高中數(shù)學第三章三角恒等變換3.3二倍角的三角函數(shù)1教案省公開課一等獎新名師獲獎?wù)n件

3.3

二倍角三角函數(shù)(一)1/32【知識提煉】二倍角公式及其變形sinαcosβ+cosαsinβ2sinαcosαcosαcosβ-sinαsinβ2cos2α-11-2sin2α2/32【即時小測】1.思索以下問題:(1)公式T2α成立條件是什么?提醒:α≠kπ+,α≠kπ±,k∈Z.(2)二倍角公式應(yīng)用過程中,“角”和三角函數(shù)式“次數(shù)”是怎樣改變?提醒:兩種改變形式:一是“角”變二倍,“次數(shù)”降低為一次;二是“角”變?yōu)樵瓉矶种?“次數(shù)”升高為二次.3/322.計算1-2sin222.5°結(jié)果等于(

)

【解析】選B.1-2sin222.5°=cos45°=.4/323.sin15°sin75°值為(

)

【解析】選B.sin15°sin75°=sin15°cos15°=×2sin15°·cos15°=sin30°=.5/324.2cos275°-1=________.【解析】2cos275°-1=cos150°=-cos30°=-.答案:-6/325.若tanα=2,則tan2α=________.【解析】tan2α=答案:

7/32【知識探究】知識點正弦、余弦、正切二倍角公式觀察如圖所表示內(nèi)容,回答以下問題:問題1:二倍角含義是什么?其有哪些變形?問題2:二倍角公式及其變形各有什么特點?它們怎樣使用?8/32【總結(jié)提升】1.對二倍角中“倍”說明(1)“倍”含有廣泛含義.比如,2α是α二倍角,一樣地,4α是2α二倍角,2nα是2n-1α二倍角,α是二倍角,3α是二倍角等.(2)在詳細應(yīng)用中可先對角進行觀察,尋求待求角與已知角之間差異,再決定用哪種“倍”關(guān)系.9/322.二倍角公式應(yīng)用(1)直接應(yīng)用公式進行升冪、配方、開方、求值化簡證實等運算.(2)變形應(yīng)用公式主要表達在化異角為同角、化異次為同次、逆用公式等方面,其中二倍角余弦公式最靈活.如:①1+cos2α=2cos2α;②cos2α=;③1-cos2α=2sin2α;④sin2α=,不但僅是逆用,更主要是表達了冪指數(shù)改變,其中①③是從一次冪向二次冪轉(zhuǎn)換,所以把它們稱為升冪公式,②④則是從二次冪向一次冪轉(zhuǎn)換,所以把它們稱為降冪公式.10/32【題型探究】類型一求二倍角函數(shù)值【典例】1.若sinα=,則cos2α=________.2.已知

值是________.11/32【解題探究】1.典例1中條件和所求式中角有什么聯(lián)絡(luò)?提醒:兩角為二倍角關(guān)系.2.典例2中

是哪個角二倍?這個角與

有什么關(guān)系?提醒:

12/32【解析】1.由sinα=,得cos2α=1-2sin2α=答案:2.因為

所以

答案:-13/32【方法技巧】用二倍角公式求解給值求值問題慣用策略(1)當已知和待求式含有三角函數(shù)平方式時,需先降冪,再求解.(2)先探尋到已知和待求式中角倍、單角關(guān)系,再正用或逆用二倍角公式求解.(3)當式子中包括角較多時,要探尋其間關(guān)系,化異角為同角.14/32【變式訓練】已知

求sin2α,cos2α,tan2α值.【解題指南】由sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α知應(yīng)先求出sinα,cosα值.15/32【解析】因為

所以sinα=-cosα,代入sin2α+cos2α=1,得cos2α+cos2α=1.因為

所以sin2α=2sinαcosα=cos2α=cos2α-sin2α=tan2α=16/32類型二化簡與證實三角函數(shù)式【典例】1.化簡:=________.2.證實:17/32【解題探究】1.典例1中

有什么關(guān)系?提醒:

2.典例2中左、右兩邊差異是什么?怎樣消除差異?提醒:左邊為弦函數(shù)高次分式,右邊為切函數(shù),將左邊正向利用二倍角公式進行約分化簡即可證實.18/32【解析】1.原式=

答案:119/322.左邊==tanθ=右邊.20/32【延伸探究】(變換條件)若將典例1式子改為“”,結(jié)果怎樣?【解析】原式=答案:

21/32【方法技巧】1.化簡三角函數(shù)式策略普通地,三角函數(shù)式化簡明從降低角種類,降低函數(shù)種類,改變函數(shù)式運算結(jié)構(gòu)入手,經(jīng)過切化弦、弦化切、異角化同角、高次降冪、分解因式、逆用公式等伎倆,使函數(shù)式結(jié)構(gòu)化為最簡形式.22/322.證實三角恒等式標準與步驟(1)觀察恒等式兩端結(jié)構(gòu)形式,處理標準是從復(fù)雜到簡單,高次降低,復(fù)角化單角,假如兩端都比較復(fù)雜,就將兩端都化簡,即采取“兩頭湊”思想.(2)證實恒等式普通步驟是:先觀察,找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面差異,然后本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”、變換式子結(jié)構(gòu)“變量集中”等標準,設(shè)法消除差異,到達證實目標.23/32【變式訓練】化簡以下各式:

24/32【解析】(1)原式=(2)方法一:原式=方法二:原式=

25/32易錯案例由條件求值【典例】(·榆林高一檢測)已知

則sinα=____________.或26/32【失誤案例】27/32【錯解分析】分析上面解析過程,你知道錯在哪里嗎?提醒:錯誤根本原因是利用二倍角公式及其變形求值過程中忽略了角范圍致誤,實際上本題由sin(2α-β)=>0,可深入縮小角2α-β范圍.28/32【自我矯正】因為

所以π<2α<2π,0<-β<,所以π<2α-β<.由sin(2α-β)=>0,得2π<2α-β<,所以cos(2α-β)=.因為-<β<0,

29/32所以cos2α=cos[(2α-β)+β]=cos(2α-β)·cosβ-sin(2α-β)·sinβ

由cos2α=1-2sin2α,得sin2α=,又<α<π,所以sinα=.答案:30/32【防范辦法】1.審題問題已知條件角度認識不到位,不能夠結(jié)合三角函數(shù)值符號,將已知角范圍深入縮小,在本例中求得sin(2α-β)=

>0,