng)強(qiáng)度H平行于邊界面xo〔B 0，依據(jù)A與B的正交關(guān)系，所以在y該平面上A 0,A 0, 而A 0。但由于B 0,B 0，無法從A的旋度中x z y x zA Ay寫出A重量的邊界條件〔∵只有B yy

x

0是的，而A A 0。x zz x反之，假設(shè)A 0,或A , 則B 0，所以，考慮A的散度，穩(wěn)態(tài)場(chǎng)取庫x z y倫標(biāo)準(zhǔn)，即A A Ax y z0x y z類邊界條件，最終邊界條件為AA 0,x

y0, A 0y z14第一、三式是第一類邊界條件，其次式是齊次其次類邊界條件，不需特地處理。例7 溝通接觸器E形磁系統(tǒng)進(jìn)展計(jì)算，如圖1-8(a)所示。由于幾何構(gòu)造前后、左右對(duì)稱，因此只需取四分之一空間計(jì)算，如圖1-8(b)所示。同上分析，無限遠(yuǎn)處B0，所以A A A 0x y z〔a〕 〔b〕圖1-8 CJ20-25溝通接觸器E形磁系統(tǒng)B平行于對(duì)稱面yoz平面，因此該平面上A A 0，即B y z xA度中無法得到齊次其次類邊界條件，從A的散度中得到 的表述如圖示。AxB又平行于對(duì)稱面xoz平面，因此該平面上A Ax z

0By

0AA的旋度中無法得到齊次其次類邊界條件，從A的散度中得到 的表述如圖示。Ay15例8 圓盤形電磁鐵的磁場(chǎng)計(jì)算。承受圓柱坐標(biāo)系，設(shè)矢量磁位A和電流密度J垂直于zorθ方向的重量，即A

A，Ar