高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)3.3熱點(diǎn)專(zhuān)題-導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的熱點(diǎn)問(wèn)題市賽課公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省名師獲獎(jiǎng)

§3.3熱點(diǎn)專(zhuān)題——導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用熱點(diǎn)問(wèn)題熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)綜合問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值和最值均是高考命題重點(diǎn)內(nèi)容，在選擇題、填空題和解答題中都有包括．主要有以下兩種考查形式：1/42(1)研究詳細(xì)函數(shù)單調(diào)性、極值或最值，常包括分類(lèi)討論思想．(2)由函數(shù)單調(diào)性、極值或最值，求解參數(shù)值或取值范圍．【例1】

(·成都模擬)已知關(guān)于x函數(shù)f(x)＝lnx＋a(x－1)2(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(1，0)處切線(xiàn)方程；(2)若函數(shù)f(x)有極小值，試求a取值范圍；(3)若在區(qū)間[1，＋∞)上，函數(shù)f(x)不出現(xiàn)在直線(xiàn)y＝x－1上方，試求a最大值．2/423/424/425/426/42【方法規(guī)律】

函數(shù)性質(zhì)綜合問(wèn)題難點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性和極值、最值分類(lèi)討論．(1)單調(diào)性討論策略：?jiǎn)握{(diào)性討論是以導(dǎo)數(shù)等于零點(diǎn)為分界點(diǎn)，把函數(shù)定義域分段，在各段上討論導(dǎo)數(shù)符號(hào)，在不能確定導(dǎo)數(shù)等于零點(diǎn)相對(duì)位置時(shí)，還需要對(duì)導(dǎo)數(shù)等于零點(diǎn)位置進(jìn)行討論．7/42(2)極值討論策略：極值討論以單調(diào)性討論為基礎(chǔ)，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)極值點(diǎn)．(3)最值討論策略：圖象連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值討論，是以函數(shù)在該區(qū)間上極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，在極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值中最大為最大值，最小為最小值．8/429/4210/42故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0，1)和(a－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，a－1)．③當(dāng)0＜a－1＜1，即1＜a＜2時(shí)，在區(qū)間(0，a－1)和(1，＋∞)上，f′(x)＞0；在區(qū)間(a－1，1)上，f′(x)＜0，故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0，a－1)和(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(a－1，1)．④當(dāng)a－1≤0，即a≤1時(shí)，在區(qū)間(0，1)上，f′(x)＜0，在區(qū)間(1，＋∞)上，f′(x)＞0，故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1)．11/42熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究方程根或函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題這類(lèi)試題普通以含參數(shù)三次式、分式、以e為底指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角式結(jié)構(gòu)函數(shù)零點(diǎn)或方程根形式出現(xiàn)，是近幾年高考命題熱點(diǎn)，普通有兩種考查形式：(1)確定函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程根個(gè)數(shù)問(wèn)題．(2)應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程解存在情況，求參數(shù)值或取值范圍問(wèn)題．12/4213/4214/4215/42令h(x)＝g′(x)，則h′(x)＝(axlna＋bxlnb)′＝ax(lna)2＋bx(lnb)2，從而對(duì)任意x∈R，h′(x)＞0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上單調(diào)增函數(shù)．于是當(dāng)x∈(－∞，x0)時(shí)，g′(x)＜g′(x0)＝0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，g′(x)＞g′(x0)＝0.因而函數(shù)g(x)在(－∞，x0)上是單調(diào)減函數(shù)，在(x0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．下證x0＝0.16/4217/42【方法規(guī)律】

對(duì)于方程解個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問(wèn)題，可利用函數(shù)值域或最值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．18/42變式訓(xùn)練2．(·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函數(shù)f(x)在x＝0處取得極值，求實(shí)數(shù)a值，并求此時(shí)f(x)在[－2，1]上最大值；(2)若函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a取值范圍．19/42【解析】

(1)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，f′(x)＝ex＋a，f′(0)＝e0＋a＝0，∴a＝－1，∴f′(x)＝ex－1.∵在區(qū)間(－∞，0)上，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；在區(qū)間(0，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．∴在x＝0處，f(x)取得極小值，∴a＝－1.20/4221/42∴當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意．②當(dāng)a＜0時(shí)，令f′(x)＝ex＋a＝0，解得x＝ln(－a)．在區(qū)間(－∞，ln(－a))上，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；在區(qū)間(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝ln(－a)時(shí)，f(x)取得最小值．函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)等價(jià)于f(ln(－a))＝eln(－a)＋a·ln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)＞0，解得－e2＜a＜0.總而言之，實(shí)數(shù)a取值范圍是(－e2，0)．22/42熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)處理不等式問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)處理不等式問(wèn)題是近幾年高考熱點(diǎn)，常包括不等式恒成立、證實(shí)不等式及大小比較問(wèn)題．(1)不等式恒成立問(wèn)題普通考查三次式、分式、以e為底指數(shù)式或?qū)?shù)式、三角式及絕對(duì)值結(jié)構(gòu)不等式在某個(gè)區(qū)間A上恒成立(存在性)，求參數(shù)取值范圍．(2)證實(shí)不等式普通是證實(shí)與函數(shù)相關(guān)不等式在某個(gè)范圍內(nèi)成立．23/42(3)大小比較問(wèn)題，普通是作差后不易變形定號(hào)三次式、分式、以e為底指數(shù)式或?qū)?shù)式、三角式結(jié)構(gòu)，可轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或最值函數(shù)問(wèn)題．角度一不等式恒成立問(wèn)題【例3】

(·西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝m(x－1)ex＋x2(m∈R)．(1)若m＝－1，求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意x＜0，不等式x2＋(m＋2)x＞f′(x)恒成立，求m取值范圍．24/42【解析】

(1)當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)＝(1－x)ex＋x2，則f′(x)＝x(2－ex)，由f′(x)＞0得，0＜x＜ln2，由f′(x)＜0得x＜0或x＞ln2，故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，ln2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，(ln2，＋∞)．25/4226/4227/4228/4229/4230/42【方法規(guī)律】

求解不等式恒成立時(shí)參數(shù)取值范圍問(wèn)題，普通慣用分離參數(shù)方法，不過(guò)假如分離參數(shù)后對(duì)應(yīng)函數(shù)不便于求解其最值，或者求解其函數(shù)最值繁瑣時(shí)，可采取直接結(jié)構(gòu)函數(shù)方法求解．31/4232/42(2)已知函數(shù)f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)．①求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處切線(xiàn)方程；②求函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間；③若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e是自然對(duì)數(shù)底數(shù))，求實(shí)數(shù)a取值范圍．33/4234/4235/4236/42(2)①對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝axlna＋2x－lna，可得f′(0)＝0.因?yàn)閒(0)＝1，所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處切線(xiàn)方程為y＝1.②由①知，f′(x)＝axlna＋2x－lna＝2x＋(ax－1)·lna.因?yàn)楫?dāng)a＞0，a≠1時(shí)，總有f′(x)在R上是增函數(shù)，又f′(0)＝0，所以不等式f′(x)＞0解集為(0，＋∞)，37/42故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[0，＋∞)．③因?yàn)榇嬖趚1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1