2023-2024學年銀川市高一數學下學期期中聯考后提升卷（二）附答案解析

-2024學年銀川市高一數學下學期期中聯考后提升卷（二）2024.4注意事項：本試卷共19題，滿分150分，考試時間為120分鐘。答案寫在答題卡上的指定位置?？荚嚱Y束后，交回答題卡。第I卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，則在上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．2．已知，，是三個不同的平面，，是兩條不同的直線，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設O為的內心，，，，則（

）.A． B． C． D．4．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．如圖所示，梯形是平面圖形ABCD用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形ABCD中對角線AC的長度為（

）A． B． C． D．6．在中，已知向量與滿足，且，則角().A． B. C. D.7．已知正方體中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形8．萬丈懸梯高可攀，白塔座落嘉陵邊．白塔作為閬中市的標志性建筑之一．當你登臨頂層，會欣賞到閬中AAAAA風景的全貌．感覺人仿佛在凌空飛翔．現有一數學興趣小組，如圖，測量河對岸的白塔高，可以選取與塔底在同一水平面內的兩個測量基點與．現測得米，在點C測得塔頂的仰角為，則測得的塔高為()米．A． B. C. D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個符合題意的選項，每選對一個得3分；若只有3個符合題意的選項，每選對一個得2分。9．平行四邊形ABCD中，，，．動點M滿足，，，下列選項中正確的有（

）A．時，則的取值范圍為B．時，的取值范圍是C．時，存在M使得D．且最大時，在上的投影向量為10．歐拉公式（為虛數單位，）是由數學家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數與指數函數的關聯，被譽為“數學中的天橋”．依據歐拉公式，下列選項正確的是（

）A．的虛部為1 B．對應的點位于第二象限C． D．的共軛復數為11．如圖是《易?系辭上》記載的“洛書”，其歷來被認為是河洛文化的濫觴，是華夏文明的源頭．洛書中9個數字的排列可抽象為兩正方形，，其中為這兩正方形的中心，，，，分別為，，，的中點，若正方形的邊長為2，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．第II卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知復數，（其中為虛數單位，）.若是純虛數，則.14．已知圓錐的內切球半徑為1，底面半徑為，則該圓錐的表面積為．注：在圓錐內部，且與底面和各母線均有且只有一個公共點的球，稱為圓錐的內切球．14．已知的三邊長分別為角是直角，則的取值范圍是．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15．(本小題13分)設向量，，．(1)求；（4分）(2)若與平行，求的值；（4分）(3)求的余弦值．（5分）16．(本小題15分)已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，軸截面等腰三角形的頂角為，若的面積為．(1)求該圓錐的側面積；(2)求該圓錐的內接圓柱側面積的最大值；(3)求圓錐的內切球體積．17．(本小題15分)在中，內角所對的邊分別為，已知．(1)求的值．（4分）(2)若是的平分線．求證：；（11分）18．(本小題17分)某景區(qū)為拓展旅游業(yè)務，擬建一個觀景臺P（如圖所示），其中AB，AC為兩條公路，，M，N為公路上的兩個景點，測得，，為了獲得最佳觀景效果，要求P對的視角.現需要從觀景臺P到M，N建造兩條觀光路線PM，PN，且要求觀光路線最長.若建造觀光路線的寬為5米，每平方米造價為100元.(1)求M、N的距離；（4分）(2)設，用表示；（7分）(3)求該景區(qū)預算需要投入多少萬元改造？（）（6分）19．(本小題17分)設有維向量，，稱為向量和的內積，當，稱向量和正交．設為全體由和1構成的元數組對應的向量的集合．(1)若，寫出一個向量，使得．（2分）(2)令．若，證明：為偶數．（5分）(3)若，是從中選出向量的個數的最大值，且選出的向量均滿足，猜測的值，并給出一個實例．（10分）答案解析1．D【分析】利用在上的投影向量的定義求解.【詳解】因為，所以在上的投影向量的坐標為．2．B【分析】根據面面平行的判定定理和性質，結合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】由，，若，由面面平行的性質知：，必要性成立；由，，若，則或相交，充分性不成立．相交情況如下：3．B【分析】取的中點，連，則為內切圓的半徑，利用面積關系求出，得，再根據得，由平面向量基本定理求出可得答案.【詳解】取的中點，連，因為，，所以，，所以的內心在線段上，為內切圓的半徑，因為，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.【點睛】關鍵點點睛：利用面積關系求出內切圓半徑,進而得到是本題解題關鍵.4．B【分析】由建立的等量關系，求解，從而判斷選項.【詳解】因為，化簡得，解得或，故“”是“”的必要不充分條件.5．C【分析】根據斜二測畫法的規(guī)則確定原圖形，利用勾股定理求得長度．【詳解】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形ABCD，如圖，由斜二測法則知，，所以,6．A【分析】依題意可得，設角的平分線交于，即可得到，從而得到為等腰直角三角形，即可得解.【詳解】設角的平分線交于，因為，故，即，又表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，設，（如圖所示），，因為，故四邊形為正方形，所以為角的平分線，故在上.因為，故，故.綜上，為等腰直角三角形且，所以.

7．C【分析】如圖，由題意，根據空間線面的位置關系、基本事實以及面面平行的性質定理可得，進而，結合相似三角形的性質即可求解．【詳解】如圖，設，分別延長交于點，此時，連接交于，連接，設平面與平面的交線為，則，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，設，則，此時，故，連接，所以五邊形為所求截面圖形，

8．D【分析】求得可求得，進而由余弦定理可得，由，可求塔高.【詳解】在中，由得所以米，在中，由余弦定理可得，所以，在，可得，所以米.9．BCD【分析】建立如圖所示坐標系，利用向量的數量積和的取值范圍得到A錯誤；由向量的線性運算可知B正確；由向量垂直的坐標表示得到C正確；由投影向量結合二次函數得到D正確.【詳解】作于點，建立如圖所示的坐標系，因為在平行四邊形ABCD中，，，，所以，，所以，所以，對于A，，因為，解得，故A錯誤；對于B，當時，因為，所以，則，故點在上，所以的取值范圍是，故B正確；對于C，當時，，，因為，所以，即，故C正確；對于D：當時，因為，，因為，所以當時，最大，最大值為，此時，又，則所以在上的投影向量為，故D正確；【點睛】方法點睛：平面向量的處理方法可用：①基底法：通過基底的建立與表示求解；②坐標法：通過平面直角坐標系，結合坐標公式求解；③平方法：通過平方關系的轉化求解平面向量問題.10．ABD【分析】由，其虛部為1，可判斷A；由，可判斷B；由，可判斷C；先求得，結合共軛復數的概念即可判斷D.【詳解】對于A，，其虛部為1，故A正確；對于B：由題意可得：為實數，故B正確；對于C，，則，故C錯誤；對于D，，故的共軛復數為，故D正確.11．BCD【分析】利用向量的幾何運算及數量積逐一計算判斷.【詳解】對于A：，錯誤；對于B：，B正確；對于C：，C正確；對于D：，D正確.12．-4【分析】求出的代數形式，再根據實部為零，虛部不為零列式計算.【詳解】,因為是純虛數，所以，解得.13．【分析】借助過圓錐的軸以及內切球球心的截面圖求出圓錐的母線長，即可求出圓錐表面積.【詳解】由題過圓錐的軸以及內切球球心的截面圖如下：

設圓錐高為，母線長為，則在三角形中有，即①，又由得，即②，所以由①②得，所以圓錐的表面積為.14．【分析】解法1：分，和三種情況討論，結合基本不等式和對勾函數分析運算；解法2：根據直角三角形邊化角結合三角恒等變換整理得，再結合正弦函數的有界性分析運算．【詳解】解法1：∵由角是直角，故，原式，則有當時，則，令，則原式.∵，當且僅當，即時，等號成立，∴原式，故；當時，；當時，則，令，可得，則，在上單調遞減，則在上單調遞增，，即.綜上，的取值范圍是.解法2：由角是直角，得，，，可得，.，則，可得，.15．(1)(2)(3)【分析】（1）由向量線性運算的坐標表示以及模的運算公式即可求解；（2）由向量線性運算的坐標表示以及向量平行可列出等式求解；（3）由向量線性運算以及向量夾角的坐標公式即可運算求解.【詳解】（1）因為，，所以（2分），所以.（2分）（2）因為，，（1分）所以，，（1分）因為與平行，所以（1分），所以.（1分）（3）因為，，，所以，，（2分）所以（2分）所以的余弦值為.（1分）(1)(3)【分析】（1）設圓錐母線長、底面半徑分別為、，依題意可得，由平方關系求出，再由面積公式求出，即可得到及圓錐的側面積；（2）作出軸截面，設圓柱底面半徑，即可得到圓柱的高，從而表示出圓柱的側面積，最后由基本不等式計算可得；（3）求出內切球的半徑，再由球的體積公式計算可得.【詳解】（1）設圓錐母線長、底面半徑分別為、，由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為，則，解得，（1分）又，所以，（1分）又因為的面積為，∴，解得（負值舍去），（1分）又，所以，（1分）∴圓錐的側面積．（1分）（2）作出軸截面如下所示：設圓柱底面半徑，即，由（1）可知，則，又圓錐的高，（1分）所以，即圓柱的高為，（1分）所以圓錐內接圓柱的側面積，（2分）當且僅當，即時取等號，（1分）所以圓錐內接圓柱的側面積的最大值為.（3）作出軸截面如圖所示：根據圓錐的性質可知內切球球心在上，設球心為，切于點，設內切球半徑為，即，則，所以，（2分）由（1）可知，圓錐的高，，則有，解得，（1分）∴圓錐的內切球的體積.（2分）（解題中作圖1分，不做扣2分）17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據正弦定理邊化角，結合兩角和的正弦公式化簡，即可得答案；（2）在和中，分別應用正余弦定理，得出線段之間的等量關系，結合角平分線以及分式的性質，即可證明結論；【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，（1分），（2分）且，則，所以.（1分）（2）在中，由正弦定理可得①，（1分）

由余弦定理可得②，.（1分）在中，由正弦定理可得③，（1分）由余弦定理可得④.（1分）因為是的平分線，則，所以.（1分）因為，所以，，（1分）①÷③，得⑤，所以，，（2分）②＋④，得（1分）所以，得證．（2分）18．(1)(2)(3)【分析】（1）直接利用余弦定理求解；（2）在中，利用正弦定理表示出，然后相加利用三角公式整理；（3）利用正弦函數的性質求最值即可.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，（2分）得；（2分）（2），，則，（1分）在中，由正弦定理得，（2分）所以，（2分）所以（1分）；（1分）（3）由（2）得，又，（1分）所以，，（2分）即，所以該景區(qū)預算需要.（2分）即該景區(qū)預算需要投入萬元改造.（1分）19．(1)（答案不唯一）(2)證明見解析(3)，答案見解析.【分析】（1）根據定義寫出滿足條件的即可；（2