排列與排列數(shù)（第二課時）高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

排列與排列數(shù)（第二課時）思考：分布乘法原理和排列數(shù)有什么內(nèi)在聯(lián)系？答：排列數(shù)是根據(jù)分步乘法原理推導出來的，是分步乘法原理最簡單、高度符號化的應用實例。大部分“計數(shù)問題”都可以拆解成若干個排列問題的組合，從而使問題分析更有條理，運算以及表達更加簡便。排列常見題型定序問題相鄰與不相鄰問題特殊元素與特殊位置問題例1從包括甲、乙兩名同學在內(nèi)的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題.(1)甲不在首位的排法有多少種？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問題例1從包括甲、乙兩名同學在內(nèi)的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題.(1)甲不在首位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問題方法一

從元素角度考慮Ⅰ類：不含甲，則Ⅱ類：含甲，則先排甲，再排剩下4位置，由分類加法原理得

例1從包括甲、乙兩名同學在內(nèi)的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題.(1)甲不在首位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問題方法二

從位置角度考慮step1：排首位step2：排后4位由分步乘法原理得

例1從包括甲、乙兩名同學在內(nèi)的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題.(1)甲不在首位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問題方法三

間接法（正難則反）不考慮甲不在首位的要求，有甲在首位的排列所以

例1從包括甲、乙兩名同學在內(nèi)的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題.(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問題解：從位置角度考慮step1：排首位、末位step2：排中間3個位由分步乘法原理得

例1從包括甲、乙兩名同學在內(nèi)的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題.(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問題解：從位置角度考慮step1：排首位、末位step2：排中間3個位由分步乘法原理得

例1從包括甲、乙兩名同學在內(nèi)的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題.(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問題法一：從位置角度考慮Ⅰ類：末位是甲，則Ⅱ類：末位不是甲，則先排末位有

種方法，再排首位有

種方法，最后排中間3個位置有

種方法，所以由分類加法原理得

不能改成“排甲”，因為甲不一定被抽中例1從包括甲、乙兩名同學在內(nèi)的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題.(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問題方法二

間接法（正難則反）不考慮甲、乙的要求，有甲在首位的排列乙在末位的排列甲在首位且乙在末位的排列所以

甲首乙末跟蹤訓練1

5名學生和1位老師站成一排照相，問老師不排在兩端的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問題方法一

從位置角度考慮step1：排首、末位step2：排中間4位由分步乘法原理得

方法二

從元素角度考慮step1：排老師step2：排5位學生由分步乘法原理得

方法三

間接法（正難則反）不考慮老師的要求，有老師在左端的排列

老師在右端的排列所以

解決排列問題，常用的思考方法有直接法和間接法.把特殊元素或特殊位置作為研究對象.例2

3名男生，4名女生，這7個人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？(1)男、女各站在一起；類型二：相鄰與不相鄰問題(2)男生必須排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.例2

3名男生，4名女生，這7個人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？(1)男、女各站在一起；類型二：相鄰與不相鄰問題男1男2男3女1女2女3女4解：相鄰問題——捆綁法step1:3個男生捆綁看成一個整體，有

種方法；step2:4個女生捆綁看成一個整體，有

種方法；step3:2個整體全排列，有

種方法；由分步乘法原理得例2

3名男生，4名女生，這7個人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？類型二：相鄰與不相鄰問題(2)男生必須排在一起；解：相鄰問題——捆綁法step1:3個男生捆綁看成一個整體，有

種方法；step2:男生整體與4個女生這5個元素全排列，有

種方法；由分步乘法原理得男1男2男3女1女4女2女3例2

3名男生，4名女生，這7個人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？類型二：相鄰與不相鄰問題(3)男生不能排在一起；解：不相鄰問題——插空法step1:可相鄰的元素（女生）先全排列，有

種方法；step2:3個不相鄰的元素（男生）排入女生形成的5個空隙中，

有

種方法；由分步乘法原理得女1女4女2女3男1男3男2例2

3名男生，4名女生，這7個人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？類型二：相鄰與不相鄰問題解：不相鄰問題——插空法step1:女生全排列，有

種方法；step2:男生排入女生之間形成的3個空隙中，

有

種方法；由分步乘法原理得女1女4女2女3男1男3男2(4)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應遵循“先整體，后局部”的原則.元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個元素內(nèi)部全排列.元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素.跟蹤訓練2

(1)小陳準備將新買的《尚書·禮記》《左傳》《孟子》《論語》《詩經(jīng)》五本書立起來放在書架上，若要求《論語》《詩經(jīng)》兩本書相鄰，且《尚書·禮記》放在兩端，則不同的擺放方法有

A.18種

B.24種C.36種

D.48種√涉及相鄰問題與特殊位置、特殊元素問題類型二：相鄰與不相鄰問題解：相鄰問題——捆綁法；特殊位置問題——優(yōu)先安排step1:需相鄰的《論語》、《詩經(jīng)》捆綁在一起看成一個整體，

有

種方法；step2:《尚書·禮記》安排在左端或者右端，有

種方法；step3:《論語》和《詩經(jīng)》的整體、《左傳》、《孟子》3個元素

排列進剩下3個位置，有

種方法

；由分步乘法原理得論語詩經(jīng)

尚書孟子左傳跟蹤訓練3某電視節(jié)目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相.(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場，出場順序有多少種？類型三：定序問題(2)3位老者與2位年輕人都要分別按從小到大的順序出場，順序有多少種？跟蹤訓練3某電視節(jié)目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相.(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場，出場順序有多少種？類型三：定序問題解：記3位老者年齡從小到到為

，

另外兩位嘉賓為5位嘉賓無條件全排列有

種，

3位老者的相對順序有

種（如右圖），

（每一種都是等可能的，只有一種符合條件）

所以3位老者要按年齡從大到小的順序出場有

種。?（等機會法，即除序法）跟蹤訓練3某電視節(jié)目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相.(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場，出場順序有多少種？類型三：定序問題方法二：（拆成兩個獨立的排列問題）step1：因為3位老者的順序已經(jīng)固定，只需在5個位置中選出三個即可，無需再考慮排列，有10種方法；（后續(xù)學了組合數(shù)后會更簡便，目前可用列舉法）step2：剩下兩個位置將其余2位嘉賓排列進去，有

種方法；由分步乘法原理得

跟蹤訓練3某電視節(jié)目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相.類型三：定序問題(2)3位老者與2位年輕人都要分別按從小到大的順序出場，順序有多少種？解：記3位老者年齡從小到到為

，另外兩位嘉賓為(假設b年齡大)5位嘉賓無條件全排列有

種，

3位老者的相對順序有

種，

2位年輕人的相對順序有

種

所以3位老者要按年齡從大到小的順序出場有

種。（每一種都是等可能的，只有一種符合條件）跟蹤訓練3某電視節(jié)目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相.(2)3位老者與2位年輕人都要分別按從小到大的順序出場，順序有多少種？類型三：定序問題方法二：（拆成兩個獨立的排列問題）step1：因為3位老者的順序已經(jīng)固定，只需在5個位置中選出三個即可，無需再考慮排列，有10種方法；（后續(xù)學了組合數(shù)后會更簡便，目前可用列舉法）step2：剩下兩個位置將其余2位年輕人按年齡大小排列進去即可；由分步乘法原理得

例3將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，則有多少種不同的排列方法？類型三：定序問題方法一：（等機會法，即除序法）5個字母無條件全排列有

種，

A，B，C的相對順序有

種（如右圖），

（每一種都是等可能的，只有兩種符合條件）

所以3位老者要按年齡從大到小的順序出場有

種。??例3將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，則有多少種不同的排列方法？類型三：定序問題

方法二：（拆成兩個獨立的排列問題）step1:從5個位置中選出3個放置