浙江省浙南名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

學(xué)年第二學(xué)期浙南名校聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字。3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙。選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A． B． C． D．2．如圖，直角梯形滿足，，，它是水平放置的平面圖形的直觀圖，則該平面圖形的周長是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)則等于（）A． B． C． D．4．已知圓錐的母線長為2，其側(cè)面展開圖是半圓，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．5．在中，是邊上的一點(diǎn)，且平分，若，，，，則（）A． B． C． D．6．在中，角所對的邊分別為，已知，，若為鈍角三角形，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知四邊形內(nèi)接于圓，且滿足，，，則圓的半徑為（）A． B． C． D．8．用一個內(nèi)底面直徑為3，高為20的圓柱體塑料桶去裝直徑為2的小球，最多能裝下小球個數(shù)為（）A．10 B．11 C．12 D．13二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。9．已知，下列選項中是“”的充分條件的是（）A． B． C． D．10．如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，分別是棱的中點(diǎn)，下列說法正確的有（）A．多面體是三棱柱B．直線與互為異面直線C．平面與平面的交線平行于D．四棱錐和四棱錐的體積之比為11．定義一種向量運(yùn)算“”：其中是任意的兩個非零向量，是與的夾角．對于同一平面內(nèi)的非零向量，給出下列結(jié)論，其中不正確的是（）A．若，則B．若，則C．D．若，則非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分。12．設(shè)為虛數(shù)單位，且，則______．13．已知直三棱柱中，側(cè)棱，，，則三棱柱的外接球表面積為______．14．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是______．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題13分）已知，，且滿足（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，求與的夾角的余弦值．16．（本小題15分）設(shè)函數(shù)．（1）若角滿足，求的值；（2）求函數(shù)的值域．17．（本小題15分）如圖，正邊長為分別是邊的中點(diǎn)，現(xiàn)沿著將折起，得到四棱錐，點(diǎn)為中點(diǎn)．（1）求證：平面（2）若，求四棱錐的表面積．（3）過的平面分別與棱相交于點(diǎn)，記與的面積分別為、，若，求的值．18．（本小題17分）已知在中，角所對的邊分別為，且滿足．（1）求；（2）若，求的面積；（3）求的最大值，并求其取得最大值時的值．19．（本小題17分）設(shè)集合．定義：和集合，積集合，分別用表示集合中元素的個數(shù)．（1）若，求集合；（2）若，求的所有可能的值組成的集合；（3）若，求證：．2023學(xué)年第二學(xué)期浙南名校聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。題號12345678答案BCCDCAAB二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。題號91011答案ABCBCDBCD三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分．12． 13． 14．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題13分）（1），，，解法2，，，（2）設(shè)，，（此處公式代入正確得2分，消元1分，答案正確2分，只有一個答案扣1分）與的夾角的余弦值為另解：由題意可不妨令又與的夾角的余弦值為16．（本小題15分）解：（1）已知，則，則，所以當(dāng)，，當(dāng)，．（2），所以，所以，所以的值域為．17．（本小題15分）解：（1）取中點(diǎn)，連，，且，同時，且四邊形是平行四邊形，又平面平面平面（2），四棱錐的面積（3）由（1）知平面，平面平面，又，，18．（本小題17分）解：（1）方法一：，，又，，又在中，，，，，又在中，，方法二：，，，，．，又在中，，．（2），，即，解得或，當(dāng)時，當(dāng)時，（3），，．其中，，，在中，，當(dāng)時，取到最大值，此時，．19．（本小題17分）解：（1）由，則，．（2）當(dāng)，不妨記集合為，且讓，則必有，和中剩下的滿足，并且，下列有四種可能：一是，則；二是與與與三對數(shù)有兩對相等，另一對不相等，則；三是與與與三對數(shù)有一對相等，其它兩對不相等，則；四是與與與三對數(shù)全不相等，則；綜上述，的所有可能的值組成的集合為（要求寫明得到每個值的原因）．（3）當(dāng)，不妨記集合為，且讓，則必有，和中剩下的元素為，滿足，所以有兩種可能，當(dāng)，；當(dāng)，；?。┊?dāng)，不妨記這6個元素為，且讓，則必有，所以；ⅱ）當(dāng)，，不妨記，，，，，則，則必有，積中剩下的滿足，則，下面先證明．假設(shè)，由，則，即，所以，令，由，則，所以，則，與事實(shí)不符，所以．下面再證明．由上述分析知：要使，積中剩下的滿足，必有兩對積與七對中的兩對相等，有如下五種情況：一是，則可推得，令其比值為，則，于是，由，則，則，顯然無解，故此情況不能；二是，則可推得，令，顯然，由，則，所以，而顯然，故此情況不可能；三是，則可推得，令其比值為，則，由，又，則，這與矛盾，故