1、微專題：任意角和角的度量-講義-2021-2022學年高中數(shù)學滬教版（2020）必修第二冊

【學生版】微專題：任意角和角的度量1、角的概念的推廣（2）任意角的分類：①按旋轉方向不同分為正角、負角、零角；②按終邊位置不同分為象限角和非象限角；（3）終邊相同的角及其集合表示：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝k·360°+α，k∈Z}或S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}【注意】兩種度量制度不要混用；2、角度制、弧度制的定義和相關公式（1）定義：①把長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad；②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑．③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)與所取的r的大小無關，僅與角的大小有關．【說明】角度制：規(guī)定周角的360分之一為1度的角，用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制。注意“度”是單位，而非“1度”，因為單位的定義是計量事物標準量的名稱。（2）弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．（3）扇形弧長與面積：記扇形的半徑為，圓心角為弧度，弧長為，面積為，則有扇形中弦長公式；【典例】考點1、對任意角概念的理解例1、下列說法正確的是（）（均指在平面直角坐標系中，角的始邊在軸正半軸上）A．第一象限角一定是銳角B．終邊相同的角一定相等C．小于90°的角一定是銳角D．鈍角的終邊在第二象限【提示】【答案】【解析】【說明】考點2、象限角的判定例2、若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是第________象限角考點3、區(qū)域角的表示例3、集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是()考點4、角度制與弧度制的運算例4、（1）把寫成的形式，其中；（2）若，且與（1）中的終邊相同，求：；考點5、扇形面積、弧長公式的應用例5、【一題多變】（1）一扇形的圓心角α＝eq\f(π,3)，半徑R＝10cm，求該扇形的面積；（2）若（1）條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積；（3）若將（1）已知條件改為：“扇形周長為20cm”，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？考點6、對稱性問題例6、已知角的終邊與角的終邊關于軸對稱，求：?！練w納】1、任意角及其相關概念（1）角的定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。（2）角的表示：如圖BBOA射線為始邊，射線為終邊，點為角的頂點，圖中角可記為“角”或“”，也可簡記為“”。2、角的分類名稱定義圖形正角一條射線按逆時針方向旋轉形成的角OAOAB負角一條射線按順時針方向旋轉形成的角OOAB零角一條射線沒有做任何旋轉形成的角A（B）（吧）A（B）（吧）O拓展：（1）角的概念的推廣重在“旋轉”，理解“旋轉”二字應明確以下三個方面：①旋轉的方向；②旋轉角的大??；③射線未作任何旋轉時的位置；（2）角的范圍不再限于（或）3、象限角與終邊相同的角（1）象限角象限角的概念：當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合時，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角；象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角或第二象限角或第三象限角或第四象限角或（2）終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合（或），即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和；（3）角的終邊在坐標軸上的角的集合表示角的終邊在坐標軸上的角角的集合表示終邊落在軸的非負半軸上的角或終邊落在軸的非正半軸上的角或終邊落在軸上的角或終邊落在軸的非負半軸上的角或終邊落在軸的非正半軸上的角或終邊落在軸上的角或終邊落在坐標軸上的角或注意：1、相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差（或）的整數(shù)倍；這一條件不能少；2、象限角、終邊在坐標軸上的角以及終邊相同的角的表達形式不唯一；4、弧度制的相關概念rOrOBA1radr（2）弧度制：①定義：以弧度為單位來度量角的單位制。②記法：用符號表示，讀作弧度；如圖，的長等于半徑，所對的圓心角就是1的角。（3）圓心角與弧長的關系若半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是。（4）角度和弧度的互化角度化弧度弧度化角度1度數(shù)弧度數(shù)弧度數(shù)度數(shù)（5）一些特殊角的弧度數(shù)角度弧度0角度弧度5、弧長與扇形面積公式設扇形的半徑為，弧長為，為其圓心角，則度量單位類別為角度數(shù)為弧度數(shù)弧長扇形的面積【拓展】弧度制下的弧長公式及扇形面積公式明顯比角度制下的公式簡單，但要注意她們的前提是為弧度。在運用公式時，還應熟練德掌握這兩個公式的變形運用：①；②(其中為扇形的面積）；③比值只反映弧所對圓心角的大小，不反應圓心角的方向，應注意中的絕對值符號，否則會漏解；④扇形面積公式可以類比三角形的面積公式來記憶，，相當于三角形的底，對應為該底邊上的高?！炯磿r練習】1、《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為eq\f(π,4)米，肩寬約為eq\f(π,8)米，“弓”所在圓的半徑約為1.25米，你估測一下擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）A．1.012米B．1.768米C．2.043米D．2.945米2、已知圓與直線相切于，點同時從點出發(fā)，沿著直線向右、沿著圓周按逆時針以相同的速度運動，當運動到點時，點也停止運動，連接，（如圖），則陰影部分面積，的大小關系是（）A．B．C． D．先，再，最后3、終邊落在第一象限角平分線上的角的集合是________________．(用角度表示)4、一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為____弧度．5、已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為6、若是第一象限的角，則是第________象限的角．7、終邊在直線y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)內的角α的集合為________．8、(一題多解)設集合，，則集合、之間的關系是AOyxP9、如圖，點在半徑為1且圓心在原點的圓上，且，點從點處出發(fā)，按逆時針方向勻速地沿單位圓旋轉。已知點在內轉過的角度為，經過第一次到達第三象限，經過后又回到出發(fā)點，求，并判斷其終邊所在的象限。AOyxP10、已知一扇形的圓心角為α(α>0)，所在圓的半徑為R.（1）若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）若扇形的周長是一定值C(C>0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？【教師版】微專題：任意角和角的度量1、角的概念的推廣（2）任意角的分類：①按旋轉方向不同分為正角、負角、零角；②按終邊位置不同分為象限角和非象限角；（3）終邊相同的角及其集合表示：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝k·360°+α，k∈Z}或S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}【注意】兩種度量制度不要混用；2、角度制、弧度制的定義和相關公式（1）定義：①把長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad；②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑．③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)與所取的r的大小無關，僅與角的大小有關．【說明】角度制：規(guī)定周角的360分之一為1度的角，用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制。注意“度”是單位，而非“1度”，因為單位的定義是計量事物標準量的名稱。（2）弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．（3）扇形弧長與面積：記扇形的半徑為，圓心角為弧度，弧長為，面積為，則有扇形中弦長公式；【典例】考點1、對任意角概念的理解例1、下列說法正確的是（）（均指在平面直角坐標系中，角的始邊在軸正半軸上）A．第一象限角一定是銳角B．終邊相同的角一定相等C．小于90°的角一定是銳角D．鈍角的終邊在第二象限【提示】根據象限角、銳角、終邊相同的角的概念逐項判斷；【答案】D.【解析】對于選項A，不正確，如，都是第一象限角，但它們不是銳角；對于選項B，不正確，如與的終邊相同，但它們不相等；對于選項C，不正確，如不是銳角(銳角的取值范圍是到)；對于選項D，正確．(鈍角的取值范圍是到)；故選：D；【說明】本題的解題關鍵：解決此類問題的關鍵在于正確理解象限角、銳角、小于的角等概念；解題技巧：本題也可采用排除法，這時需掌握一定的技巧，判定說法為真，常需要證明；判定說法為假，只需舉一反例即可；考點2、象限角的判定例2、若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是第________象限角【提示】先由題設表示“第二象限角”，然后再利用不等式性質；【答案】一或三；【解析】因為，α是第二象限角，所以，eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，則eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z；當k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)是第一象限角；當k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)是第三象限角；綜上，eq\f(α,2)是第一或第三象限角；【說明】1、利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角或象限角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角；2、確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置；【說明】本題的結論是后面確定半角公式符號的依據；考點3、區(qū)域角的表示例3、集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是()【提示】注意：高中研究角的方法，尤其是：在平面直角坐標系中，角的頂點在原點，始邊在軸的正半軸；【答案】C【解析】方法1、當k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范圍一樣；當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(5π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(3π,2)，此時α表示的范圍與eq\f(5π,4)≤α≤eq\f(3π,2)表示的范圍一樣，故選C；方法2、根據“變換規(guī)律是π”，數(shù)形結合直接判斷；【說明】1、先由研究角的方法與步驟，按逆時針方向得到區(qū)間的起始及終止邊界，按由小到大寫出最簡區(qū)間，再加上（），最后還必須熟練的進行集合的合并；2、或利用集合運算與數(shù)形結合思想，在平面直角坐標系中找出集合和集合所表示的區(qū)域，終邊在這兩個區(qū)域的公共部分的角的集合就是；考點4、角度制與弧度制的運算例4、（1）把寫成的形式，其中；（2）若，且與（1）中的終邊相同，求：；【提示】注意：終邊相同角的表示方法與步驟，度量制度不能“混用”；【解析】（1），因為，所以，（2）因為與的終邊相同，所以，又因為，所以，【說明】特別注意：角的兩種度量制度不能“混用”；在后續(xù)的學習與表示角時，快速準確地實現(xiàn)角度和弧度的互化在今后的學習中是必要的，而實現(xiàn)這兩者之間互化的橋梁就是加比例運算；考點5、扇形面積、弧長公式的應用例5、【一題多變】（1）一扇形的圓心角α＝eq\f(π,3)，半徑R＝10cm，求該扇形的面積；（2）若（1）條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積；（3）若將（1）已知條件改為：“扇形周長為20cm”，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？【提示】注意：扇形弧長及面積公式使用的前提與條件；【解析】（1）由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，所以，S扇形＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,3)·102＝eq\f(50π,3)(cm2)；（2）l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)·R2·sineq\f(π,3)＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)·102·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2)；（3）由已知得，l＋2R＝20，則l＝20－2R(0<R<10)，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以當R＝5cm時，S取得最大值25cm2，此時l＝10cm，α＝2rad；【說明】通過本題說明：應用弧度制解決問題的方法：1、利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；2、求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題；3、在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形；考點6、對稱性問題例6、已知角的終邊與角的終邊關于軸對稱，求：?！咎崾尽孔⒁猓喝我饨桥c終邊相同角的表示方法；【錯解1】由題意，得：；【錯解2】由題意，得：；【答案】；【解析】如圖所示，角與角的終邊關于軸對稱，所以角的終邊與角的終邊重合，所以，；【說明】注意：結合對稱的幾何性質與終邊相同角的表示；規(guī)范整理得：（1）若角的終邊與角的終邊關于軸對稱，則；（2）若角的終邊與角的終邊關于軸對稱，則；（3）若角的終邊與角的終邊關于原點對稱，則；（4）若角的終邊與角的終邊關于直線對稱，則；（5）若角的終邊與角的終邊關于直線對稱，則；（6）若角的終邊與角的終邊互相垂直，則；【請：用“弧度制”表示上述關系】【歸納】1、任意角及其相關概念（1）角的定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。（2）角的表示：如圖BBOA射線為始邊，射線為終邊，點為角的頂點，圖中角可記為“角”或“”，也可簡記為“”。2、角的分類名稱定義圖形正角一條射線按逆時針方向旋轉形成的角OAOAB負角一條射線按順時針方向旋轉形成的角OOAB零角一條射線沒有做任何旋轉形成的角A（B）（吧）A（B）（吧）O拓展：（1）角的概念的推廣重在“旋轉”，理解“旋轉”二字應明確以下三個方面：①旋轉的方向；②旋轉角的大小；③射線未作任何旋轉時的位置；（2）角的范圍不再限于（或）3、象限角與終邊相同的角（1）象限角象限角的概念：當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合時，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角；象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角或第二象限角或第三象限角或第四象限角或（2）終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合（或），即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和；（3）角的終邊在坐標軸上的角的集合表示角的終邊在坐標軸上的角角的集合表示終邊落在軸的非負半軸上的角或終邊落在軸的非正半軸上的角或終邊落在軸上的角或終邊落在軸的非負半軸上的角或終邊落在軸的非正半軸上的角或終邊落在軸上的角或終邊落在坐標軸上的角或注意：1、相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差（或）的整數(shù)倍；這一條件不能少；2、象限角、終邊在坐標軸上的角以及終邊相同的角的表達形式不唯一；4、弧度制的相關概念rOrOBA1radr（2）弧度制：①定義：以弧度為單位來度量角的單位制。②記法：用符號表示，讀作弧度；如圖，的長等于半徑，所對的圓心角就是1的角。（3）圓心角與弧長的關系若半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是。（4）角度和弧度的互化角度化弧度弧度化角度1度數(shù)弧度數(shù)弧度數(shù)度數(shù)（5）一些特殊角的弧度數(shù)角度弧度0角度弧度5、弧長與扇形面積公式設扇形的半徑為，弧長為，為其圓心角，則度量單位類別為角度數(shù)為弧度數(shù)弧長扇形的面積【拓展】弧度制下的弧長公式及扇形面積公式明顯比角度制下的公式簡單，但要注意她們的前提是為弧度。在運用公式時，還應熟練德掌握這兩個公式的變形運用：①；②(其中為扇形的面積）；③比值只反映弧所對圓心角的大小，不反應圓心角的方向，應注意中的絕對值符號，否則會漏解；④扇形面積公式可以類比三角形的面積公式來記憶，，相當于三角形的底，對應為該底邊上的高。【即時練習】1、《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為eq\f(π,4)米，肩寬約為eq\f(π,8)米，“弓”所在圓的半徑約為1.25米，你估測一下擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）A．1.012米B．1.768米C．2.043米D．2.945米【答案】B；【解析】“弓”所在弧長為l＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,4)＋eq\f(π,8)＝eq\f(5π,8)，其所對圓心角為α＝eq\f(\f(5π,8),\f(5,4))＝eq\f(π,2)，所以兩手之間的距離約為eq\r(2)×1.25≈1.768.2、已知圓與直線相切于，點同時從點出發(fā)，沿著直線向右、沿著圓周按逆時針以相同的速度運動，當運動到點時，點也停止運動，連接，（如圖），則陰影部分面積，的大小關系是（）A．B．C． D．先，再，最后【答案】A【解析】如圖所示，因為直線與圓相切，所以，所以扇形的面積為，,因為，所以扇形AOQ的面積,即，所以，3、終邊落在第一象限角平分線上的角的集合是________________．(用角度表示)【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}；4、一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為____弧度．【答案】eq\f(π,3)；5、已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為【答案】6；【解析】設扇形的半徑為r(r＞0)，弧長為l.由扇形面積公式可得2＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4.所以所求扇形的周長為2r＋l＝6.6、若是第一象限的角，則是第________象限的角．【答案】第一或第三【解析】因為是第一象限的角,所以,即有,當為偶數(shù)時,是第一象限的角；當為奇數(shù)時,是第三象限的角；故答案為第一或第三；7、終邊在直線y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)內的角α的集合為________．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π))【解析】如圖，在坐標系中畫出直線y＝eq\r(3)x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是eq\f(π,3)，在[0，2π)內，終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角有兩個：eq\f(π,3)，eq\f(4,3)π；在[－2π，0)內滿足條件的角有兩個：－eq\f(2,3)π，－eq\f(5,3)π，故滿足條件的角α構成的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π)).8、(一題多解)設集合，，則集合、之間的關系是【答案】M?N；【解析】方法1、由于M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))