例1設(shè)隨機(jī)變量X概率密度為市公開課特等獎(jiǎng)市賽課微課一等獎(jiǎng)?wù)n件

例1設(shè)隨機(jī)變量X概率密度為試求:(1)常數(shù)k;(2)

X分布函數(shù);(3)第1頁例2已知連續(xù)型隨機(jī)變量X分布函數(shù)為試求:(1)常數(shù)a,b;(3)X概率密度.第2頁例3

已知某型號(hào)電子管使用壽命X為連續(xù)型r.v.,其概率密度為(1)求常數(shù)c;

(3)已知一設(shè)備裝有3個(gè)這么電子管,每個(gè)電子管能否正常工作相互獨(dú)立,求在使用最初1500小時(shí)只有一個(gè)損壞概率.(2)計(jì)算第3頁1.均勻分布若隨機(jī)變量X含有概率密度函數(shù)則稱X在(a,b)上服從均勻分布，記作X~U(a,b).二、幾個(gè)慣用連續(xù)型隨機(jī)變量分布概率密度函數(shù)圖形第4頁X分布函數(shù)為

第5頁對(duì)任意長度為l子區(qū)間(c,c+l),a≤c<c+l≤b，都有若X~U(a,b),則X含有下述等可能性：X落在區(qū)間(a,b)中任意長度相同子區(qū)間里概率是相同.即X落在子區(qū)間里概率只依賴于子區(qū)間長度,而與子區(qū)間位置無關(guān).第6頁一維幾何概型.

r.v.X取值在區(qū)間(a,b)上,而且取值在(a,b)中任意小區(qū)間內(nèi)概率與這個(gè)小區(qū)間長度成正比,則X在(a,b)上服從均勻分布.如:一段時(shí)間內(nèi)乘客抵達(dá)車站時(shí)刻、四舍五入引發(fā)誤差等普通都服從均勻分布.例4

秒表最小刻度值為0.01秒.若計(jì)時(shí)精度是取最近刻度值,求使用該表計(jì)時(shí)產(chǎn)生隨機(jī)誤差X概率密度,并計(jì)算誤差絕對(duì)值不超出0.004秒概率.均勻分布實(shí)際背景第7頁例5

某公共汽車站從早晨7時(shí)起,每15分鐘來一班車,即7:00,7:15,7:30,7:45時(shí)刻有汽車抵達(dá)此站,假如乘客在7:00到7:30之間任何時(shí)刻都有可能抵達(dá)此車站,試求他候車時(shí)間少于5分鐘概率.第8頁設(shè)隨機(jī)變量X含有概率密度其中λ>0為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為λ指數(shù)分布,記作X~E(λ)或e(λ).2.指數(shù)分布其分布函數(shù)為第9頁指數(shù)分布另一個(gè)表示形式

則稱X服從參數(shù)為

>0指數(shù)分布.其分布函數(shù)為第10頁1xF(x)0xf(x)0第11頁指數(shù)分布通慣用于描述對(duì)某一事件發(fā)生等候時(shí)間,比如:乘客在公共汽車站候車時(shí)間、一些元件或設(shè)備使用壽命(等候用壞時(shí)間)、電話交換臺(tái)收到兩次呼叫之間時(shí)間間隔等.應(yīng)用背景:例6電子元件壽命X(年)服從參數(shù)為3指數(shù)分布，即(1)求該電子元件壽命超出2年概率；(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用2年概率為多少？第12頁故又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”分布.若X~E(λ),則指數(shù)分布“無記憶性”實(shí)際上,第13頁【注】指數(shù)分布通慣用于描述對(duì)某一事件發(fā)生等候時(shí)間,而在離散型分布中,幾何分布用于描述事件A發(fā)生(試驗(yàn)成功)所進(jìn)行試驗(yàn)次數(shù),假如將每次試驗(yàn)視為經(jīng)歷一個(gè)單位時(shí)間(離散時(shí)間),則直到試驗(yàn)成功為止,試驗(yàn)總次數(shù)相當(dāng)于直到試驗(yàn)成功所等候時(shí)間.在此意義上,指數(shù)分布可視為離散情形下幾何分布在連續(xù)情形下推廣.指數(shù)分布與幾何分布都含有“無記憶性”連續(xù)型離散型第14頁3.正態(tài)分布(亦稱高斯(Gauss)分布)記作X~N(,2).若X概率密度為則稱X服從參數(shù)為,2正態(tài)分布.

為實(shí)常數(shù),且

正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多分布之一，它在概率統(tǒng)計(jì)中占有尤其主要地位.第15頁正態(tài)概率密度合理性第16頁

正態(tài)分布密度曲線是一條關(guān)于對(duì)稱鐘形曲線.特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”,由此特點(diǎn)知正態(tài)分布描述隨機(jī)變量取值中間概率大,兩頭概率很小隨機(jī)現(xiàn)象.

正態(tài)分布圖形特點(diǎn)第17頁應(yīng)用背景(可用正態(tài)分布描述實(shí)例極多)各種測量誤差；人體生理特征；工廠產(chǎn)品尺寸；農(nóng)作物收獲量；海洋波浪高度；金屬線抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生考試成績；若r.v.

X①受大量相互獨(dú)立隨機(jī)原因影響;②每一原因影響都是微小,無主導(dǎo)原因;③且這些正、負(fù)影響能夠疊加,則認(rèn)為隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布．第18頁另首先,有些分布(如二項(xiàng)分布、泊松分布)極限分布是正態(tài)分布.所以,不論在實(shí)踐中,還是在理論上,正態(tài)分布是概率論中最主要一個(gè)分布.二項(xiàng)分布向正態(tài)分布轉(zhuǎn)換第19頁正態(tài)概率密度函數(shù)幾何特征第20頁—位置參數(shù).思索

μ=-2第21頁

—形狀參數(shù).(

大小與曲線陡峭程度成反比)第22頁正態(tài)分布分布函數(shù)問題正態(tài)分布下概率計(jì)算問題怎樣處理?此時(shí),原函數(shù)不是初等函數(shù)!第23頁標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)表示為【注】標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)為偶函數(shù).第24頁標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖形第25頁【幾個(gè)慣用結(jié)論】對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)Φ(x)函數(shù)值，書后附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(教材P439).表中只給出了x≥0函數(shù)值.當(dāng)x<0時(shí)，可利用Φ(–x)=1–Φ(x)計(jì)算得到.證實(shí)第26頁經(jīng)過線性變換將普通正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.此引理處理了普通正態(tài)分布概率計(jì)算問題.第27頁證實(shí)第28頁第29頁例83原理設(shè)X~N(

,

2),求解【結(jié)論】一次試驗(yàn)中,X落入?yún)^(qū)間(

-3

,

+3

)概率為0.9