人教A版數(shù)學(xué)選修2－1練習(xí)第二章圓錐曲線與方程2.4.1

第二章2.4A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)(1,1)和直線x＋2y＝3的距離相等的點(diǎn)的軌跡是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)(A)A．直線 B．拋物線C．圓 D．雙曲線[解析]∵點(diǎn)(1,1)在直線x＋2y＝3上，故所求點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)(1,1)且與直線x＋2y＝3垂直的直線．2．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)(C)A．4 B．3C．2 D．1[解析]∵拋物線的方程為y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.由p的幾何意義可知，焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是p＝2.故選C．3．拋物線x2＝4y關(guān)于直線x＋y＝0的對(duì)稱曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)(B)A．(1,0) B．(－1,0)C．(eq\f(1,16)，0) D．(0，－eq\f(1,16))[解析]由題意可得：拋物線x2＝4y關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的拋物線方程為：(－y)2＝4(－x)，即y2＝－4x，其中p＝2，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)．故選B．4．過(guò)點(diǎn)A(3,0)且與y軸相切的圓的圓心的軌跡為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)(D)A．圓 B．橢圓C．直線 D．拋物線[解析]如圖，設(shè)點(diǎn)P為滿足條件的一點(diǎn)，不難得出結(jié)論：點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離，故點(diǎn)P在以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，y軸為準(zhǔn)線的拋物線上，故點(diǎn)P的軌跡為拋物線，因此選D．5．拋物線x2＝4y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)(D)A．2 B．3C．4 D．5[解析]解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，∴x＝±4，∴A(±4,4)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，∴所求距離為eq\r(42＋4－12)＝eq\r(25)＝5．解法二：拋物線的準(zhǔn)線為y＝－1，∴A到準(zhǔn)線的距離為5，又∵A到準(zhǔn)線的距離與A到焦點(diǎn)的距離相等．∴距離為5．6．設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是6，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)(B)A．12 B．8C．6 D．4[解析]∵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為6，∴點(diǎn)P到拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線x＝－2的距離d＝6＋2＝8，根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為8．二、填空題7．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為_(kāi)_－eq\f(1,8)__.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)[解析]拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2＝eq\f(1,a)y，由題意得a<0，∴2p＝－eq\f(1,a)，∴p＝－eq\f(1,2a)，∴準(zhǔn)線方程為y＝eq\f(p,2)＝－eq\f(1,4a)＝2，∴a＝－eq\f(1,8)．8．沿直線y＝－2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2＝ax反射后，與x軸相交于點(diǎn)A(2,0)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_x＝－2__(提示：拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)[解析]由直線y＝－2平行于拋物線的軸知A(2,0)為焦點(diǎn)，故準(zhǔn)線方程為x＝－2．三、解答題9．若拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M到準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為10和6，求M點(diǎn)的橫坐標(biāo)及拋物線方程.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)[解析]∵點(diǎn)M到對(duì)稱軸的距離為6，∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,6)．又∵點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(62＝2px，,x＋\f(p,2)＝10.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,p＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,p＝18.))故當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為9時(shí)，拋物線方程為y2＝4x．當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1時(shí)，拋物線方程為y2＝36x．10．求頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，過(guò)點(diǎn)(－2,3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)[解析]∵點(diǎn)(－2,3)在第二象限，∴設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，又點(diǎn)(－2,3)在拋物線上，∴p＝eq\f(9,4)，p′＝eq\f(2,3)，∴拋物線方程為y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．(浙江湖州2017－2018學(xué)年期末調(diào)研)拋物線y2＝x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)(B)A．(eq\f(1,2)，0) B．(eq\f(1,4)，0)C．(0，eq\f(1,2)) D．(0，eq\f(1,4))[解析]由y2＝x知P＝eq\f(1,2)，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(1,4)，0)，故選B．2．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4eq\r(2)x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4eq\r(2)，則△POF的面積為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)(C)A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4[解析]拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\r(2)，焦點(diǎn)F(eq\r(2)，0)，由|PF|＝4eq\r(2)及拋物線的定義知，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)xP＝3eq\r(2)，從而yP＝±2eq\r(6)，∴S△POF＝eq\f(1,2)|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(6)＝2eq\r(3)．3．已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋4＝0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，P到直線l的距離為d2，則d1＋d2的最小值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)(D)A．eq\f(5\r(2),2) B．eq\f(5\r(2),2)＋1C．eq\f(5\r(2),2)－2 D．eq\f(5\r(2),2)－1[解析]設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，過(guò)P作PA與準(zhǔn)線垂直，垂足為A，作PB與l垂直，垂足為B，則d1＋d2＝|PA|＋|PB|－1＝|PF|＋|PB|－1，顯然當(dāng)P、F、B三點(diǎn)共線(即P點(diǎn)在由F向l作垂線的垂線段上)時(shí)，d1＋d2取到最小值，最小值為eq\f(5\r(2),2)－1．二、填空題4．已知點(diǎn)A(0,2)，拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，線段FA交拋物于點(diǎn)B，過(guò)B點(diǎn)作l的垂線，垂足為M，若AM⊥MF，則p＝__eq\r(2)__.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)[解析]由拋物線的定義可得BM＝BF，F(xiàn)(eq\f(P,2)，0)，又AM⊥MF，故點(diǎn)B為線段FA中點(diǎn)，即B(eq\f(p,4)，1)，所以1＝2p×eq\f(p,4)?p＝eq\r(2)．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,0)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱．點(diǎn)P(x0，y0)在拋物線y2＝4x上，且直線AP與BP的斜率之積等于2，則x0＝__1＋eq\r(2)__.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)[解析]∵點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,0)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴B(1,0)，根據(jù)題意，得eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－1)＝2，又yeq\o\al(2,0)＝4x0，∴2x0＝xeq\o\al(2,0)－1，即xeq\o\al(2,0)－2x0－1＝0，解得x0＝eq\f(2±\r(8),2)＝1±eq\r(2)，舍去負(fù)值，得x0＝1＋eq\r(2)．三、解答題6．求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)(1)過(guò)拋物線y2＝2mx的焦點(diǎn)F作x軸的垂線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝6；(2)拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，點(diǎn)P(－5，2eq\r(5))到焦點(diǎn)的距離是6．[解析](1)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，交x軸于K點(diǎn)，l的方程為x＝－eq\f(m,2)，如圖，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，則|AF|＝|AA′|＝|FK|＝|m|，同理|BF|＝|m|.又|AB|＝6，則2|m|＝6．∴m＝±3，故所求拋物線方程為y2＝±6x．(2)設(shè)焦點(diǎn)F(a,0)，|PF|＝eq\r(a＋52＋20)＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1或a＝－9.當(dāng)焦點(diǎn)為F(－1，0)時(shí)，p＝2，拋物線開(kāi)口方向向左，其方程為y2＝－4x；當(dāng)焦點(diǎn)為F(－9,0)時(shí)，p＝18，拋物線開(kāi)口方向向左，其方程為y2＝－36x．7．一輛卡車高3m，寬1.6m，欲通過(guò)斷面為拋物線型的隧道，已知拱口寬恰好是拱高的4倍，若拱口寬為am，求使卡車通過(guò)的a的最小整數(shù)值.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)[解析]以隧道頂點(diǎn)為原點(diǎn)，拱高所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\f(a,2)，－eq\f(a,4))，如圖所示，設(shè)隧道所在拋物線方程為x2＝my，則(eq\f(a,2))2＝m·(－eq\f(a,4))，∴m＝－a，即拋物線方程為x2＝－ay．將(0.8，y)代入拋物線方程，得0．82＝－ay，即y＝－eq\f(0.82,a)．欲使卡車通過(guò)隧道，應(yīng)有y－(－eq\f(a,4))>3，即eq\f(a,4)－eq\f(0.82,a)>3，由于a>0，得上述不等式的解為a>12.21，∴a應(yīng)取13．C級(jí)能力拔高(2017·福州市八縣一中高二期末)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)9662738)(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和其漸近線方程；(2)設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，－1)，且斜率為k.求直線l與雙曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的取值范圍．[分析](1)解法一：求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線定義求出a，然后求雙曲線C的方程，漸近線方程．解法二：利用已知條件列出方程組，求出a，b，然后求雙曲線C的方程，漸近線方程．(2)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,3x2－y2＝3))利用Δ＞0，求出－2＜k＜2，結(jié)合漸近線求解k的范圍即可．[解析](1)解法一：由已知，雙曲線的焦點(diǎn)為(－2,0)和(2,0)，據(jù)定義有：2a＝|eq\r(2＋22＋3－02)|－eq\r(2－22＋3－02)＝2?a＝1．故a2＝1，c2＝4，b2＝3，從而所求雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1．其漸近線方程為：y＝±eq\r(3)x．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1,a2＋b2＝4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1,b2＝3))，故所求雙曲線C的