30680252 微專題：有關(guān)“反證法”的理解與應用-2021-2022學年高一上學期數(shù)學滬教版（2020）必修第一冊

微專題：有關(guān)“反證法”的理解與應用【主題】“若α，則β”是真命題；首先假設結(jié)論β不成立（β為假），然后經(jīng)過正確的邏輯推理得出與已知條件或（已學）定理等相矛盾的結(jié)論，從而說明“β為假”是不可能發(fā)生的，即結(jié)論β是正確的；這樣的證明方法叫反證法。反證法不是直接去證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，再否定結(jié)論的基礎上，運用演繹推理導出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實性?！镜淅坷?、求證：兩條相交直線有且只有一個交點；例2、用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設錯誤；②所以一個三角形不能有兩個直角；③假設△ABC中有兩個直角，不妨設∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確順序為________．例3、已知實數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用反證法證明：關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實根；例4、已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a、b、c、d中至少有一個是負數(shù)。【即時練習】1、應用反證法推出矛盾的推導過程中要把下列哪些作為條件使用()①結(jié)論相反判斷，即假設；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論．A．①②B．①②④C．①②③D．②③2、用反證法證明命題“a、b為整數(shù)，若a·b不是偶數(shù)，則a，b都不是偶數(shù)”時，應假設為________．3、用反證法證明命題“若a2+b2=0,則a,b全為0(a，b為實數(shù))”，其“假設”為4、若a，b，c互不相等，證明：三個方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一個方程有兩個相異實根?！窘處煱妗课ｎ}：有關(guān)“反證法”的理解與應用【主題】“若α，則β”是真命題；首先假設結(jié)論β不成立（β為假），然后經(jīng)過正確的邏輯推理得出與已知條件或（已學）定理等相矛盾的結(jié)論，從而說明“β為假”是不可能發(fā)生的，即結(jié)論β是正確的；這樣的證明方法叫反證法。反證法不是直接去證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，再否定結(jié)論的基礎上，運用演繹推理導出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實性。【典例】例1、求證：兩條相交直線有且只有一個交點；【提示】注意：平面幾何中“兩條直線的位置關(guān)系”；【解析】因為兩直線為相交直線，故至少有一個交點，假設兩條直線a，b不只有一個交點，則至少有兩個交點A和B，這樣同時經(jīng)過點A，B的直線就有兩條，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾；綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點；【說明】當證明結(jié)論以“有且只有”、“只有一個”、“唯一”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設結(jié)論易于導出矛盾，所以用反證法證明唯一型命題比較簡單。例2、用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設錯誤；②所以一個三角形不能有兩個直角；③假設△ABC中有兩個直角，不妨設∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確順序為________．【提示】注意理解“反證法”與解題步驟；【答案】③①②【說明】“反證法”的解題步驟：①提出反設（否定結(jié)論）；②推出矛盾（與已知、假設、定義、定理、公理、事實矛盾，這是關(guān)鍵的一步）；③否定假設，肯定結(jié)論；④歸納小結(jié)。例3、已知實數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用反證法證明：關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實根；【錯解】假設方程x2－2x＋5－p2＝0有實根，由已知實數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2<p<－eq\f(1,2)，又關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0的根的判別式Δ＝4(p2－4)，∵－2<p<－eq\f(1,2)，∴Δ<0，即關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實根；【錯因】反證法證明問題的步驟為假設結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，否定假設，肯定結(jié)論，而此解法沒有用到假設的結(jié)論，不是反證法；【正解】假設方程x2－2x＋5－p2＝0有實根，則該方程的判別式Δ＝4－4(5－p2)≥0，解之得p≥2或p≤－2，這與已知條件實數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)<0矛盾，∴假設不成立，故關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實根。【說明】反證法解題的實質(zhì)就是否定結(jié)論導出矛盾，從而說明原結(jié)論正確，即證明命題的逆否命題成立；否定結(jié)論：對結(jié)論的反面要一一否定，不能遺漏；例4、已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a、b、c、d中至少有一個是負數(shù)?！咎崾尽孔⒁庾屑氶喿x，明確題設并明確解題“切入點”；【證明】假設a、b、c、d都是非負數(shù)，∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1；又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc>ac＋bd，∴ac＋bd<1；這與已知ac＋bd>1矛盾，∴a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)；【說明】本題是應用反證法的經(jīng)典實例；反證法解題的實質(zhì)就是否定結(jié)論導出矛盾，從而說明原結(jié)論正確，即證明命題的逆否命題成立．否定結(jié)論：對結(jié)論的反面要一一否定，不能遺漏；否定一個反面之反證法稱為歸謬法，否定兩個或兩個以上反面之反證法稱為窮舉法；證明過程中使用了構(gòu)造法?！練w納】反證法：（1）一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法；（2）反證法一般應用于證明“結(jié)論含有否定詞、至多、至少、唯一性”的問題；【縱觀教材】一是反證法是證明數(shù)學命題的一個重要方法；二是反證法可以承載課程標準中“能正確使用存在量詞対全稱量詞命題進行否定”，“能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定”這兩個要求；三是反證法的教學可以彌補課程標準中缺少“逆否命題”所帶來的一些證明上的技巧；在反證法中，所渭“得到矛盾”是指發(fā)現(xiàn)了某個命題既是真命題，又是假命題；這個命題可以是假設的陳述句（假設其力真，但隨后推理得到官力假），也可以是前提條件，或其他己知為真的命題，如定理、性質(zhì)等（己知其為真，但隨后推理得到它是假命題）?！痉醋C法的證明步驟】①分清命題的條件和結(jié)論；②做出與命題結(jié)論相矛盾的假設；③由假設出發(fā)，應用演繹推理方法，推出矛盾的結(jié)果；④斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始做的假定不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真?！炯磿r練習】1、應用反證法推出矛盾的推導過程中要把下列哪些作為條件使用()①結(jié)論相反判斷，即假設；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論．A．①②B．①②④C．①②③D．②③【答案】C；【解析】由反證法的定義可知為①②③；2、用反證法證明命題“a、b為整數(shù)，若a·b不是偶數(shù)，則a，b都不是偶數(shù)”時，應假設為________．【答案】a、b不都是奇數(shù)(或a、b中至少有一個是偶數(shù))【解析】“a、b都不是偶數(shù)”，指“a、b都是奇數(shù)”，它的反面是“a、b不都是奇數(shù)”，或“a、b中至少有一個是偶數(shù)”3、用反證法證明命題“若a2+b2=0,則a,b全為0(a，b為實數(shù))”，其“假設”為【答案】a，b不全為0；【解析】“a，b全為0”即“a=0且b=0”，因此它的反面應為“a≠0或b≠0”，即a，b不全為0；4、若a，b，c互不相等，證明：三個方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一個方程有兩個相異實根?！咀C明】