2021-2022學(xué)年湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體（長(zhǎng)郡中學(xué)長(zhǎng)沙市一中等）高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體（長(zhǎng)郡中學(xué)，長(zhǎng)沙市一中等）高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，為第四象限角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用平方關(guān)系即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋瑸榈谒南笙藿?，所?故選：D.2．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平方差公式展開(kāi)，即可得出答案.【詳解】.故選：B.3．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接由兩角差的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】.故選：A.4．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量的加減法法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題意得，，所以.故選：D.5．在中，已知，那么一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【解析】利用正弦函數(shù)進(jìn)行邊化角，再利用正弦函數(shù)的兩角和公式求解即可【詳解】解：已知，則：，整理得：，則：，所以：.故選：B6．如圖所示的圖形中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】由題可得，即求.【詳解】由題把圖形看作平面直角坐標(biāo)系的一部分則，∴.故選：D.7．將函數(shù)和直線的所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1，A2，A3，…，An，若P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】在同一坐標(biāo)系中作出和g(x)=x﹣1的圖象，所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1，A2，A3，A4，A5根據(jù)為的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，得到關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，再用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到求解.【詳解】由題意作出圖象如圖，共得5個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)余弦函數(shù)的中心對(duì)稱性可知，和，和關(guān)于對(duì)稱，，，∴.故選：A.8．在中，、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，結(jié)合余弦定理可求，結(jié)合三角形的面積公式可求，再由，結(jié)合，均為單位向量，和平行線分線段成比例可得，，結(jié)合基本不等式可求．【詳解】，，化簡(jiǎn)可得，，，，，且，均為單位向量，過(guò)分別作，，垂足分別為，，則，，，，兩式相加可得，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解可得，則的最大值為．故選B．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了余弦定理，平面向量的運(yùn)算法則，三角形的面積公式，基本不等式的綜合應(yīng)用，二、多選題9．已知向量，，則（

）A．B．向量在向量上的投影向量是C．D．與向量同向的單位向量是（，）【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，向量，，，則有，故，A正確；對(duì)于B，向量，，則，，則向量在向量上的投影向量是，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，向量，，，則，C正確；對(duì)于D，設(shè)要求向量為，且，，則有，解得，則要求向量為，D正確.故選：ACD.10．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P0，復(fù)數(shù)z滿足，下列結(jié)論正確的是（

）A．P0點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)P0關(guān)于虛軸對(duì)稱C．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在一條直線上D．P0與z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P間的距離的最小值為【答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn).對(duì)于B，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即可判斷.對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)，，由復(fù)數(shù)z滿足，根據(jù)幾何意義即可判斷正誤.對(duì)于D，與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P間的距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離，代入即可判斷.【詳解】復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因此A正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于虛軸不對(duì)稱，因此B不正確，設(shè)點(diǎn)，，由復(fù)數(shù)z滿足，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，可知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，因此C正確；與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P間的距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離，因此D正確.故選：ACD.11．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖，將該函數(shù)的圖象向x軸負(fù)方向平移個(gè)單位，再把所得曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)f(x)的圖象.下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)≤x≤時(shí)，f(x)的取值范圍是[－1，2]B．f(－)＝C．曲線y＝f(x)的對(duì)稱軸是x＝kπ＋(k∈Z)D．若|x1－x2|<，則|f(x1)－f(x2)|<4【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出，對(duì)于選項(xiàng)A,．的取值范圍是，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，計(jì)算得，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，函數(shù)的對(duì)稱軸是，C錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)的最小正周期為，D正確．【詳解】由圖可知，，，∴．，由于，∴．∴函數(shù)的解析式是．根據(jù)題意，．∴當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，A正確；，∴B錯(cuò)誤；函數(shù)的對(duì)稱軸是，∴C錯(cuò)誤．∵的最小正周期為，∴D正確．故選：AD12．銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，C．若ab=2bcosC，則（

）A．C=2B B．B的取值范圍是C．B=2C D．的取值范圍是【答案】AB【分析】由三角形的正弦定理和兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得，可判斷；再由銳角三角形的定義可判斷；再由正弦定理和二倍角的正弦公式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷．【詳解】解：由，可得，即，即有，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，即，故正確，錯(cuò)誤；由，，且，解得，故正確；而，，故錯(cuò)誤．故選：．三、填空題13．已知復(fù)數(shù)，則________．【答案】1【分析】先結(jié)合三角函數(shù)值化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)的模【詳解】∵∴.故答案為：114．已知向量，，若，則m=________．【答案】4【分析】直接由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】由，得，解得.故答案為：4.15．已知在△ABC中，AB=1，BC=，AC=2，點(diǎn)O為△ABC的外心，若，則有序?qū)崝?shù)對(duì)為_(kāi)_______．【答案】【分析】首先根據(jù)向量數(shù)量積的定義及余弦定理求出，再根據(jù)外心的性質(zhì)得到、，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程組，解得即可；【詳解】解：，∵O為的外心，∴，，由可得：，解得，所以為.故答案為：16．已知函數(shù)（，），，對(duì)恒有，且在區(qū)間（，）上有且只有一個(gè)使，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)，可得為函數(shù)的最值，再根據(jù)，求得，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（，）上有且只有一個(gè)使，分析討論，從而可得出答案.【詳解】解：由題意知，，，則，，其中，，故k與同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，在區(qū)間上有且只有一個(gè)最大值，且要求最大，則包含的周期應(yīng)該最多，∴，得，即，∴，當(dāng)時(shí)，，為奇數(shù)，，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；當(dāng)時(shí)，，為偶數(shù)，，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；當(dāng)時(shí)，，為奇數(shù)，，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立.綜上所述，的最大值為.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位．（1）當(dāng)z是純虛數(shù)時(shí)，求m的值；（2）當(dāng)時(shí)，求．【答案】（1）0；（2）．【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)有分類求解；（2）由復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算．【詳解】（1）由題意，解得；（2）由題意．18．已知，，．(1)求的值；(2)求與的夾角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算法則得到，進(jìn)而求出模長(zhǎng)；（2）結(jié)合第一問(wèn)，利用向量夾角坐標(biāo)公式進(jìn)行求解.【詳解】(1)∵，，，∴，解得:..故；(2)設(shè)與的夾角，則，又∵，∴19．設(shè)函數(shù)．(1)設(shè)，求函數(shù)的最大值和最小值；(2)設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)，求的值，并求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【答案】(1)，；(2)，【分析】(1)化簡(jiǎn)f(x)解析式，利用正弦函數(shù)的圖像特性即可求其最大值和最小值；(2)根據(jù)正弦型函數(shù)為偶函數(shù)可知，，據(jù)此即可求出，再根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性即可求g(x)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】(1)，∵，，∴，∴函數(shù)的最大值為，最小值為．(2)，∵該函數(shù)為偶函數(shù)，∴，得，又∵，∴k取0，，∴，令，解得，從而得到其增區(qū)間為．20．如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個(gè)小島，小島B位于小島A北偏東距離60海里處，小島B北偏東距離海里處有一個(gè)小島C.(1)求小島A到小島C的距離；(2)如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C，求游船航行的方向.【答案】(1)海里(2)游船應(yīng)該沿北偏東的方向航行.【分析】(1)三邊一角，由余弦定理可以求小島A到小島C的距離；(2)兩邊兩角，由正弦定理可以求角.【詳解】(1)解：(1)在中，，根據(jù)余弦定理得：..所以小島A到小島C的最短距離是海里.(2)解：(2)根據(jù)正弦定理得：解得在中，為銳角.由得游船應(yīng)該沿北偏東的方向航行答:小島A到小島C的最短距離是海里;游船應(yīng)該沿北偏東的方向航行.21．從①cos2A+cosA=0；②sin2B－sin2A+sin2C一sinBsinC=0，③bsinA+cosB=，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答(注：若選擇多個(gè)條件，按第一個(gè)解答計(jì)分).在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若_______________.(1)求角A的大??；(2)若D是BC的中點(diǎn)，AD=1，求△ABC面積的最大值.【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）選條件①時(shí)，利用余弦的二倍角公式轉(zhuǎn)化原式為2cos2A+cosA－1=0，求解即可選條件②時(shí)，利用正弦定理轉(zhuǎn)化原式為，結(jié)合余弦定理即得解；選條件③時(shí)，利用正弦定理轉(zhuǎn)化原式為sinBsinA+sinAcosB=sinC，再利用sinC=sin(A+B)，求解即可（2）在△ACD和△BCD中分別使用余弦定理可得，，再結(jié)合cos∠ADC=－cos∠BDC，，利用均值不等式即得解【詳解】(1)選條件①時(shí)，cos2A+cosA=0；得2cos2A+cosA－1=0，解得cosA=或cosA=－1.∵0<A<，∴cosA=－1舍去，cosA=∴A=選條件②時(shí)，sin2B－sin2A+sin2C一sinBsinC=0，根據(jù)正弦定理：得，由余弦定理得：

∵0<A<，A=

選條件③時(shí)，bsinA+cosB=，利用正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=sinC=sin(A+B)，

化簡(jiǎn)得sinBsinA=cosAsinB.

∵0<B<π，∴sinB≠0，∴.tanA=，

∵0<A<，A=(2)在△ABC中，由余弦定理知，，

①在△ACD中，由余弦定理知，，在△BCD中，由余弦定理知，∵∠ADC+∠BDC=∴cos∠ADC=－cos∠BDC即化簡(jiǎn)得，，②

由①②，得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立，

∴△ABC面積

∴△ABC面積的最大值為.22．已知向量，（其中），記，且滿足．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于x的方程在上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先用三角恒等變換化簡(jiǎn)，由得到是函數(shù)的一個(gè)周期，利用最小正周期列出不等式，求出，結(jié)合題干中得到；（2）在第一問(wèn)求解的解析式基礎(chǔ)上，求出在的值域，通過(guò)換元法得到二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合得到關(guān)