湖南省長沙市沙流河大田方中學高三數(shù)學文模擬試題含解析

湖南省長沙市沙流河大田方中學高三數(shù)學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數(shù)是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是增函數(shù)的是

A．y＝ex

B．y＝tanx

C．y＝x3-x

D．參考答案：D2.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為Sn，若Sn=2,S30=14,則S40等于（A）80（B）30

(C)26

(D)16參考答案：答案：B解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知選B3.已知cosα﹣sinα=（π＜α＜），則=（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：A【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】把已知的等式兩邊平方求得2sinαcosα=，結(jié)合α的范圍求得sinα+cosα，化簡后代入得答案．【解答】解：∵cosα﹣sinα=，平方可得1﹣2sinαcosα=，∴2sinαcosα=．又α∈（π，），故sinα+cosα=﹣=﹣=﹣，∴===．故選：A．【點評】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查了學生的計算能力，是中檔題．4.已知t為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點a、b(a＜b)，則（

）A． B．C． D．參考答案：A設(shè)為對稱軸為，開口向上的拋物線則在上有兩個相異實根a、，∴∴，∴在上為增函數(shù)．5.8名學生和2位教師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為

（

）（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：A6.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，，則不等式的解集是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C試題分析：由于是向左平移個單位得到,結(jié)合函數(shù)的圖象可知當或，縱橫坐標的積不大于,即應(yīng)選C.考點：函數(shù)的圖象與單調(diào)性、奇偶性的運用．【易錯點晴】本題考查的是抽象函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)的問題,解答時充分借助題設(shè)中提供的條件信息,進行合理的推理和運算,找出符合題設(shè)條件的函數(shù)的零點,從而依據(jù)不等式所反映的問題的特征,數(shù)形結(jié)合、合情推證,最后寫出所給不等式的解集.解答本題的關(guān)鍵是借助圖形中所提供的信息確定函數(shù)的零點,再將不等式進行分類與合理轉(zhuǎn)化,最后寫出其解集使其獲解.7.已知集合，N={﹣3，﹣1，1，3，5}，則M∩N=（）A．{﹣3，﹣1，1，3，5} B．{﹣1，1，3，5} C．{1，3，5} D．{﹣3，﹣1，1，3，}參考答案：C【考點】交集及其運算．【分析】解不等式求出集合M，根據(jù)交集的定義寫出M∩N．【解答】解：集合={x|﹣1＜x≤5}，N={﹣3，﹣1，1，3，5}，則M∩N={1，3，5}．故選：C．8.已知等差數(shù)列中，是方程的兩根，則A．

B．

C．1007

D．2014參考答案：D略9.三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，則球O的表面積為（）A． B． C．3π D．12π參考答案：C【考點】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)題意，三棱錐S﹣ABC擴展為正方體，正方體的外接球的球心就是正方體體對角線的中點，求出正方體的對角線的長度，即可求解球的半徑，從而可求三棱錐S﹣ABC的外接球的表面積．【解答】解：三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱錐擴展為正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的對角線的長度，∴球的半徑R==．球的表面積為：4πR2=4=3π．故選：C．10.sin600°的值為（）A. B. C. D.參考答案：D根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式，，故選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下面給出的四個命題中：①以拋物線的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為；②若，則直線與直線相互垂直；③命題“，使得”的否定是“，都有”；④將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象。其中是真命題的有___________（將你認為正確的序號都填上）．參考答案：①②③.試題分析：①拋物線是焦點為，圓的半徑為，所以圓的方程為，正確；②當時，兩直線方程為和，兩直線垂直，所以正確；③根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可知其正確；④函數(shù)向右平移，得到的函數(shù)為，所以不正確.所以正確的命題有①②③.故應(yīng)填①②③.考點：特稱命題；命題的否定；函數(shù)的圖像變換；拋物線的簡單性質(zhì).12.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象是參考答案：D略13.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角．【分析】先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底表示，最后利用夾角公式求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如圖，設(shè)=，，，棱長均為1，則=，=，=∵，∴=（）?（）=﹣++﹣+=﹣++=﹣1++1=1||===||===∴cos＜，＞===∴異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為14.已知上的最大值比最小值多1，則＝

．參考答案：2或15.若不等式所表示的平面區(qū)域為，不等式組表示的平面區(qū)域為，現(xiàn)隨機向區(qū)域內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域內(nèi)的概率為________．參考答案：．16.已知雙曲線經(jīng)過點，其一條漸近線方程為y=2x，則該雙曲線的標準方程為．參考答案：﹣x2=1【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程，可以設(shè)其方程為x2﹣=m，又由其過點，將點的坐標代入方程計算可得m的值，即可得其方程，最后將求得的方程化為標準方程即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為y=2x，則可以設(shè)其方程為x2﹣=m，（m≠0），又由其經(jīng)過點，則有1﹣=m，解可得m=﹣1，則其方程為：x2﹣=﹣1，其標準方程為：﹣x2=1，故答案為：﹣x2=1．17.等差數(shù)列的公差為d，關(guān)于x的不等式＋＋c≥0的解集為[0，22]，則使數(shù)列的前n項和最大的正整數(shù)n的值是

．參考答案：11三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)。（1）若曲線與直線相切，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)有兩個零點，證明。參考答案：（1）由，得，設(shè)切點橫坐標為，依題意得，解得，即實數(shù)的值為1。（2）不妨設(shè)，由，得，即，所以，令，則，設(shè)，則，即函數(shù)在上遞減，所以，從而，即。19.（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)f(x)=ex－ax－2(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若a=1，k為整數(shù)，且當x>0時，(x－k)f′(x)+x+1>0，求k的最大值參考答案：I）函數(shù)f（x）=ex-ax-2的定義域是R，f′（x）=ex-a，

若a≤0，則f′（x）=ex-a≥0，所以函數(shù)f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．

若a＞0，則當x∈（-∞，lna）時，f′（x）=ex-a＜0；當x∈（lna，+∞）時，f′（x）=ex-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．

（II）由于a=1，所以，（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（ex-1）+x+1

故當x＞0時，（x-k）f′（x）+x+1＞0等價于k＜x+1ex-1+x（x＞0）①

令g（x）=x+1ex-1+x，則g′（x）=-xex-1(ex-1)2+1=ex(ex-x-2)(ex-1)2

由（I）知，函數(shù)h（x）=ex-x-2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=ex-x-2在（0，+∞）上存在唯一的零點，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點，設(shè)此零點為α，則有α∈（1，2）

當x∈（0，α）時，g′（x）＜0；當x∈（α，+∞）時，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）

由于①式等價于k＜g（α），故整數(shù)k的最大值為2

略20.在△ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1．（1）求角A的大小和BC邊的長；（2）若點P在△ABC內(nèi)運動（包括邊界），且點P到三邊的距離之和為d，設(shè)點P到BC，CA的距離分別為x，y，試用x，y表示d，并求d的取值范圍．參考答案：【考點】簡單線性規(guī)劃；二倍角的余弦．【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡，求出A，然后利用余弦定理求得BC的長；（2）利用三角形的面積相等用x，y表示d，然后利用線性規(guī)劃知識求得d的取值范圍．【解答】解：（1）∵cos2A+2sin2=1，∴1﹣2sin2A+2sin2=1，∴sinA=，即A=，∴3A=π，A=．由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?AB?cosA=22+12﹣2×2×1×cos=3，∴BC=；（2）由（1）知，△ABC為以C為直角的直角三角形，如圖，設(shè)P到AB的距離為m，由等積法可得：，得．∴，化目標函數(shù)為，由題意得：d在P與C點重合時最小，為；當直線過點B（0，）時d有最大值為．∴d的取值范圍為[]．21.如圖，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=PO．（Ⅰ）求證：PD⊥平面COD；（Ⅱ）求二面角B﹣DC﹣O的余弦值．參考答案：考點：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應(yīng)用．分析：（Ⅰ）設(shè)OA=1，則PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，可得DA⊥AO．利用勾股定理的逆定理可得：PD⊥DO．由OC=OB=2，∠ABC=45°，可得CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，可得PO⊥OC，得到CO⊥平面PAB．得到CO⊥PD．即可證明．（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設(shè)AB=1，利用線面垂直的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系得出兩個平面的法向量，求出其夾角即可．解答：（Ⅰ）證明：設(shè)OA=1，則PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，∴DA⊥AO．從而，在△PDO中，∵PO=2，∴△PDO為直角三角形，故PD⊥DO．又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC，又PO，AB?平面PAB，PO∩AB=O，∴CO⊥平面PAB．故CO⊥PD．∵CO∩DO=O，∴PD⊥平面COD．（Ⅱ）解：以O(shè)C，OB，OP所在射線分別為x，y，z軸，建立直角坐標系如圖．則由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，﹣1，1），∴，由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴是平面DCO的一個法向量，設(shè)平面BDC的法向量為，∴，∴，令y=1，則x=1，z=3，∴，∴，由圖可知：二面角B﹣D